八年级数学上册第1章《探索勾股定理》知识点解读(北师大版)

《探索勾股定理》知识点解读

知识点1：勾股定理（重点）

★勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222a b c +=。该定理反映了直角三角形的三边关系。（古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”）

■温馨提示①勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能是在同一个直角三角形中时，才能利用它求第三边边长。

例：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB

解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得

AB 2=AC 2+BC 2=52+122=169，所以AB=13. ②在式子222a b c +=中，a 代表直角三角形的两条直角边，c 代表斜边，它们之间的关系不能弄错。应用勾股定理时，要注意确定哪条边是直角三角形的最长边，也就是斜边。在Rt △ABC 中，斜边未必一定是c ，当∠A=90°时，222=+a b c ；当∠C=90°时，222=+b a c .

例：在Rt △ABC 中，AC=3，BC=4，求AB 2的值。

解：当∠C=90°时，AB 2=AC 2+BC 2=32+42=25；

当∠A=90°时，AB 2=BC 2-AC 2=42-32=7

③遇到直角三角形中的线段求值问题，要首先想到勾股定理。勾股定理把“数”与“形”有机地结合起来，把直角三角形这一“形”与三边关系这一“数”结合起来，是数形结合思想方法的典型。

④勾股定理的变式：

在Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则

222222222=()(),

()(),

c a b a c b c b c b b c a c a c a c a b +=-=+-=-=+-===，

例：如图，已知等腰△ABC 的腰AB=AC=10 cm ，底边BC=12 cm ，AD 的平分线，则AD 的长是 cm.

解析 ∵AB=AC ，AD 是∠BAC 的平分线，

∴AD ⊥BC ，BD=CD=12

BC=6（cm ） 在Rt △ABD 中，由勾股定理知 AD=22221068()AB BD cm -=-=

答案 8

知识点2：勾股定理的验证（难点）

★勾股定理的验证方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。 说明：（1）探索勾股定理时找面积相等是关键。

（2）由面积之间的等量关系，并结合图形进行代数变形可推导出勾股定理。

（3）拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以下步骤：

拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→推导出勾股定理。

例：如图是美国第20任总统加菲尔德于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理吗？

分析：通过构造一个图形，利用两种方法计算该图形的面积，

从而得到一个关于三边长a ，b ，c 之间的关系式，这种方法

习惯称为“算两次”。

解：

222222222222221111()(),2222

1111()(),2222

111(2)2,222

111,222

111,222

.

S a b a b S ab ab c a b a b ab ab c a ab b ab c a ab b ab c a b c a b c =++=++∴++=++++=⋅+++=++=∴+=Q 梯形梯形 C B

A D

解题关键：两个全等的直角三角形按上图摆放可得到一个大的直角梯形，而中间得到一个等腰直角三角形（由全等易证出）。

知识点2：勾股定理的应用（重点）

★已知直角三角形任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边的长度。

应用勾股定理应注意的三个问题：

（1）勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一，即应用勾股定理的前提条件是“在直击三角形中”；

（2）应用勾股定理时，必须分清斜边和直角边；

（3）不能直接用勾股定理解决问题时，可以通过添加辅助线的办法构造出直角三角形，再利用勾股定理解答。

例：如图，有两棵树，一棵高10 m，另一棵高4 m，两树相距8 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行多少米？

解：由题意可画出如图所示的图形，作DE⊥AB，垂足为E，则∠BED=90°，AE=CD，DE=AC，其中AB=10 m，AC=8 m，CD=4 m，

所以BE=AB-AE=AB-CD=10-4=6（m）.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2=BE2+DE2=62+82=100.

所以BD=10 m.

答：小鸟至少要飞行10 m.

解题关键：对于实际问题，要仔细分析题意，从所给信息中抽象出直角三角形，再用勾股定理计算出所求线段的长.