电磁场理论 电子教案 中科大 (5)

B D ∫∫ ( E × H ) dS = ∫∫∫ H +E dV + ∫∫∫ f vdV t t S V V
表示闭合空间区域V内电磁场能量守恒和转化的关 系式，称为Poynting定理，其中
w(r， t ) = t B D H +E t t
S(r, t ) = E(r, t )× H(r, t ) 称为Poynting矢量 称为Poynting矢量 Poynting
7
势函数的非唯一性源于其磁矢势散度的任 意性。因此， 意性。因此，要使电磁场与势函数之间为 唯一对应关系， 唯一对应关系，须给势函数以明确的约束 规定，称这种约束规定为势函数的规范。 规定，称这种约束规定为势函数的规范。 Coulomb规范 ： 对于磁矢势， 对于磁矢势，辅以 A(r, t ) = 0 [E , B ] [A, φ ]
9
4 规范变换的不变性 每一种规范建立了势函数与时变电磁场之间的一 一对应关系。因此同一电磁场可以有多种规范条 件下的势函数与之对应，如：
规 A 范 φ 一
E A ′ B φ ′
规 范 二
由于电磁场的解是唯一的，不同规范下势函数能 够描述同一电磁场，这意味着不同规范下的势函 数之间必然存在某种联系，可以进行相互变换。
t
实现相互之间的转换，称为规范变换。 不同规范下的势函数描述同一电磁场。势函数 作规范变换时，其所描述的物理量及其遵循的 物理规律应保持不变，称为规范变换的不变性
12
5.2 推迟势
1 D’Alembert方程的定解问题 D Alembert方程的定解问题 Alembert 时变电磁场可归纳为不同初始条件和边界 下D’Alembert方程的求解。一般情形下的 求解是困难的。仅就无界空间的特例的解 及其意义进行讨论。
10
如Coulomb与Lorentz规范之间
A′(r ,t ) = 0
A′ φ ′
φ (r ,t ) A A(r ,t ) + ε =0 φ t
[A(r ,t ) + ψ ] = A′ = 0 2ψ = ε
E (r ,t ) = φ (r ,t )
φ (r ,t ) t
∞ 1 ρ (r ,ω ) e jω t d ω ρ (r , t ) = ∫∞ ~ 2π ∞ ~ (r ,ω ) = 1 ρ ρ (r ,t ) e jω t d t ∫ 2 π ∞
~ ~ 1 ~ 2 φ (r , ω ) + k 2 φ (r , ω ) = ρ (r , ω
第五章
时变电磁场
随时间变化的电磁场称为时变电磁场。 随时间变化的电磁场称为时变电磁场。时变电磁场 具有广泛的应用领域。 具有广泛的应用领域。如： 通信： 通信：利用电磁波进行信息的传输和通信 雷达： 雷达：利用电磁波进行目标的探测和测距 遥感： 遥感：利用传感器获取地物所辐射或反射电磁波 强度及其时－空分布，获取大气、 强度及其时－空分布，获取大气、陆地和 海洋环境信息 涉及：电磁波的辐射、波与物质的相互作用、电 涉及：电磁波的辐射、波与物质的相互作用、 磁波传输与传播、电磁波信号的接收、 磁波传输与传播、电磁波信号的接收、电 子系统、 子系统、电磁波信号处理和信息的获取
dV ′
dV' k ρ r' ，t r r' ∫∫∫ r r' ω V 14
∫∫∫
V
~ ρ (r' ,ω ) r r'
jk r r '
1 ~(r' ,ω ) e jω t k r r' = 1 ∫∞dω ρ 4πε 2π
1 φ (r , t ) =源自文库4 πε
∫∫∫
V
ε
)
3 ~ 1 ∫∫∫ φ ( K ,ω )exp ( jK r )d K φ (r ,ω ) = 2π K 3 1 ~ φ (K ,ω ) = ∫∫∫ φ (r ,ω )exp ( j K r )d V 2π V 3 1 ρ (r ,ω ) = ~ ∫∫∫ ρ ( K ,ω )exp ( j K r )d K 2π K 3 1 ~ ρ (K ,ω ) = 2 π ∫∫∫ ρ (r ,ω )exp ( j K r )d V V
