复数的几何意义PPT课件
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3.1.2复数的几何意义课件人教新课标
)
(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)不充分不必要条件
3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所
对应的点位于第二、四象限，求实数m的取值范
围. m 3 m 2或1 m 2
选做作业:
若复数 (m2 m 2) (m2 3m 2)i(m R) 在复平面
（数）
（形）
y
一一对应
z=a+bi
b
Z(a,b)
平面向量 OZ
向量OZ 的模r 叫做复数 z a bi
0
a
的模,记作 z 或 a bi .
x
易知 z a2 b2
这是复数的又一种几何意义.
模与绝对值
| z | = a2 b2
| z || z | a2 b2
| z |2 | z |2 z z
第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义
上节课,我们大胆假设存在一个新数 i (叫 做虚数单位).
规定:① i2 1 ; ② i 可以和实数进行运算,且原有的运算律仍成立.
1.复数 z a bi(a,b R)
a ─ 实部
b ─ 虚部
2.复数相等 (a, b, c, d R)
z=a+bi Z (a,b)
y Ox
实数绝对值的几何意义: 复数的模 的几何意义:
实数a在数轴上所
复数 z=a+bi在复平
对应的点A到原点O的 面上对应的点Z(a,b)到
距离.
a
OA
|a| = |OA|
原点的距离.
x
z=a+bi
y
Z(a,b)
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
高中数学一轮复习《复数》课件ppt（29张PPT）
解析 1－1 i＝1＋2 i＝12＋12i，其共轭复数为12－12i，
∴复数1－1 i的共轭复数对应的点的坐标为12，－12，位于第四象限，故选 D.
答案 D
5.(2019·全国Ⅲ卷)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A.－1－i
B.－1＋i
C.1－i
D.1＋i
解析 由 z(1＋i)＝2i，得 z＝12＋i i＝(21i＋（i1)－ (1－i）i)＝2i（12－i）＝i(1－i)＝1＋i.
D.－
3 2i
解析 (1)∵z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，
∴mm2－＋2m≠－0，6＝0，解得 m＝－3，故选 D.
(2)∵z＝1－
3i，∴－zz＝z·－z－z2
＝（1＋|z|23i）2＝1＋2 43i－3＝－12＋
－
23i，∴zz的虚部
为 23.故选 C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该 满足的条件，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式) 组即可. 2.解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
建立平面直角坐标系来表示复数的 数；除了原点外，虚轴
复平面 平面叫做复平面，__x_轴___叫实轴，y 上的点都表示纯虚数，
轴叫虚轴
各象限内的点都表示
虚数
复数的 设O→Z对应的复数为 z＝a＋bi，则向量 模 O→Z的长度叫做复数 z＝a＋bi 的模
|z|＝|a＋bi|＝__a_2_＋__b_2
2.复数的几何意义
2.(新教材必修第二册 P69 例 1 改编)若复数 z＝11＋＋aii为纯虚数，则实数 a 的值为
苏教版高中数学必修第二册12.3_复数的几何意义_课件
例3 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别
对应的复数为0，3＋2i，－2＋4i. 求：(1)A→O表示的复数；
解 因为A，C对应的复数分别为3＋2i，－2＋4i， 由复数的几何意义，知O→A与O→C表示的复数分别为 3＋2i，－2＋4i. 因为A→O＝－O→A，所以A→O表示的复数为－3－2i.
的对角线OZ所对应的向量
→ OZ
就是
与复数z1＋z2对应的向量
复数减法的几 何意义
从向量
→ OZ2
的终点指向向量
O→Z1的
终点的向量 -Z-2-Z→1 就是复数z1－z2对
应的向量
2 题型探究
PART TWO
题型探究
一、复数的几何意义
例1 实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的 点Z在： (1)第三象限；
题型探究
跟踪训练1 求当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－ 28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件： (1)位于第四象限；
m2－8m＋15>0，
m<3或m>5，
解 由题意，知m2＋3m－28<0， 解得－7<m<4.
即－7<m<3.
故当－7<m<3时，复数z的对应点位于第四象限.
