无限项之和或积的极限

项数随自然数 Ｎ 的变化而变化，因此不能用和的极限运算
法则．即使每一项都是无穷小，极限也未必是 ０，因为有限个
无穷小的代数和的极限是 ０．无穷多个就没有这个性质了．求
这类极限的关键是使和的项数不随 Ｎ 的变化而变化，将和
或积化为项数为有限且易求其极限的形式．其一般的方法是
先利用初等变换化简表达式求和，然后取极限，但是求解和
＝
（ｎ＋１） （ｎ＋１）！
＝
１ ｎ！
－
１ （ｎ＋１）！
1 1 １
ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）
＝
１ ２
１ ｋ（ｋ＋１）
－
１ （ｋ＋１）（ｋ＋２）
１．３ 恒等变形法
即利用恒等变形将 ｎ 项积化简为易求（或已知）极限的
代数式．用等比数列求和的公式将其 ｎ 项积化为易于求其极
限的形式．如求ｌｉｍ （ 姨 ２ ·姨４ ２ ·姨８ ２ …２姨ｎ ２ ），可先将 ｎ 项 ｎ→∞
系的，有些和式极限在满足某种特定的条件下，可以转化为
积分．当函数 ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可积时，可对区间做某种特殊
的划分，如 ｎ 等份；也可以在每个子区间上取特定的 ξｉ，例如
取小区间的左端点或右端点，或满足某种性质的特殊点，使
这种特殊的黎曼和的极限恰为待求的极限，则所求的和式
乙ｂ
极限就等于定积分 ｆ（ｘ）ｄｘ，于是就可以用定积分的方法求 ａ
出这一类和式的极限．其解题关键在于根据所给和式正确确
定被积函数和积分区间（积分限）．下面介绍被积函数和积分
区间（积分限）的求法．
被积函数的确定：通过恒等变形把所求极限的和式化
为乘积形式和式的极限，使和式中的通项表为：
姨 姨 ｆ（ｘｉ）△ｘｉ＝ｆ
ａ＋ｉ
ｂ－ａ ｎ
·ｂｎ－ａ
（积分区间为［ａ，ｂ］）其中函数 ｆ（ｘ）即为所求的被积函数．
极限，数列｛ｃｎ｝满足：存在正数 Ｎ０，当 ｎ＞Ｎ０ 时有 ａｎ≤ｃｎ≤ｂｎ，则 数列｛ｃｎ｝收敛，且ｌｉｍ ｃｎ＝ａ．
ｎ→∞
函数形式的两边夹定理 设ｌｉｍ ｆ（ｘ）＝ｌｉｍ ｇ（ｘ）＝Ａ，且存在
ｘ→ｘ０
ｘ→ｘ０
δ＞０，当 ０＜｜ｘ－ｘ０｜＜δ 时有 ｆ（ｘ）≤ｈ（ｘ）≤ｇ（ｘ），则ｌｉｍ ｈ（ｘ）＝Ａ． ｘ→ｘ０
积分限的确定：如果
ｘｉ
的取值区间为
ｘｉ＝ａ＋
ｂ－ａ ｎ
与
ｘｎ＝ａ＋
ｂ－ａ ｎ
＝ｂ，令 ｎ→∞，取极限，ｘ１→ａ，ｘ２→ｂ，则 ｘ 在［ａ，ｂ］上取
值．将积分区间［ａ，ｂ］ｎ 等分：
＜
２ ｌｎｎ
从而
１ ｎ２
＜
ｎ
姨
ｎ
－１＜
２ ｌｎｎ
≤４
－１－
不等式两边同时开 ｎ 次得：
１
１
（
ｎ
姨
ｎ
）２
＜（
ｎ
姨
ｎ
－１） ２
≤
ｎ
姨
４
因为
ｌｉｍ
ｎ
姨
ｎ
＝１，ｌｉｍ
ｎ
姨
４
＝１
ｎ→∞
ｎ→∞
由两边夹定理知：ｌｉｍ
（
ｎ
姨
ｎ
－１）１／ｎ＝１．
ｎ→∞
3 利用定积分的定义求极限
积分是一类特殊的和式极限，“和”与“积分”是紧密联
上同乘一因式．
ｎ
例 1 求ｌｉｍ （１＋ａ）（１＋ａ２）…（１＋ａ２ ）（｜ａ｜＜１） ｎ→∞
姨 1 1 1 解
ｋ
ｋ
因（１－ａ２ ）（１＋ａ２ ）＝
１－
ｋ
ａ２
２
ｋ
ｋ
ｋｋ
ｋ
＝１－ａ２·ａ２ ＝１－ａ２ ＋２ ＝１－ａ２·２
ｋ＋１
ｋ
故
ｋ
１＋ａ２ ＝
１－ａ２
ｋ
＝
１－ａ２·２
ｋ
（ｋ＝０，１，２，…）
１－ａ２ １－ａ２
式极限并不是一件容易的事，而且有些和式甚至不能求出．