得到势函数满足的方程为： 得到势函数满足的方程为：
2 2 A(r , t ) = J (r , t ) A(r , t ) ε 2 t 2 2φ (r , t ) ε φ (r , t ) = 1 ρ (r , t ) ε t 2
这是一组标准的D Alembert Alembert方程 这是一组标准的D’Alembert方程 。上式形 式上磁矢势仅与电流有关， 式上磁矢势仅与电流有关， 电标势仅与电 荷分布有关，但它们通过Lorentz Lorentz规范联系 荷分布有关，但它们通过Lorentz规范联系
2 2φ(r ,t ) 1 φ(r ,t ) ε = ρ(r ,t ) ε t 2 limφ(r ,t ) = 0 , φ(r ,0) = φ(r ,0) = 0 r→∞ t
13
∞ 1 ~ φ (r , t ) = φ (r ,ω ) e jω t d ω ∫ 2 π ∞ ∞ 1 ~ φ (r ,ω ) = φ (r , t ) e jω t d t ∫ 2 π ∞
6
3 势函数的规范 根据矢量场的Helmholtz定理，确定区域上 的矢量函数只有在该矢量函数的散度和旋 度及其边界条件是确定的才能唯一确定。 根据磁矢势引入的定义，由关系式
B(r , t ) = × A(r , t )
是不能唯一确定磁矢势 A(r , t )。例如：
A ± ψ A E A ′ φ B φ ′ = φ ψ t
J ρ
由于时变电磁场的波动特 点，闭合空间内部的电磁 场有可能传播到外部， 场有可能传播到外部，外 部空间的电磁场也有可能 传播到空间内部， f(r， 表示场对荷电系统作用力密度 传播到空间内部，闭合空 t) 间的内外有可能存在电磁 场能量的交流。 场能量的交流。 v 为荷电系统运动速度
表示通过界 面在单位时 间内进入V 间内进入V 内电磁场的 能量
3
2
波动方程
B (r ,t ) × E (r ,t ) = t × H (r ,t ) = J (r ,t ) + D (r ,t ) t
D (r , t ) = ε E (r , t ) B (r , t ) = H (r , t ) J (r , t ) = σ E (r , t )
B (r ,t )
是一无散矢量场
A (r , t )
引入势函数
B(r , t ) = × A(r , t )
将上式代入电磁感应 定律，得到
A(r , t ) × E (r , t ) + =0 t
5
A(r , t ) E (r , t ) + t
是一无旋矢量场， 是一无旋矢量场，可以引入标量
(K , ω ) = 1 ρ (K , ω ) φ ε K 2 k2
1 φ (r ,ω ) = 4 πε ~
1 φ (r ,t ) = 4πε dV' ∫∫∫ r r' V
∞
φ (r ,ω ) =
~
1 (2π)3 ε
e
exp[ jK (r r ′)] ~ ∫∫∫ K 2 k 2 ∫∫∫ρ (r' ,ω)dV' dK K V
A(r ,t ) ψ (r ,t ) A′(r ,t ) = φ (r ,t ) t t t
A′(r , t ) = A(r , t ) + ψ (r , t ) φ ′(r , t ) = φ (r , t ) ψ (r ,t ) t
11
由此可见，尽管电磁场的势函数有多种规范， 不同规范有不同的势函数，但不同规范下的势 函数可以通过变换关系 A' (r ,t ) = A(r ,t ) + ψ (r ,t ) φ' (r ,t ) = φ(r ,t ) ψ (r ,t )
两边求旋度
2 E (r ,t ) J (r ,t ) ρ (r ,t ) E (r ,t ) ε = + t ε t 2