知识梳理
2.复数的模 复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为O→Z，则向量 O→Z 的模叫作复数z＝ a＋bi的模(或绝对值)，记作 |z| 或 |a＋bi| .由模的定义可知：|z|＝|a＋bi| ＝ a2＋b2 .
知识梳理
知识点三 复数加、减法的几何意义
复数加法的几 何意义
以 O→Z1，O→Z2 为邻边的平行四边形
复数课件ppt免费
02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
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目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
复数的几何意义 课件
所以B→A＝(5，－5)，所以向量B→A对应的复数是 5－5i.
答案：D
归纳升华 解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标， 再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所 表示的复数．
类型 3 复数的模(互动探究) [典例❸] (1)已知复数 z 满足 z＋|z|＝2＋8i，求复数
z. (2)已知复数 z＝3＋ai(a 为实数)，且|z|<4，求 a 的取
类型 1 复数与复平面上的点(自主研析)
[典例 1] (1)复数 z＝cos 23π＋isin π3在复平面内对应
的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)已知复数 z＝x＋1＋(y－1)i 在复平面内的对应点
位于第二象限，则点(x，y)所表示的平面区域是( )
A
B
C
D
(3)在复平面内，复数 6＋5i，－2＋3i 对应的点分别
值范围．
解：(1)法一 设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝ a2＋b2，
代入方程得 a＋bi＋ a2＋b2＝2＋8i，
所
以a＋ a2＋b2＝2，解 b＝8，
得ab＝＝－8，15，
所以
z＝－
15＋8i.
法二 原式可化为 z＝2－|z|＋8i. 所以|z|＝ （2－|z|）2＋82，即|z|2＝68－4|z|＋|z|2， 所以|z|＝17. 代入 z＝2－|z|＋8i，得 z＝－15＋8i. (2)因为 z＝3＋ai(a∈R)， 所以|z|＝ 32＋a2， 由已知得 32＋a2<42， 所以 a2<7，所以 a∈(－ 7， 7)．
归纳升华 (1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的 距离． (2)计算复数的模时，应先找出复数的实部与虚部， 然后利用模的计算公式进行计算．复数的模是一个非负实 数，可以比较大小． (3)利用复数模的几何意义解题，体现了数形结合的 思想方法．
复数的几何意义课件
复数的几何意义课件
本课件将带您深入了解复数的几何意义，包括乘以i的概念、复数的图形表示、 复平面上的实轴和虚轴、以及复数的实部和虚部的识别。
图形表示
复数平面
探索虚数和实数之间的关系，以及它们在复数平面 上的图形表示。
实轴和虚轴
了解复平面中的实轴和虚轴以及它们的作用。
复数的图形表示
通过图形，直观地了解复数的构成和特点。
3 利用DeMoivre定理计算根
通过DeMoivre定理，计算复数的根。
4 应用举例
通过实际例子，展示DeMoivre定理在实际问 题中的应用价值。
复数在数学和物理中的重要性
复数在数学中的应用
介绍复数在数学中的重要应 用，如在代数、几何和计算 机图形学中的应用。
复数在物理中的应用
探索复数在物理学中的应用， 如电路分析、波动现象以及 量子力学中的应用。
复数的历史和发展
介绍复数的起源和发展历程， 以及与著名数学家的相关故 事。
学习如何将复数从极坐标形式转换为直角坐标 形式。
复数的运算
1
复数的加法
使用向量相加的方法进行复数的加法运
复数的减法
2
算。
使用向量相减的方法进行复数的减法运
算。
3
复数的乘法
使用模和辐角进行复数的乘法运算。
复数的除法
4
使用模和辐角进行复数的除法运算。
解解二次方程的方法，包括使用二次公 式。
复数的表示
不同复数表示方法的优缺点对比，包括直角坐标形 式和极坐标形式。
复数的模和幅角
模的概念
学习如何计算复数的模，并理解模与原点的距 离之间的关系。
直角坐标形式转极坐标形式
学习如何将复数从直角坐标形式转换为极坐标 形式。
本课件将带您深入了解复数的几何意义，包括乘以i的概念、复数的图形表示、 复平面上的实轴和虚轴、以及复数的实部和虚部的识别。
图形表示
复数平面
探索虚数和实数之间的关系，以及它们在复数平面 上的图形表示。
实轴和虚轴
了解复平面中的实轴和虚轴以及它们的作用。
复数的图形表示
通过图形，直观地了解复数的构成和特点。
3 利用DeMoivre定理计算根
通过DeMoivre定理，计算复数的根。
4 应用举例
通过实际例子，展示DeMoivre定理在实际问 题中的应用价值。
复数在数学和物理中的重要性
复数在数学中的应用
