自适应滤波器简介

2 pk
N 1
wl
l0
rlk rkl
k 0,1, 2,L N 1
为简化该式，注意到
rlk Ex n l x n k xx k l
rkl Ex n k x n l xx l k
且由自相关函数的对称性
rlk rkl
代入前式简化得
J
wk
N 1
2 rkl wl
自适应滤波器用输入数据来学习所要求的统 计特性，渐进收敛（均值意义上）到维纳解
维纳滤波器理论非常重要
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设输入信号、滤波器系数和期望输出都是实数
N 1
y n wk x n k wTx n xT n w k 0
w w0 w1 L
推论：最优滤波器输出定义的期望响应的估计与 响应的估计误差也是正交的
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维纳滤波器
维纳滤波器是根据信号和干扰的统计特性 （自相关函数或功率谱），以线性最小均 方误差估计准则设计的最优滤波器
设计维纳滤波器必须有输入信号统计特性的 先验知识，这在实际中往往难以预知
期望响应
输入y(n)
- ++
d(n)
估计误差e(n)
估计误差定义为期望响应与滤波器输出之差。 对滤波器的要求是使估计误差在某种统计意 义下“尽可能小”。
滤波器是线性的，以使数学分析更为简便
滤波器是离散时间的，可以数字实现
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滤波器的脉冲响应类型多用FIR型
自适应——系统根据当前自身的状态和环 境调整自身的参数以达到预先设定的目标
自适应滤波器的系数是根据输入信号，通 过自适应算法自动调整的
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2
6.2 最优滤波
x(0),
输入 x(1), x(2),…
线性离散 时间滤波器
w0, w1, w2,…
wl wmrlm
l0
l0 m0
N 1 N 1
N 1 N 1
N 1
N 1
wlwmrlm
wl wmrlm wk wl rlk wk wmrkm wk2rkk
l0 m0
l0 m0
l0
m0
lk mk
lk
mk
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J
wk
IIR滤波器在计算上更为简单一些 FIR滤波器稳定性好。大多数应用中，更倾向于使
用FIR滤波器
优化统计准则
使某个代价函数或性能指标最小化，其中估计误 差的均方值的计算简单，实际中使用最广泛
使估计误差均方值最小化的准则称为最小均方误 差（minimum mean square error, MMSE）准则
内容提要
最优滤波
维纳滤波器 卡尔曼滤波器
自适应滤波
自适应滤波原理 最速下降法 最小均方算法 自适应滤波器的应用
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6.1 概述
传统的IIR和FIR滤波器是时不变的，即在 处理输入信号的过程中滤波器的参数是固 定的，使得当环境发生变化时，滤波器可 能无法实现原先设定的目标
J Eene* n Ee2 n
为使均方误差最小，其梯度向量的所有元素应为零
J J
k J
ak
bk
0
k 0,1, 2,L
wk ak bk
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将均方误差表达式代入
k
J
E
e n
ak
e*
n
e* n ak
en
e n bk
Ee2 n E d n y n2 min
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正交性原理
假设线性离散时间滤波器的输入x(n)和脉冲响应w(n)都 是复数无穷序列，则输出y(n)
y n wk*x n k n 1, 2,L k 0
假设滤波器输入和期望响应都已经是零均值，估计误 差和误差均方值为 en d n yn
p Ex n d n p0 p1 L
p T N 1
r00 r10
R Ex n xT n Mr20
r01
r02
r11
r12
r21
r22
MM
L r0,N 1
L
r1,N 1
L O
r2,N 1 M
rN 1,0 rN 1,1 rN 2,2 L rN 1,N 1
Ed n xT n pT wTp pTw
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正交原理：代价函数最小化的充分必要条件 是估计误差eo与输入x(0)，x(1)，x(2)，…正交
对于最优滤波器有
E
y n eo* n
E
wk*x n k eo* n
k 0
wk* Ex n k eo* n 0 k 0
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J Ed 2 n 2wTp wTRw
均方误差函数J是滤波器权系数w的二次方程， 由此形成一个具有唯一最小值的多维超抛物 曲面，通常称为误差性能曲面
滤波器工作在最优状态，w应使J取最小值
N 1
N 1 N 1
J Ed 2 n 2 plwl
wT N 1
x n x n x n 1 L x n N 1T
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en d n y n d n wTxn d n xT nw
J Ee2 n Ed n wTxnd n xT n w
Ed 2 n wT Ex n d n Ed n x nw wT Ex n x nw
l0
2 pk
k 0,1, 2,L N 1
此式的矩阵形式 J 2Rw 2p
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滤波器工作在最优状态下，有
e*
n
e* n bk
e n
由估计误差的定义可知
e n x n k e* n x* n k
ak
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ak
e n jx n k e* n jx* n k
bk
bk
代入前式有
k J 2Exn k e* n
代价函数最小化应满足
Exn k eo* n 0 k 0,1, 2,L