2
波动方程
v= 1
两边求旋度
2 H (r , t ) H (r , t ) ε = × J (r , t ) 2 t
2
ε
3 时变电磁场的势函数 静态电磁场可通过位 （势）函数满足的方程 进行求解，并且可以 得到简化。时变电磁 场能否引入势函数， 通过势函数满足的方 程来求解，达到求解 时变电磁场的目的。
函数的梯度表示，即
E (r , t ) + A (r , t ) A(r , t ) = φ (r , t ) E (r , t ) = φ (r , t ) t t
A(r , t ) 和 φ(r, t ) 分别为电磁场的磁矢势和电标势。
必须指出的是，尽管磁感应强度在形式上只与 磁矢势有关，不能据此认为磁感应强度由磁矢 势决定而与电标势无关。因为在时变情形下， 电磁场相互激发，而时变电场由磁矢势和电标 势共同描述，使得时变磁场本质上与磁矢势和 电标势都有联系。
表示单位 时间内空 间区域电 磁场能量 的增量
区域内 场对荷 电系统 所作的 功率
17
f v =
w (r , t ) S (r , t ) t
D f v = (ρ E + ρ v × B ) v = ρ E v = E J = σ E 2 = E × H t
D D D B f v = E × H (E × H ) = H + E (E × H ) = H ( × E ) E t t t t
ρ (r ,t ) 2 φ (r ,t ) = ε 势函数方程：2 A(r ,t ) ε 2 A(r ,t ) = J (r ,t ) + ε (φ(r ,t )) t t 2
8
Lorentz规范 Lorentz规范 对势函数 [ A , φ ] 辅以约束条件
A(r , t ) + ε φ (r , t ) =0 t
ρ r' , t
r r' a
r r'
dV ′
φ (r ,t )
r
A (r , t ) =
4π
∫∫∫
V
r r' J r ' ,t a r r'
dV ′
t = t t ′ =
r r' a
r'
ρ (r′,t′)
15
5.3 时变电磁场的能量 1 Poynting定理 定理 时变电磁场具有能量已被大量的事实所证 明。时变电磁场可以脱离电荷或电流而在 空间存在，且随时间的变化在空间以波动 形式传播。那么时变电磁场的能量又以何 种形式存在于空间，它是否随电磁波的传 播而在空间传播？首先来讨论时变电磁场 能量的守恒与转化关系。
1
第五章
主要内容： 主要内容：
时变电磁场
时变电磁场的波动方程 势函数与推迟势 时变电磁场的时谐展开 定态电磁场与平面电磁波 平面电磁波的极化概念
5.1
时变电磁场的势函数
1 时变电磁场 随时间变化的电磁场称为时变电磁场。 随时间变化的电磁场称为时变电磁场。时变电磁 场比静态电磁场要复杂得多，主要表现在： 场比静态电磁场要复杂得多，主要表现在： 时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性， 时变电磁场之间相互激励而具有的波动特性，波 动使时变电磁场的叠不仅要考虑矢量的方向， 动使时变电磁场的叠不仅要考虑矢量的方向，同 时还要考虑波相位对叠加的影响； 时还要考虑波相位对叠加的影响；电磁场的大小 和方向随时间而变化， 和方向随时间而变化，将导致介质的极化和磁化 特性随时而变，使介质呈现色散特性等。 特性随时而变，使介质呈现色散特性等。
16
场的能量密度设为
：w r ,t
( )
设有一闭合介质空间区域V，其内 存在时变的电荷、电流和电磁场。 存在时变的电荷、电流和电磁场。
V
能量流密度矢量 ： S(r， ) t 根据能量守恒定律： 根据能量守恒定律：
∫∫ S (r ,t ) ds = ∫∫∫
S V
w(r ,t ) dV + ∫∫∫ f (r ,t ) vdV t V