介绍复数在数学中的重要应 用，如在代数、几何和计算 机图形学中的应用。
复数在物理中的应用
探索复数在物理学中的应用， 如电路分析、波动现象以及 量子力学中的应用。
复数的历史和发展
介绍复数的起源和发展历程， 以及与著名数学家的相关故 事。
学习如何将复数从极坐标形式转换为直角坐标 形式。
复数的运算
1
复数的加法
使用向量相加的方法进行复数的加法运
复数的减法
2
算。
使用向量相减的方法进行复数的减法运
算。
3
复数的乘法
使用模和辐角进行复数的乘法运算。
复数的除法
4
使用模和辐角进行复数的除法运算。
解解二次方程的方法，包括使用二次公 式。
复数的表示
不同复数表示方法的优缺点对比，包括直角坐标形 式和极坐标形式。
复数的模和幅角
模的概念
学习如何计算复数的模，并理解模与原点的距 离之间的关系。
直角坐标形式转极坐标形式
学习如何将复数从直角坐标形式转换为极坐标 形式。
复数的几何意义ppt课件(公开课)
阻抗
在交流电路中，电阻、电 感和电容的阻抗可用复数 表示，实部表示电阻，虚 部表示电感和电容。
频域分析
通过傅里叶变换将时域信 号转换为频域信号，频域 信号可用复数表示。
振动与波动的复数描述
简谐振动
简谐振动的位移、速度和加速度可用复数表示，方便进行振幅、 频率和相位的计算。
波的叠加
多个波叠加时，可用复数表示各波的振幅和相位，便于计算合成 波的振幅和相位。
复数的运算与几何意
04
义
复数的加法与减法
01
02
03
加法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i$。
减法运算规则
设$z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$，则$z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i$。
复数的几何意义ppt课 件(公开课)
目录
• 引言 • 复数的表示方法 • 复数的几何解释 • 复数的运算与几何意义 • 复数在几何中的应用 • 复数在其他领域的应用
引言
01
复数的基本概念
01
02
03
04
定义
复数是形如 $a + bi$ 的数， 其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2 = -1$。
实部和虚部
在复数 $a + bi$ 中，$a$ 称 为实部，$b$ 称为虚部。
共轭复数
若 $z = a + bi$，则其共轭复 数为 $a - bi$。
模
7.1.2 复数的几何意义(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
平面向量
一 一对应
复平面内的点Z(a,b)
2.复数的模
|| = | + i| =
2 + 2
3.共轭复数 如果 = + i，那么ҧ = − i．
一 一对应
作业
习题7.1 第8,10题
(1)
(4)
2 + 5i, (2)
−3 − i, (5)
−3 + 2i,
5,
(3)
(6)
y
2 − 4i,
−3i.
2 5i
3 2i
5
O
x
3 i
3i
2 4i
复数的几何意义
问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数
对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．你能用平面向量来表示复
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用
数轴上的点来表示．复数有什么几何意义呢？
一 一对应
（数） 实数
（形） 数轴上的点
o
1
x
复数的几何意义
问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数 = + i都可以由一
个有序实数对 (, )唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何
表示方法吗？
不等式|| > 1的解集是圆 = 1外部所有的点组成的集合，
这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，
也就是满足条件1 < || < 2的点的集合．
容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以１及２为半径的两个圆所夹的圆环，但
不包括圆环的边界．
课堂小结
复数 = +
一 一对应
1.复数几何意义
3.1.2复数的几何意义课件人教新课标
答案： 1＋2i或－1－2i
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
4．当实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－ 15)i：
(1)对应的点Z在实轴上？ (2)对应的点Z在第四象限？ (3)对应的点Z在直线x－y－3＝0上？
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．若复数 z 对应的点在直线 y＝2x 上，且|z|＝ 5，则复数 z＝__________.
