1第一章 复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答

1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中为实常数)

（1）； （2）； （3）；

（4）； （5）； （6）

答案 （1）实部－1；虚部

2；辐角为

；主辐角为；原

题即为代数形式；三角形式为

；指数形式为．

（2）略为

（3）略为

（4）略为

（5）略为：

（6）该复数取两个值

略为

1.2 计算下列复数 1）

；2）；

答案 1）；2）

；

1.3计算下列复数

（1

（2

；

答案 （

1）

（2）

1.4 已知

的实部和虚部．

【解】 令

，即

为实数域(Real).平方得到

,,R α

θ1-ππ2(cos

isin )33-1cos i sin αα-+1i

e +i sin R e

θ

i 4π

2π,0,1,2,

3k k +=±±4π

34π4π2(cos

isin )33+4πi

32e 5πi 35π5π

2[cos

sin ], 233i e +i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα

i ;(cos1isin1)

ee e +cos(sin )isin(sin )R R θθ+i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ

θθθθθθ+=+=+()

10

3i 1+-()3

1i 1+-3512i 512+-()

13π/42k π

i

6

3

2e

0,1,2k +=(/62/3)

i n e ππ+x i ,(,)

p q p q R =+∈,p q

，根据复数相等，所以

即实部为 虚部为

说明 已考虑根式函数是两个值，即为值．

1.5 如果 试证明对于任何复常数有

【证明】 因为

，所以

1.6 如果复数是实系数方程的根，则

一定也是该方程的根．

证 因为，，… ，均为实数，故，，… ，．且

，故由共轭复数性质有：

．则由已知．两端取共轭得

即

．故也是之根．

注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点．

1.7 证明：,并说明其几何意义． 1.8 若 ，试求的值.

【解】 因为

2212()2i x p q xy +=-+22

1,(p q pq p x q x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩=±==±+,x ±±||1,z =,a b |

|1

az b

bz a +=+||1,11/z zz z z =∴=∴=1

()

()1||||||||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++b a i +()01110=++++=--n n n n a z a z a z a z P b a i -0a 1a n a 00a a =11a a =n n a a =()()

k

k z z =()()

z P z P =()0i ≡+b a P ()()

00i i =≡+=+b a P b a P ()0i ≡-b a P b a i -()0=z P 2222

1

21212||||2(||||)z z z z z z ++-=+(1)(1)n n i i +=-n 22

224444(1)2(cos sin )2(cos sin )

(1)2(cos sin )2(cos sin )n n

n

n

n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=-

所以 即为

所以

1.9将下列复数表为的幂的形式 （1） ； （2）

答案

1.10 证明：如果 是1的n 次方根中的一个复数根，但是即不是主根，则必有

1.11 对于复数

，证明复数形式的柯西(Cauchy)不等式：

成立。

【证明】 对任意n 个复数，由三角不等式知

再由关于实数的柯西不等式得

,证毕。

1.12证明

成立．

1.13 下列不等式在复数平面上表示怎样的点集？ 1）

；2）；3）；4）；

5）

（答 1）平面上由与所构成的宽度为1的铅直带形域；2）以为心，内半径

为2，外半径为3的圆环域；3）顶点在原点，开度为

的角形区域；4）宽度

44sin sin n n ππ=-4sin 0n π=4

,4,(0,1,2,)n k n k k π

π===±±sin ,cos θθcos5θsin 5θ53244235

(1) cos 10cos sin 5cos sin (2) 5cos sin 10cos sin sin θθθθθ

θθθθθ-+-+w 1≠w 2110n -+++

+=w w w ,k k αβ2

2

2

2

1

1

1

1

||(||||)||

||n

n

n

n

k k k k k k

k k k k αβαβαβ

====≤≤∑∑∑∑1

1

||||||

n n

k k k k k k αβαβ==≤∑∑2

2

2

2

1

1

1

1

||(||||)||

||n n

n

n

k k k k k k

k k k k αβαβαβ

====≤≤∑∑∑∑1sin()sin

22cos cos 2cos3cos ;2sin

2n n θθθθθθθ+-+++

+=

1cos

cos()22sin sin 2sin 3sin 2sin

2

n n θ

θθθθθθ

-+++++=

()1Re 0<

1

1<+-z z 0=x 1=x 0z ()01ϕϕ-