随机信号处理整理题目

=
������ 2 − ������ −1
1 3 1 1 ������ 2 − ������4 8
=
1 3 1 1 1− ������ −1 - ������ −2 4 8
1- ������ −1
==>������(������) − ������(������)������ −1 − ������(������)������ −2 = ������(������) − ������(������)������ −1
Hale Waihona Puke Baidu
������ (������ ������������ )������ ∗ (������ ������������ )
j
1 1 e j e j 3 Y (e j ) j 2 (2)系统的频率响应： H (e ) j 1 3 1 e j e j 2 X (e ) 2 4
相乘得： Y (e )[1
jw
1 jw 3 j 2 w 1 e e ] X (e jw )[1 e jw e j 3w ] 2 4 2 1 3 1 y[n 1] y[n 2] x[n] x[n 1] x[n 3] 2 4 2
反变换得差分方程： y[n]
5、判断右侧两个系统的线性和非移变性： T [ x(n)] g (n) x(n) , T [ x(n)] ax(n) b . 解 : ①
T [ x(n)] g (n) x(n)
；
T [ x1 (n)] g1 (n) x1 (n)
；
T [ x2 (n)] g 2 (n) x2 (n)
(ejω − e−j ω ) 2������) 解：由给定信号的功率谱，得
������x ������ = (1+0.9������ ������������ )(1+0.9������ −������������ )(1+0.6������ ������������ )(1+0.6������ −������������ ) = ������ 2 (������) ������ (������ ������������ )������∗(������ ������������ )
② T [ x1 (n)] ax1 (n) b ； T [ x2 (n)] ax2 (n) b
T[ x1 (n) x2 (n)] a[ x1 (n) x2 (n)] b T [ x1 (n)] T [ x2 (n)]，所以为非线性系统。
T [ x(n no )] ax(n no ) b y(n no ) ，所以为非移变系统。
因此与之对应的最小相位系统为：H z = 系统的传递函数为：H z =
1+0.8������ −1 (1+0.9������ −1 )(1+0.6������ −1 ) 1+0.8������ −1 (1+0.9������ −1 )(1+0.6������ −1 )
(1+0.8������ ������������ )(1+0.8������ −������������ )
第二章 1 、 复 随 机 过 程 ������(������) = ������ ， 式 中 ������0 为 常 数 ， ������ 是 在 (0,2������) 上 均 匀 分 布 的 随 机 变 量 。 求 ： (1) ������ [������(������ + ������)������ ∗ (������)]和������ [������(������ + ������)������(������)]；(2)信号的功率谱。
2������
1
=
0
������ ������ ������ 0 ������ 2������ ������������ = ������ ������ ������ 0 ������ ������ ������ [������ 0 (������ +������ )+������ ] ������ ������ [������ 0 ������ +������ ] 1 ������������ 2������
������−
1 3
1 n
1 1
1
������ (������ )
1 −1 ������ 1 + ������ 1 ������ −3 4 ������ −3
������
������ 1 ������ −2
=
1 3 1 1 (������− )(������+ ) 2 4
������ (������− )
因此，X（z）的逆 z 变换为


x(n) x1 (n) x2 (n) 3n1u(n) 4n1u(n 1)
4、(1) 一线性时不变系统,其输入输出满足如下差分方程: 1 ������[������] − ������[������-1] = ������[������] + 2������[������ − 1] + ������[������ − 2] 2 求其频率响应 H (e ) 。 (2) 有一系统，其频率响应为H ej ω = 解：(1)差分方程： y[n]
=������ ������ ������ 0 (2������ +������ ) =0
(2)
0
������ ������ 2������
������������ (������) = ������ [������������ (������)] = ������ {������ [������(������ + ������)������ ∗(������)]} = ������ [������ ������ ������ 0 ������ ] = 2������������(������ − ������0 ) ， 求 该 系 统 的 传 递 函 数 ， 差 分 方 程 。 ( cosw = (ejω + e−jω ) 2 ，sinw =
jw
两边同时傅里叶变换得： Y (e )[1
1 jw e ] X (e jw )[1 2e jw e j 2 w ] 2