解析： 根据题意设 z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝ 5得 a2＋4a2 ＝ 5，
解得 a＝±1，故 z＝1＋2i 或－1－2i.
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求解复数问题常用的解题技能 (1)代数化：由复平面内合适某种条件的点的集合来求其对 应的复数时，通常是由其对应关系列出方程(组)或不等式(组) 或混合组，求得复数的实部、虚部的值或范围，来确定所求的 复数． (2)几何化：利用复数的向量表示，充分运用数形结合，转 化成几何问题，渗透数形结合思想就是其中技能之一，可简化 解题步骤，使问题变得直观、简捷、易解．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复 平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上； (2)在第三象限； (3)在抛物线y2＝4x上．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
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4．当实数x分别取什么值时，复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－ 15)i：
(1)对应的点Z在实轴上？ (2)对应的点Z在第四象限？ (3)对应的点Z在直线x－y－3＝0上？
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
3．若复数 z 对应的点在直线 y＝2x 上，且|z|＝ 5，则复数 z＝__________.
解析： 根据题意设 z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝ 5得 a2＋4a2 ＝ 5，
解得 a＝±1，故 z＝1＋2i 或－1－2i.
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
求解复数问题常用的解题技能 (1)代数化：由复平面内合适某种条件的点的集合来求其对 应的复数时，通常是由其对应关系列出方程(组)或不等式(组) 或混合组，求得复数的实部、虚部的值或范围，来确定所求的 复数． (2)几何化：利用复数的向量表示，充分运用数形结合，转 化成几何问题，渗透数形结合思想就是其中技能之一，可简化 解题步骤，使问题变得直观、简捷、易解．
数学 选修2-2
第三章 数系的扩充与复数的引入
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
1．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复 平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．
(1)在实轴上； (2)在第三象限； (3)在抛物线y2＝4x上．
人教版高中数学必修二第七章复数全套PPT课件
+ 5 + 6 = 0
2 − 2 − 15 = 0
（4）当 ቊ 2
时，复数 为 0 ，此时， = −3.
+ 5 + 6修第二册（A版）
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
讲课老师：XXX
知识回顾
实部
虚部
虚数单位
= + (， ∈ )
复数
实数( = 0)
虚数( ≠ 0)
纯虚数( = 0)
非纯虚数( ≠ 0)
学习目标
1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数
及它们之间的一 一对应关系；
2. 掌握实轴、虚轴、模等概念；
3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
核心素养
数学抽象
逻辑推理
数学运算
复平面及复数的几
例如，3
1
+ 2， −
2
3， − 3 −
1
，
2
1
2
它们的实部分别是 3， ，− 3，0，
1
2
虚部分别是 2， − 3， − ， − 0.2，
并且其中只有 −0.2 是纯虚数.
− 0.2 都是虚数，
02
1 复数的分类
思
考
复数集 C 与实数集 R 之间有
显然，实数集 R 是复数集 C
什么关系？
新数 ，使得 = 是方程 2 + 1 = 0 的解，即使得 i2 = −1。我们希望数
和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满
足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.
依照以上设想，把实数 与 相乘，结果记作 ；把实数 与 相加，结果
2 − 2 − 15 = 0
（4）当 ቊ 2
时，复数 为 0 ，此时， = −3.
+ 5 + 6修第二册（A版）
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
讲课老师：XXX
知识回顾
实部
虚部
虚数单位
= + (， ∈ )
复数
实数( = 0)
虚数( ≠ 0)
纯虚数( = 0)
非纯虚数( ≠ 0)
学习目标
1. 理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数
及它们之间的一 一对应关系；
2. 掌握实轴、虚轴、模等概念；
3. 掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
核心素养
数学抽象
逻辑推理
数学运算
复平面及复数的几
例如，3
1
+ 2， −
2
3， − 3 −
1
，
2
1
2
它们的实部分别是 3， ，− 3，0，
1
2
虚部分别是 2， − 3， − ， − 0.2，
并且其中只有 −0.2 是纯虚数.
