同济大学高等数学第六版第七章第八节常系数非齐次线性微分方程

根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解
求特解的方法 — 待定系数法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、 f (x) e xPm (x) 型
为实数 , Pm (x) 为 m 次多项式 .
代入方程得
(3a x 3b 4c) cos 2x (3c x 3d 4 a)sin 2x x cos 2x
比较系数 , 得
3a 1 3b 4c 0
3c 0 3d 4a 0

a

1 3
,
d

4 9
bc0
于是求得一个特解
机动 目录 上页 下页 返回 结束

e( i
)
x
令 m maxn, l ,则
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i ) x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第二步 求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. y p y q y Pm (x) e x
为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为
y* x kQm (x) e x
2. y p y q y e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] i 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 y* x k e x [Rm (x) cos x R~m (x)sin x]
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
o
可无限增大, 这时产生共振现象 .
x
若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; x
若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 p= k.
对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏,
电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有
利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理.
则Q(x) 是 m 次多项式, 故特解形式为 y* x2Qm (x) e x
小结 对方程①, 当 是特征方程的 k 重根 时, 可设 特解 y* xk Qm (x) e x (k 0, 1, 2)
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别地 y py qy Aex
第 八节
第七章
常系数非齐次线性微分方程
一、 f (x) e x Pm (x) 型
二、 f (x) e x[Pl (x) cos x P~n (x)sin x] 型
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y py qy f (x) ( p, q 为常数) ①
非齐次特解形式: x a sin p t b cos pt
x
代入④可得:
a k2
h
p
2
,
b0
x
因此原方程④之解为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x

Asin ( k t
)
k2
h
p2
sin
pt
自由振动
强迫振动
当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时,
振幅
h k2 p2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例6. 求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
(2) y(4) y x ex 3sin x
解: (1) 特征方程
有二重根
所以设非齐次方程特解为
(2) 特征方程
有根
利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为
c ex x ( d cos x k sin x )
设特解为 y* e xQ (x) , 其中 Q (x) 为待定多项式 , y* e x[ Q (x) Q(x) ]
y* e x[ 2 Q (x) 2 Q(x) Q(x) ]
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根,
则取
Q (xe)为x[mQ次(x待) 定 (系2 数 多p项)式Q (x) (2从而p得 到 q特)解Q (x) ]
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形
f
(x)

e
x
Pl
(x)
ei
x
ei 2
x
P~n (x) ei x
ei x 2i



Pl
(x) 2

P~n (x) 2i

e(i) x


Pl
(x) 2

P~n (x) 2i
其中 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2 求方程 y y 4sin x 的通解.
解 对应齐方通解 Y C1 cos x C2 sin x, 作辅助方程 y y 4eix ,
i 是单根, 故 y* Axeix ,
代入上式 2Ai 4, A 2i, y* 2ixeix 2x sin x (2x cos x)i,
由初始条件得

C2

2C3


1 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解得
CC21
1
3 4
C3


1 4
于是所求解为
y 3 ex 1 e2x 1 x
4
4
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
多项式 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
小 结: 对非齐次方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
( p, q 为常数)
i 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则可设特解:
y* xke x Rm cos x R~m sin x
对应齐次方程通解 Y C1e x C2e2x ,
2 是单根，设 y x( Ax B)e2x ,
代入方程, 得 2Ax B 2A x


A

1 2
,
于是 y x(1 x 1)e2x
B 1
2 原方程通解为
y C1e x
C2e2x

x(1 x 1)e2x 2
比较系数, 得
b0


1 2
,
b1

1
因此特解为
y*
x
(

1 2
x 1)e2 x
.
所求通解为
(
1 2
x2

x ) e2 x
.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解.
解 特征方程 r 2 3r 2 0,
特征根 r1 1，r2 2，
例5.
的通解.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x 6a sin 3x
比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos3x 3sin 3x )
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
第二步 求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x y py qy Pm (x) e(i) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
将很大!
• 当 p = k 时, 非齐次特解形式:
x t ( a sin k t b cos k t ) 代入④可得: a 0, b h
2k
方程④的解为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
x Asin ( k t ) h t cos k t
2k
自由振动
强迫振动
随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅
等式两边取共轭 :
y1 p y1 q y1 Pm (x) e(i) x
这说明 y1 为方程 ③ 的特解 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第三步 求原方程的特解 原方程
y py qy e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x
利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :
y* y1 y1
xk e x Qm ei x Qm ei x xke x Qm (cos x i sin x)
Qm (cos x i sin x) xke x Rm cos x R~m sin x

2

A
p

ex , q
不是特征方程的根
y



A xex
2 p
是特征方程的单根 ,

ห้องสมุดไป่ตู้
A x 2ex 2
是特征方程的重根
例1.
的一个特解.
解: 本题 0 , 而特征方程为
0 不是特征方程的根 .
设所求特解为
代入方程 :
比较系数, 得 于是所求特解为
形式e为xPym*(x)e xQm (x) .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Q ( x)
(2 p q )Q (x) Pm (x)
(2) 若 是特征方程的单根 , 即
为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 即
2 p 0 ,
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
故 ( y1) p ( y1) q y1 Pm (x) e(i) x
其中 R m , R~m 均为 m 次多项式 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第四步 分析 y的特点
y y1 y1
xke x Rm cos x R~m sin x
因
y y1 y1 y1 y1
y1 y1
y*
所以 y本质上为实函数 , 因此 Rm , R~m 均为 m 次实
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例7. 第七节例1 (P323)中若设物体只受弹性恢复力 f
和铅直干扰力 F H sin pt 的作用, 求物体的运动规律.
解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程
d2 dt
x
2

k
2
x

h
sin
p
t
④
• 当p ≠ k 时, 齐次通解:
o
X C1 sin k t C2 cos k t Asin ( k t )
b0
1 ,
b1
1 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
.
例3.
求解定解问题

y y(0)
3
y 2 y(0)
y
1 y(0)

0
解: 本题 0, 特征方程为
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 ex C3 e2 x
设非齐次方程特解为
代入方程得
故
原方程通解为
y C1 C2ex C3e2 x
所求非齐方程特解为 y 2x cos x, （取虚部）
原方程通解为 y C1 cos x C2 sin x 2x cos x.
例4.
的一个特解 .
解: 本题 0, 2, Pl (x) x, P~n (x) 0,
特征方程 r 2 1 0
不是特征方程的根, 故设特解为