解三角形与数列知识整理(A4)

高二数学解三角形与数列知识整理

1. 三角基本关系式：

22sin cos 1αα+=，sin tan cos α

αα

=

． 2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

-，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-．

3. 重要的诱导公式：

()sin sin ααπ-=，()cos cos ααπ-=-，()tan tan ααπ-=-．

三角形中常考点：

sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-；

tan()tan A B C +=-，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅．

4. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=； ⑵2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，

变形：2

1cos 2cos 2αα+=，2

1cos 2sin 2

αα-=； ⑶222

sin 22sin cos 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan ααααααααα

=

==--． 5. 一个综合性很强的例子：

22222

cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )

1sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )cos sin 1tan 1tan tan()sin cos tan 11tan 4

ααααααααααααααααααααααα--+==

++++---π====-+++

6. 辅助角公式（一角一函数）：

()sin cos a b αααϕ+=+，其中tan b a

ϕ=

． 常见辅助角公式：

sin cos x x x π⎛⎫±=± ⎪4⎝⎭，

2sin x x x π⎛

⎫±=± ⎪4⎝⎭，

cos 2sin x x x π⎛⎫±=± ⎪6⎝⎭，

sin 2sin x x x π⎛

⎫=± ⎪3⎝

⎭，

3sin 2x x x π⎛⎫=± ⎪6⎝⎭，

3cos 2x x x π⎛

⎫±=± ⎪3⎝

⎭， 7. 根据“函数()()sin 00y x ωϕω=A +A >>，”的定义域，利用其单调性求其最值． 8. 设A 、B 两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，有：

⑴()1212,x x y y AB =--u u u r

；⑵||AB =u u u r （两点距离公式）．

9. 设()11a x y =r

，，()22b x y =r ，

，有：

⑴模长：a =r

b =r

⑵坐标运算：()1212a b x x y y +=++r r ，，()1212a b x x y y -=--r r ，，1212a b x x y y ⋅=+r

r ；

⑶平行与垂直：若a r ∥b r

，则12210x y x y -=；若a b ⊥r r ，则12120a b x x y y ⋅=+=r r ；

⑷数量积：cos a b a b θ⋅=r r

r r ，

cos a b a b θ⋅==r r

r r ． 10. 正弦定理：

在C ∆AB 中，有

2sin sin sin a b c

R C

===A B ，其中，R 为C ∆AB 的外接圆的半径． 正弦定理的变形公式：

①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；

④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===

A +

B +A B ． 11. 射影定理：（要求会用两角和的正弦公式及正弦定理证明）

cos cos cos cos cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+，，

12. 三角形面积初级公式：

111

222C a b c S ah bh ch ∆AB ===，

（Rt △ABC 斜边上的高22c ab h c a b

==+） 111

sin sin sin 222C S ab C ac bc ∆AB =

=B =A ； 三角形面积中级公式：

1

()42

C abc S a b c r R ∆AB =

=++内外； ()()()C S p p a p b p c ∆AB =---，其中1

()2

p a b c =++；

三角形面积高级公式：

若1122()()CB a x y CA b x y ====u u u r r u u u r r ，，，，则

2

21221111||||sin ()(||||)||222

C

S a b C a b a b x y x y ∆AB ==-=-r r r r r r g ． 13. 余弦定理：（要求会用向量法证明）