− 0.2 都是虚数，
02
1 复数的分类
思
考
复数集 C 与实数集 R 之间有
显然，实数集 R 是复数集 C
什么关系？
新数 ，使得 = 是方程 2 + 1 = 0 的解，即使得 i2 = −1。我们希望数
和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满
足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.
依照以上设想，把实数 与 相乘，结果记作 ；把实数 与 相加，结果
7.1.2复数的几何意义课件(人教版)
)
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)已知在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x
上,则实数 m 的值为
.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用
复平面内的点Z(a,b)来表示.
2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
做一做:
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
（3）做一做:若复数 z=1+
数学（人教202X版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一
复平面
实轴
虚轴
思考
有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点
在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,
复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
A.(-3,1) B.(-1,3) C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
(2)已知在复平面内表示复数 z=(m-3)+2 i 的点在直线 y=x
上,则实数 m 的值为
.
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用
复平面内的点Z(a,b)来表示.
2.表示：z 的共轭复数用 z 表示，即若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝ a－bi .
做一做:
(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为(
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0) D.(1,1)
(2)若=(0,-3),则对应的复数为(
A.0
B.-3
C.-3i
（3）做一做:若复数 z=1+
数学（人教202X版）必修第二册
第七章 复数
7.1.2 复数的几何意义
学习目标
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的
一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
1
知识梳理
知识点一
复平面
实轴
虚轴
思考
有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点
在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,
复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即
为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复
人教版数学必修第二册7.1.2复数的几何意义课件
方法总结
复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再
利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但
它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问
题求解．
跟踪训练
3 3
− ,
2 2
1．已知复数z＝1－2mi(m∈R)，且|z|≤2，则实数m的取值范围是__________．
②因为||＝ 2 ，||＝2 2 ，||＝ 10 ，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
反思感悟
复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，
向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定
因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，
2 −−6
所以
＋a2－2a－15＋7＝0，
+3
即a3＋2a2－15a－30＝0，
所以(a＋2)(a2－15)＝0，
故a＝－2或a＝± 15.
所以a＝－2或a＝± 15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上.
题型二
[例2] 已知复数z1＝ 3
复数的模
1
3
＋i，z2＝－ ＋ i.
变式1 复数z＝
2 −−6
＋(a2－2a－15)i(a∈R)表示的点在x轴上时，
+3
求实数a的值．
点Z在x轴上，
所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，
所以a＝5.
故a＝5时，点Z在x轴上．
变式2 复数z＝
2 −−6
＋(a2－2a－15)i(a∈R)表示的点Z在直线
+3
复数的几何意义人教版高一年级数学课堂PPT学习
复数的另一种几何意义
y
设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，
连接OZ，显然向量 OZ 由点Z唯一
b
Z：a+bi
确定；反过来，点Z也可由向量 OZ 唯一确定.
OZ
复数集C中的数与复平面内以原点为
O
ax
起点的向量建立了如下一一对应.
复数z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ
知识一：复数的几何意义
在本书的第六章，我们提到过复数的这种几何表 示是由韦塞尔在1797年提出的.后来，阿尔冈出书对 此进行讨论，并得到高斯的认同，因此这种几何表示 也称为阿尔冈图.正是这种直观的几何表示，揭开了 复数的神秘的、不可思议的“面纱”，确立了复数在 数学中的地位.
复数z1，z2对应的点Z1，Z2关于x轴对称， O 复数z1，z2对应的点Z1，Z2的横坐标相等，
纵坐标互为相反数.
-3
Z1(4,3)
4x Z2(4,-3)
知识三：共轭复数
通过思考五将例题中的几何直观一般化.
一般地，当两个复数的实部相等，
虚部互为相反数时，这两个复数
叫做互为共轭复数.
O
复数z的共轭复数用 z 表示， 即如果z=a+bi，那么 z = a-bi.
