矢量代数的合成、分解与矢量的数乘、叉乘

§0-3 矢量的乘积
一.矢量乘以标量
定义：
B mA
大小： mA 方向： 0, 与A同向； 0, 与A反向 m m
性质：
m( A B) mA mB
二.矢量的标积
定义：
A B AB cos [ ( A, B )]
矢量函数导数的正交分量表示
dA dAx dAy dAz i j k dt dt dt dt
三.矢量函数的积分
定义
dB A ，则 B 称为 A 的积分，记为 若 A A(t ) ， B B (t ) ，且 dt B Adt 性质
大小：A A 2 A 2 A 2 x y z Ay Ax A 方向： cos , cos , cos z A A A
Az
k A j i Ax
Ay
y
x
矢量8
三．矢量和（差）的正交分量表示
A A x i A y j Az k B Bx i B y j Bz k A B ( Ax B x ) i ( A y B y ) j ( Az B z ) k
矢量1
ห้องสมุดไป่ตู้
加法：平行四边形法则或三角形法则。
§0-2 矢量的合成与分解
一．矢量的合成
A
C
B C A B
A
B
B A E
C
D
C C A B
矢量2
E A B C D
说明： A B A ( B )
三.矢量的矢积
定义：
S A B
大小： AB sin [ ( A, B)] S 方向：A, SB, 满足右螺旋定则 S
S
性质：
1） A B B A 2） A ( B C ) A B A C 3） A B 0 A // B 4） A A 0
矢量函数积分的正交分量表示
Adt ( Ax dt)i ( Ay dt) j ( Az dt)k
例 0-1 已知两矢量： a 4i 3 j k ，b 3i 4 j 5k ，通过 矢量运算求： （1） a 、b 为两邻边所作的平行四边形两对角线 以
3 4
5
a b 5 a b ab cos cos 0.139 97 0 .58' （3） ab 26 50
例 0-2 已知两矢量函数 a ( 2t 1)i 2 j ，b i (2 3t ) j 。 （1）t ? 时 2 2 da db ab ； ?； （2）t ? 时 a // b ； （3） ? ， （4） adt ? ， b dt ? 0 0 dt dt
1） ( A B )dt Adt Bdt
2） ( mA)dt m Adt ( m 常量） 3） (C A)dt C Adt (C 常量） 4） (C A)dt C Adt (C 常量）
二.矢量函数的导数
定义
A(t t ) A(t ) dA A lim lim dt t 0 t t 0 t
z A' A(t t ) A A(t t ) A(t )
A A(t )
O
y
x
性质
d dA d B 1） ( A B ) dt dt dt dm d dA Am 2） ( mA) dt dt dt dA d B d B A 3） ( A B ) dt dt dt d dA dB B A 4） ( A B ) dt dt dt
§0-1 矢量与标量
一．标量
定义：只有大小，没有方向的量。 表示：数字（可带正负号）。 加法：代数和。
二．矢量
定义：既有大小，又有方向的量。
表示： A AA 0 A : 矢量的大小(矢量的模） 1） 0 A : 沿A方向的单位矢量
A
长度 : 矢量的大小(矢量的模） 2）有向线段 方向 : 矢量的方向
的长度； （2） 该平行四边形的面积； （3） 该平行四边形的内角。
解： （1） a b 7i j 4k ， l1 a b 66 8.12 a b i 7 j 6k ， l 2 a b 86 9.27 i j k （2） a b 4 3 1 11i 23 j 25k ， S a b 35.7
i j k Ax Bx Ay By Az Bz
i j k j k i k i j i i j j k k 0
§0-4
矢量函数的导数与积分
一.矢量函数
矢量 A 与变量 t 之间存在一定的关系，如果当变量 t 取 定某个值后，矢量 A 有唯一确定的值（大小和方向）与之对 应，则 A 称为 t 的矢量函数，即 A A(t )
性质：
i i j j k k 1 矢量的标积的正交分量表示： A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i By j Bz k )
Ax Bx Ay By Az Bz
1） A B B A 2） A ( B C ) A B A C 3） A B 0 AB i j j k k i 0 4） A A A 2

A
矢量6
B
矢量的标积的正交分量表示：
A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k ) ( Ay Bz Az B y )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax B y Ay Bx )k
0 0 0
C
B
A B
A B
C
二．矢量的分解
1．矢量的分解： 把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。 一般一个矢量有无穷多种分解法。
C
A
B A BC
矢量4
Ay
A
Ax A Ax Ay
z
2．矢量的正交分解
A Ax i Ay j Az k
5 解： （1） a b a b 0 ( 2t 1) 2( 2 3t ) 0 t 8 7 （2） a // b a b 0 ( 2t 1)(2 3t ) 2 0 t 0或t 6 db da 2i ， 3 j （3） dt dt 2 2 2 （4） a dt [ ( 2t 1) dt ]i ( 2dt ) j 2i 4 j