北师大版九年级下册数学：圆的切线的证明 (共16张PPT)

类型一 ：直线与圆有交点，连半径，证垂直. 1. 图中有90°角时：证垂直的方法及常见图形如下： （1）利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；
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（2）利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的 直线，则证明半径与这条直线平行即可；
（3）利用三角形全等或相似：通过证明切线所在三角形 与含90°角的三角形全等或相似得证.
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2. 图中无90°角时：利用等腰三角形性质，通过证明切线为所 在等腰三角形的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质 得证.
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类型二 ：直线与圆无交点，作垂直，证半径.
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二、例题讲解
1. 如图△ABC内接于⊙O，AB是弦，∠CAE = ∠B，
求证：AE是⊙O的切线.
B
证明：作直径AD，连接CD， ∴ ∠ACD = 90°， ∴ ∠D + ∠DAC = 90°， ∵ ∠B = ∠D， ∠CAE = ∠B，
中考数学专题 复习
圆的切线的证明
一、本课主要知识点 1. 定义：与圆只有一个__公__共__点__的直线叫做圆的切线，这个 公共点叫做切点. 2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过_切__点___的半径. 3. 切线的判定定理：经过半径的外端并且_垂__直___于这条半径 的直线是圆的切线. 4. 证明一条直线是圆的切线方法： 主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于_半__径___，二 是利用切线的_判__定__定__理___，即常作的辅助线是：已知切点， _连__半__径___证_垂__直___或未知切点，作_垂__直___证_半__径___.
∴ △OBF∽△ODB，
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三、巩固练习
2. 如图AB是⊙O的直径，OD⊥BC与弦BC于点F，交⊙O于E，
∠AEC = ∠ODB，
（2）当AB = 10，BC = 8时，求BD的长.
解：∴
OF OB
BF DB
，
∴
3 5
4， DB
A
∴ 3DB = 20，
D
C
E
3（
F
）2 1（ O
B
∴ DB = 20 . 3
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二、例题讲解
2. 如图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上的一点，CD切⊙O
于点C，AD⊥CD于D，以C为圆心CD为半径作圆C，
求证：AB是⊙C的切线.
证明：又∵ ∠3 + ∠CAE = 90°， ∠B + ∠CAE = 90°，
C
D 13 2 AE O
B
∴∠3 = ∠B，∴∠1 = ∠3，
又AC = AC， ∠CDA = ∠CEA = 90°，
C
E
3（
F
A
）2 1（ O
B
又∵ ∠1 = ∠3， ∴ ∠3 + ∠2 = 90°，
又∵ ∠3 = ∠D，∴ ∠D + ∠2 = 90°，
∴ ∠OBD = 180°- 90° = 90°， ∴ OB⊥BD，
∴ 直线BD是⊙O的切线.
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三、巩固练习
2. 如图AB是⊙O的直径，OD⊥BC与弦BC于点F，交⊙O于E，
连接AC、OC、BC， ∵ AB是⊙O的直径，
C
D 13 2 AE O
B
∴ ∠ACB = 90°，∴ ∠2 + ∠ACO = 90°，
又∵ CD是⊙O的切线，∴ OC⊥DC，
∴ ∠1 + ∠ACO = ∠DCO = 90°，∴ ∠1 = ∠2，
又∵ OC = OB，∴ ∠2 = ∠B，∴ ∠1 = ∠B，
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三、巩固练习
3. 如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于E，过
E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线
于点C，求证： CD是⊙O的切线.
证明：连接OE，
பைடு நூலகம்
A
∵ AE平分∠BAF，
O 12
∴ ∠1 = ∠2，
3
又∵ OA = OE，
B
F
∴ ∠1 = ∠3， ∴ ∠2 = ∠3， C
C
B
∵ ∠O = 30°，
∴ OM = 2MC = 2×2 = 4(cm)
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三、巩固练习
2. 如图AB是⊙O的直径，OD⊥BC与弦BC于点F，交⊙O于E，
∠AEC = ∠ODB，
D
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；
解：直线BD是⊙O的切线. 理由：∵ OF⊥BC， ∴ ∠OFB = 90°， ∴ ∠1 + ∠2 = 90°，
ED
∴ OE∥AD，
又∵ ED⊥AD，∴ OE⊥ED，
∴ CD是⊙O的切线.
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同学们，再见！
∠AEC = ∠ODB，
（2）当AB = 10，BC = 8时，求BD的长.
解：AO = BO = 1 AB = 1 ×10 = 5，
2
2
∵ CF⊥BC，
∴ BF = FC = 1 BC = 1 ×8 = 4， A
2
2
∴ OF OB2 BF 2 52 42 3
D
C
E
3（
F
）2 1（ O
B
∵ ∠2 = ∠2，∠OFB = ∠OBD = 90°，
∴ △ACD≌△ACE，
∴ CE = CD，
∴ AB是⊙C的切线.
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三、巩固练习
1. 如图，已知∠AOB = 30°，M是OA边上任意一点，以M为
圆心，2 cm为半径作⊙M，当OM = __4__ cm时，⊙M与OB
相切.
A
分析：作MC⊥OB于C，
M
当MC = 2 cm时，⊙M与OB相切， O ）30°
2
经过半径的外端并且垂直于这条半径
的直线是圆的切线.
o
CA
D
(1) 当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共 点时,常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的 长等于半径,也就是“作垂直,证半径 ”。
(2)当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时, 常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条 直线，也就是“ 连半径,证垂直 ”。
D
A
O
C
E
∴ ∠D = ∠CAE，
∴ ∠CAE + ∠DAC = ∠D + ∠DAC = 90°，
即∠DAE = 90°， ∴ OA⊥AE，
∴ AE是⊙O的切线.
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二、例题讲解
2. 如图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上的一点，CD切⊙O
于点C，AD⊥CD于D，以C为圆心CD为半径作圆C，
求证：AB是⊙C的切线. 证明：作CE⊥AB于E，