纵坐标是b,复数z=a+bi 可用Z(a,b)表示.
这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面 x轴叫做实轴 y轴叫做虚轴
说明： （1）复数z=a+bi用复平面内的点Z（a，b）表示，
复平面内的点Z的坐标是（a，b)，而不是（a，bi）, 复平面内的纵坐标轴的单位长度是1，而不是 i .
（2）实轴上的点都表示实数，原点表示实数0.
y
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义PPT课件(人教版)
(2)对角线C→A所表示的复数； (3)对角线O→B所表示的复数及O→B的长度. 解 (2)因为C→A＝O→A－O→C， 所以C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， 所以O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以|O→B|＝ 12＋62＝ 37.
【训练 2】 (1)已知复平面内的平面向量O→A，A→B表示的复数分别是－2＋i，3＋
2i，则|O→B|＝____1_0___.
(2)若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数 z2－z1 所对应的点在第四象限内，则实数 a 的 取值范围是__(_－__∞_，__1_)__. 解析 (1)∵O→B＝O→A＋A→B， ∴O→B表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴|O→B|＝ 12＋32＝ 10. (2)z2－z1＝1＋(a－1)i， 由题意知a－1<0，即a<1.
2.已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于( B )
A.8i
B.6
C.6＋8i D.6－8i
解析 根据复数的加法法则得z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝6.
3.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( D )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
【 训 练 3 】 设 复 数 z ＝ a ＋ bi(a ， b∈R) ， 1≤|z|≤2 ， 则 |z ＋ 1| 的 取 值 范 围 是 __[0_，__3_]__. 解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤2表示如图所 示的圆环，而|z＋1|表示复数z的对应点A(a，b)与复数z1＝－1的对应点 B(－1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合 时，dmin＝0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax＝3，∴0≤|z＋1|≤3.
《复数的几何意义》课件
复数的共轭是保持实部不变，虚部取相反数的复 数。
复数的幅角
复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角。
复数的几何运算
1
复数的加减法
将实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法
2
将模相乘，幅角相加。
3
复数的除法
将模相除，幅角相减。
复数的幂运算
4
将模的幂乘以幅角。
应用举例
电路分析
复数可以用来分析交 流电路中的电流、电 压和功率。
振荡电路设计
复数在振荡电路的频 率分析和滤波器设计 中起重要作用。
信号处理
复数可以用来分析和 处理信号的频谱和相 位。
图像处理
复数在图像处理中用 于表示和变换图像。
结论
1 复数具有重要的几何意义和应用价值 2 掌握复数的坐标表示、运算和几何
意义是掌握复数的关键
复数在数学和物理领域具有广泛的应用，深
复数的运算包括加减法、乘法、除法和幂运算。
复数的坐标表示
笛卡尔坐标系
使用实数轴和虚数轴来表示复数。
极坐标系
使ห้องสมุดไป่ตู้模和幅角来表示复数。
复数的几何意义
复平面
复数可以在复平面上表示， 实部为x轴坐标，虚部为y轴 坐标。
复数在平面内的表示
复数表示平面内的点或向量。
复数的模
复数的模表示复数到原点的 距离。
复数的共轭
入理解复数对我们的学习和工作具有重要价
通过学习与实践，我们可以掌握复数的基本
值。
概念、运算规则和几何意义，从而更好地应
用于不同领域。
《复数的几何意义》PPT 课件