可用夹逼准则、定积分定义及收敛级数性质等．
1 应用初等方法求极限
１．１ 应用特殊数列的求和公式
常用到自然数求和的公式、平方求和的公式、立方求和
的公式，等差级数前
ｎ
项的求和公式
Ｓｎ＝
（ａ１＋ａｎ）ｎ ２
Байду номын сангаас
；等比级数
前
ｎ
项的求和公式
Ｓｎ＝
ａ＋ａｑｎ １－ｑ
等．此方法先求和，然后再求极
限，适用于简单的有明显规律的和式极限，对数的和可以化
成乘积形式．
１．２ 裂项相消法
分解和式中得各项，使前后两项相消，将 ｎ 项的和式简
化成只含两项的和式．
常用的裂项方法，有
１ ｋ（ｋ－１）
＝
１ ｋ－１
－
１ ｋ
1 1 １
（ａｋ）２－１
＝
１ ２
１ ａｋ－１
－
１ ａｋ＋１
ｎ （ｎ＋１）！
乘积化为下述形式：
11 姨111 姨 ２ ·姨４ ２ ·姨８ ２
…２姨ｎ ２
＝２ １ ２
＋
１ ４
＋…＋
１ ２
ｎ
１－
＝２
１ ２
ｎ
，然后
再在上式两端求极限．
１．４ 商式法
将 ｎ 项积化成商的形式，使其分子、分母中的因式能交
叉相约，或能化为较简单的形式，从而化简这 ｎ 项乘积，然
后再求极限．有时为化成商的形式，在分子、分母（分母为 １）
摘 要：无限项和与积的极限是高等数学中求极限问题的难点，本文全面系统的归纳了这类问题的求解方法． 关键词：极 限 ；两 边 夹 ；积 分 ；级 数 展 开 式 养 中图分类号：Ｏ１３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－ ２６０Ｘ（２０１２）０９－ ０００１－ ０３
和式极限是数学中一类基本的极限问题．无限项之和的
2 用两边夹定理求极限
当一数列极限不易直接求出时，可考虑将求极限的数
列作适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新数列易于求
极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限值存在，且等
于它们的公共值．利用夹逼性求极限时，关键是把握 ｘｎ 放大
或缩小的尺度．
数列形式的两边夹定理 设收敛数列｛ａｎ｝、｛ｂｎ｝都以 ａ 为
ｎ－１
ｎ
所以（１＋ａ）（１＋ａ２）（１＋ａ４）…（１＋ａ２ ）（１＋ａ２ ）
ｎ
ｎ＋１
ｎ＋１
＝ １－ａ２ １－ａ
１－ａ４ １－ａ２
１－ａ８ １－ａ４
…
１－ａ２
ｎ－１
１－ａ２
１－ａ２
ｎ
１－ａ２
＝ １－ａ２ １－ａ
ｎ＋１
ｎ＋１
因 ｜ａ｜＜１，故ｌｉｍ ａ２ ＝０，于是有原式 ＝ｌｉｍ
１－ａ２
＝
１
ｎ→∞
ｎ→∞ １－ａ １－ａ
第 ２８ 卷 第 ９ 期（上） ２０１２ 年 ９ 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ． ２８ Ｎｏ． ９ Ｓｅｐ． ２０１２
无限项之和或积的极限
张洪光，王晓英
（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 ０２４０００）
例2
ｌｉｍ
（
ｎ
姨
ｎ
－１）１／ｎ．
ｘ→ｘ０
解
由： 姨ｎ ｎ
－１＝
１＋（
ｎ
姨
ｎ
ｎ－１
）＋（
ｎ
姨
ｎ
）２＋…＋（
ｎ
姨
ｎ
）ｎ－１
＝
ｎ－１
１ ｌｎｎ ２ ｌｎｎ
ｎ－１ ｌｎｎ
１＋ｅ ｎ ＋ｅ ｎ ＋…＋ｅ ｎ
＜
１＋
１ ｎ
ｌｎｎ＋
２ ｎ
ｎ－１
ｌｎｎ＋
３ ｎ
ｌｎｎ＋…＋
ｎ－１ ｎ
ｌｎｎ
＜
２（ｎ－１） ２＋（ｎ－１）ｌｎｎ