极限分析理论

极限分析理论是为了计算土体强度，学者 们发现的一种理论。极限分析理论假定土体 为弹性－理想塑性体或刚塑性体，强度包线 为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。 当作用于土体上的荷载达到某一数值并保持 不变时，土体会发生“无限”塑性流动，则 认为土体处于极限状态，所对应的荷载称为 极限荷载。极限分析理论就是应用弹性－理 想塑性体或刚塑性体的普遍定理－上限定理 （求极限荷载的上限解）和下限定理（求极 限荷载的下限解）求解极限荷载的一种分析 方法，称为极限分析法。
0 ij
0 i

s
0 (i i0 )ui ds ( ij ij ) ji dv [c ( ntg )][vt ]dsL v sL
由于c ≥ n tg 同时 [c ( ntg )][vt ] 即剪应力做正功率知 s (i )ui ds ≥0

3,虚功率原理
对于一个连续的变形体，任意一组静力容许的应力 场和任意一组机动容许位移场，外力的虚功等于内力的 虚功。同理虚功率原理可表示为：对于任意一组静力容 许应力场和任意一组机动容许的位移速率场，外力的功 率等于物体内虚变形功率。

A
* 0 * Tiui*dA Fu i i dA ij ij dv V v
* i i s * i i * * ij ij SL * t
* L
下限定理证明： ui 证：设 ij为真实的应力场，对应的表面力为Ti，
为真实的位移速率场，由几何方程求得真实应变 率为 ij ，真实速度场中可能存在速度间断面SL， v tSu上给定速度 其上的切向速度跃度为[ ]；在 为 u ，在 ，给定的体力 i ST上给定表面力为 i 为 fi。 由虚功率方程得 fiui dv iui ds ijij dv c[vt ]dsL
极限分析理论
• • • • • 静力许可应力场 运动许可速度场 虚功率原理 极限分析定理 近似解法举例
1,静力容许的应力场
设有物体V，其表面A，面力 i和体力 f i已知。 若在此物体上，设定一组应力场 ，满足下列条 件，则称为静力容许应力场。 ①在体积V 内满足平衡方程，即 *
* ij

A v
A
0 * Ti ui* dA Fi ui* dv ij ij dv V v
如果物体内部存在速度间断时，其虚功率方程可表示为： * * 0 * T u dA F u dv ii i i ij ij dv wenku.baidu.com n tg )[vt ]ds
2,运动许可速度场
在物体V上，若设定一组位移速度场，满足以下条 件，则称u i 为运动许可的速度场。 1 * * * ( u u j ,i ) ①在体积V内满足几何方程，即 ij 2 i , j ②在边界上满足位移边界条件，并使外力做正功， 即 * * p u u i ui 在 u 上，且 i i 0 由上述定义可知，物体于极限状态时，其真实的 位移速度场必定是运动容许的位移速度场；但运 动容许的位移速度场不一定是极限状态时真实的 位移速度场。
≥0，
5,近似解法举例 下限法和上限法 下限法就是利用下限定理计算极限荷载的方法，也 叫静力法。上限法就是利用上限定理计算极限荷载 的方法，也叫机动法。 例：土坡临界高度
上限解 AC为剪切面，宽度为D的刚性土 * v 与剪切面呈 t 角。 块向下移动。 由于拉裂缝处没有能量耗散，故 总功率等于剪切面上的内功率， 即 cv* cos t d cv* cos t
另设一运动容许的位移速度场 u ，对应的应变 * 率为 ij ，应变速度场可能有间断面，其上的切 向速度为[ v * 。虚功率方程得 t]
* i

v
* * fiui*dv iui*ds ij ij dv ( ntg )[vt* ]dsL s v SL

ij , j
fi 0
②在边界上满足边界条件，即 * p*i n j *ij 在 上，且 pi pi 在 上 ③在体积V内不违反屈服条件，即
f ij * 0
由定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应 力场必定是静力容许的应力场；但静力容许应力场 不一定是极限状态时真实的应力场。
v s
式中，S——速度间断面； vt ——速度间断面两侧切向速度的变化。
4,极限分析定理
上限定理：在所有的运动容许的塑性变形位移速 度场相对应的荷载中，外功功率等于物体内能耗 散率所对应的极限荷载为最小。 下限定理：在所有与静力容许的应力场满足 F （ ij） 0相对应的荷载中，极限荷载最大。 上限定理证明： 证：设 ij 为物体达到极限状态的真实应力场，其 对应的表面力为 i， u i为真实位移速率场，由几何 ij ，真实速度场中可能有 方程求得的应变率为 速度间断面SL，其上的速度切向跃值为[ v t]；体 力为 f i 。
由于
又 ntg ≤C，则有 * * * * ( tg )[ v ] ds c [ v ] ds n t L t L
* SL

v
( ij )
* ij
* ij ≥0
后两式代入第一式，便有

v
显然只有 u ui 时等式成立。
* i
f u dv u ds * c[v ]ds
v s v sL
又设另一静力容许的应力场，对应的表面力 为 ntg ，由虚功率方程得

v
0 fiui dv i0ui ds ij ij dv ( ntg )[vt ]dsL s v SL
上述两式相减得
ij≥0 由Drucker公式得到 ( ij )