欢迎来到《复数的几何意义》PPT课件！在这个课件中，我们将探索复数的世 界，了解复数的定义、表示和运算，以及复数在几何中的意义和应用。让我 们开始这个精彩的旅程吧！
复数的幅角
复数的幅角表示复数与正实轴之间的夹角。
复数的几何运算
1
复数的加减法
将实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法
2
将模相乘，幅角相加。
3
复数的除法
将模相除，幅角相减。
复数的幂运算
4
将模的幂乘以幅角。
应用举例
电路分析
复数可以用来分析交 流电路中的电流、电 压和功率。
振荡电路设计
复数在振荡电路的频 率分析和滤波器设计 中起重要作用。
信号处理
复数可以用来分析和 处理信号的频谱和相 位。
图像处理
复数在图像处理中用 于表示和变换图像。
结论
1 复数具有重要的几何意义和应用价值 2 掌握复数的坐标表示、运算和几何
意义是掌握复数的关键
复数在数学和物理领域具有广泛的应用，深
复数的运算包括加减法、乘法、除法和幂运算。
复数的坐标表示
笛卡尔坐标系
使用实数轴和虚数轴来表示复数。
极坐标系
使ห้องสมุดไป่ตู้模和幅角来表示复数。
复数的几何意义
复平面
复数可以在复平面上表示， 实部为x轴坐标，虚部为y轴 坐标。
复数在平面内的表示
复数表示平面内的点或向量。
复数的模
复数的模表示复数到原点的 距离。
复数的共轭
入理解复数对我们的学习和工作具有重要价
通过学习与实践，我们可以掌握复数的基本
值。
概念、运算规则和几何意义，从而更好地应
用于不同领域。
《复数的几何意义》PPT 课件
欢迎来到《复数的几何意义》PPT课件！在这个课件中，我们将探索复数的世 界，了解复数的定义、表示和运算，以及复数在几何中的意义和应用。让我 们开始这个精彩的旅程吧！
复数的几何意义-2PPT课件
如图，设复平面内的点Z 表示复数z abi ，连接 OZ ， 显然向量 OZ 由点 Z 唯一确 定；反过来，点 Z 也可以由 向量OZ 唯一确定.
y
b
Z (a,b)
O
ax
如图，设复平面内的点Z 表示复数z abi ，连接 OZ ， 显然向量 OZ 由点 Z 唯一确 定；反过来，点 Z 也可以由 向量OZ 唯一确定.
在第三象限？ 横、纵坐标同时小于0
复数z (a2 1)(2a 1)i 复平面内的点Z(a2 1,2a 1)
在第三象限？ 横、纵坐标同时小于0
(2)2aa2 11001
a
1 2
即a
-1,
1 2
问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以 用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一 一对应的，你能用平面向量来表示复数吗？
在实轴上 纵坐标为0
复数z (a2 1)(2a 1)i 复平面内的点Z(a2 1,2a 1)
在实轴上
解：(1) 2a 1 0a 1
2
纵坐标为0
复数z (a2 1)(2a 1)i 复平面内的点Z(a2 1,2a 1)
在第三象限？
复数z (a2 1)(2a 1)i 复平面内的点Z(a2 1,2a 1)
如图，向量OZ 的模叫做 复数 z abi的模或绝对值.
记作 z 或 abi . 即：z abi a2 b2 其中 a,bR
y
Z :abi
b
O
ax
如果 b 0 ，那么 z a bi 是一个实数 a ， 它的模就等于 a （ a 的绝对值）.
问题3：实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是 什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？
原点 O(0,0)
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向量OZ的模r叫做复数z a bi的模,记作 | z | 或 | a bi | .如果 b 0,那么 z a bi 是 一个实数a,它的模等于| a | (就是a的绝对 值).由模的定义可知 : | z || a bi | r a b r 0, r R .
2 2
按照这种表示方法 , 每一个复数 , 有平面内唯一的 一个点和它对应 ;反过来, 复平面内的每一个点 ,有 唯一的一个复数和它对 应.由此可知 , 复数集C和复 平面内所有的点所成的复平面内的点Za, b
这是复数的一种几何意 义.
Z : a bi 在平面直角坐标系中 , 每一个平 b 面向量都 可以用一个有序实数 对来表示,而有序实数对与复数 a x O 是一一对应的 .这样, 我们还可以 图3.1 3 用平面向量来表示复数 . 如图3.1 3, 设复平面内的点 Z表示复数z a bi,
3.1.2 复数的几何意义
思考 我们知道,实数与数轴上的点一一 对 应,因此,实数可用数轴上的点来 表示.类比实 数的几何意义 ,复数的几何意义是什么 呢?