Y (e j ) 1 2e j e j 2 因此频率响应： H (e ) 1 X (e j ) 1 e j 2
θ
1
2 ������������ ������ 9 1 ������ ������������ − 2
+
7 ������������ ������ 9 1 ������ ������������ + 4
（4）������(������) =
1 4
������ (������ ) ������ (������ )
1 2 1 1+ ������ −������������ 2
j
1 − ������ −������������ +������ −������ 3 ������ + ������ −������ 2 ������
3 4
写出表征该系统的差分方程。
1 y[n] x[n] 2 x[n 1] x[n 2] 2
8 3
1
1
1 1 1 ������(������) − ������(������ − 1) − ������(������ − 2) = ������(������) − ������ (������ − 1) 4 8 3 1 2、x(n)的 z 变换为 X(z)=(1-z-1)(1-2z-1) , ROC：1<│z│<2 ，求逆 z 变换。 A B 解：设 X(z)=1-z-1 +1-2z-1 =X1(z)+X2(z) 则由部分分式分解法，可得 A=（1-z-1)X(z)│z=1=-1, B=(1-2z-1)│z=2=2 由 ROC 的形式，可以判定 x(n)是一个右边序列和一个左边序列之和。 x1(n)=Z-1{X1(z)}=A{u(n)},x2(n)=Z-1{X2(z)}=B{-2nu(n)} 所以，x1(n)=-u(n); x2(n)=-2n+1u(-n-1); 因此，x(n)=x1(n)+x2(n)=-u(n)-2n+1u(-n-1) 3、简述六种常用离散时间信号； 并计算下题：已知序列 X（n）的 z 变换为： 1 X ������ = ，ROC: 3 < |������| < 4 − 1 (1 − 3������ )(1 − 4������ −1 ) 求逆 z 变换 解：设 X ������ = (1−3������ −1 )(1−4������ −1 ) = 1−3������ −1 + 1−4������ −1 == ������1 (������)������2 (������) 则由部分分式分解法，可得
1 ������ ������
A (1 3z 1 ) X ( z )
z 3
3, B (1 4 z 1 ) X ( z )
z 4
4
由 ROC 的形式，可以判定想 x（n）为一个右边序列和一个左边序列之和。
x1 (n) Z 1X 1 ( z ) A 3n u (n) , ROC 1 : z 3 x2 (n) Z 1 X 2 ( z ) B 4u (n 1), ROC 2 : z 4
|Z|>
1 2
(2)
������ (������ ) ������
=
1 1 (������− )(������+ ) 2 4
=
9 1 ������−
2
2
+
9 1 ������ +
4
7
|Z| >
1 2
2 1 7 1 h(������) = ( )������ ������(������) + (− )������ ������(������) 9 2 9 4 （3）因为 H（z）收敛域为|Z| > 2，包含单位圆 所以 H（ej ）存在������(������ ������������ ) = ������(������)|������=������ ������������ =
1
+∞
������ [������(������ + ������)������(������)] =
−∞
2������
=
0
������ ������ [������ 0 (2������ +������ )+2������ ]
2������
1 ������������ 2������ 1 ������������ 2������
2 、一个方差为 1 的白噪声激励一个线性系统产生一个随机信号 , 该随机信号的功率谱为 : ������������ =
1.64+1.6 cos ������ (1.81+1.8������������������������ )(1.36+1.2������������������������ )
T [ x1 (n) x2 (n)] g (n)[x1 (n) x2 (n)] T [ x1 (n)] T [ x2 (n)]，所以系统为线性系统。
T [ x(n no )] g (n) x(n no ) g (n no ) x(n no ) ，所以为移变系统。
������ (������ 0 ������ +������ )
������ [������(������ + ������)������ ∗ (������)] =
解： (1)
+∞
−∞
������ ������ [������ 0 (������ +������ )+������ ] ������ −������ [������ 0 ������ +������ ] 2������ ������������
第一章 1、某离散时间因果 LTI 系统，当输入x(n) = ( 3 ) ������(������) + 4 (3)������−1 ������(������ − 1)时，输出y(������) = (2)������ ������(������)。 （1）确定系统的函数 H(Z) （2）求系统单位序列相应 h（n） θ （3）计算系统的频率特性 H（ej ） （4）写出系统的差分方程 解： （1）������(������) = ������ (������ ) =