根据复数相等的定义, 任意一个复数 z a bi, 都可以由一个有序实数 对 a, b 唯一确 a,b与平面直角坐标系 定.由于有序实数对 中的点一一对应 ,因此复数集与平面直角 坐 标系中的点集之间可以 建立一一对应 .
y
连结OZ, 显然向量OZ是由点Z唯一确定的 ;反过来, 点Z(相对原点来说 )也可以由向量 OZ唯一确定 .因 此, 复数集C与复平面内的向量所成 的集合也是 一一对应的 (实数0与零向量对应 ),即
一一对应
复数z a bi
平面向量OZ
这是复数的另一种几何 意义.
为方便起见 , 我们常把复数 z a bi说成点 Z或说成向量OZ, 并且规定, 相等的向量表 示同一个复数 .
复数的这种几何表示于 1797年由挪威的测量 学家韦塞尔 (Caspar Wessel )提出 ,随即由瑞士 的藏书家阿甘得(Jean Robert Argand ) 出书 进行讨论并得到高斯的 认同 ,因此这种几何表 示也称为阿甘得图 ( Argand diagram).
0,0表示实数0,实轴上的点 例如,复平面内的原点 2,0 表示实数2, 虚轴上的点0,1表示纯虚数 i, 点 2,3表示复数 2 3 i等.
y 如图3.1 2,点Z的横坐标是 Z : a bi b a, 纵坐标是b, 复数z a bi 可用点Za, b 表示, 这个建立 a x 了直角坐标系来表示复数的 O 图3.1 2 平面叫做 复平面 , x轴叫做 实轴 , y轴叫做虚轴 .显然, 实轴上的点都表示实 数;除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数.
2 2
按照这种表示方法 , 每一个复数 , 有平面内唯一的 一个点和它对应 ;反过来, 复平面内的每一个点 ,有 唯一的一个复数和它对 应.由此可知 , 复数集C和复 平面内所有的点所成的复平面内的点Za, b
这是复数的一种几何意 义.
Z : a bi 在平面直角坐标系中 , 每一个平 b 面向量都 可以用一个有序实数 对来表示,而有序实数对与复数 a x O 是一一对应的 .这样, 我们还可以 图3.1 3 用平面向量来表示复数 . 如图3.1 3, 设复平面内的点 Z表示复数z a bi,
3.1.2 复数的几何意义
思考 我们知道,实数与数轴上的点一一 对 应,因此,实数可用数轴上的点来 表示.类比实 数的几何意义 ,复数的几何意义是什么 呢?
根据复数相等的定义, 任意一个复数 z a bi, 都可以由一个有序实数 对 a, b 唯一确 a,b与平面直角坐标系 定.由于有序实数对 中的点一一对应 ,因此复数集与平面直角 坐 标系中的点集之间可以 建立一一对应 .
y
连结OZ, 显然向量OZ是由点Z唯一确定的 ;反过来, 点Z(相对原点来说 )也可以由向量 OZ唯一确定 .因 此, 复数集C与复平面内的向量所成 的集合也是 一一对应的 (实数0与零向量对应 ),即
一一对应
复数z a bi
平面向量OZ
这是复数的另一种几何 意义.
为方便起见 , 我们常把复数 z a bi说成点 Z或说成向量OZ, 并且规定, 相等的向量表 示同一个复数 .
复数的这种几何表示于 1797年由挪威的测量 学家韦塞尔 (Caspar Wessel )提出 ,随即由瑞士 的藏书家阿甘得(Jean Robert Argand ) 出书 进行讨论并得到高斯的 认同 ,因此这种几何表 示也称为阿甘得图 ( Argand diagram).
0,0表示实数0,实轴上的点 例如,复平面内的原点 2,0 表示实数2, 虚轴上的点0,1表示纯虚数 i, 点 2,3表示复数 2 3 i等.
y 如图3.1 2,点Z的横坐标是 Z : a bi b a, 纵坐标是b, 复数z a bi 可用点Za, b 表示, 这个建立 a x 了直角坐标系来表示复数的 O 图3.1 2 平面叫做 复平面 , x轴叫做 实轴 , y轴叫做虚轴 .显然, 实轴上的点都表示实 数;除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数.