2020高考总复习版创新设计数学理科(人教B版)第一章 第1节 集合

{x|x∈U，且 x∉A}
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. [微点提醒]
1.若有限集 A 中有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，真子集有 2n－1 个.
2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 (1)子集：若对任意 x∈A，都有 x∈B，则 A⊆B 或 B⊇A. (2)真子集：若 A⊆B，且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A，则 AB 或 BA.
(3)相等：若 A⊆B，且 B⊆A，则 A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算
集合的并集
符号表示
A∪B
集合的交集 A∩B
集合的补集 若全集为 U，则集合 A 的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A，或 x∈B}
4.集合的运算性质
{x|x∈A，且 x∈B}
D.N⊆M
1 (2)若 x∈A，则 ∈A，就称 A 是伙伴关系集合，集合 M＝
x
{ } 1
－1，0， ，2，3 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) 2
A.1
B.3
C.7
D.31
解析 (1)易知 M＝{x|－1≤x≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}＝{y|0≤y≤1}，∴N⊆M.
上所有点的集合，易知直线 y＝x 和圆 x2＋y2＝1 相交，且有 2 个交点，故 A∩B
中有 2 个元素. 答案 2
考点一 集合的基本概念 【例 1】 (1)(2019·阜新实验中学月考)若集合 M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x2，|x|≤1}，
则( )
A.M＝N
B.M⊆N
C.M∩N＝∅
解析 ∵P＝{x|－1≤x≤1}，且 P∪M＝P，
∴M⊆P，∴a∈P，因此－1≤a≤1.
答案 A 6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R，且 y＝x}，
则 A∩B 中元素的个数为________. 解析 集合 A 表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合，集合 B 表示直线 y＝x
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4. ∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( ) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则 x＝0，1.( ) (3)对于任意两个集合 A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( ) (4)含有 n 个元素的集合有 2n 个真子集.( ) 解析 (1)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛 物线 y＝x2＋1 上的点集. (2)错误.当 x＝1 时，不满足集合中元素的互异性. (4)错误.含有 n 个元素的集合有 2n－1 个真子集. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
法二 因为 A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}. 答案 B 5.(2019·抚顺模拟)已知集合 P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若 P∪M＝P，则实数 a 的取值
范围为( )
A.[－1，1]
B.[1，＋∞)
Fra Baidu bibliotek
C.(－∞，－1]
D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
1 (2)具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有 3 个：{－1}，
2
{ } { } 1
1
，2 ， －1， ，2 .
2
2
答案 (1)D (2)B
规律方法 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集
合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，
4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合 A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )
A.{x|－1<x<2} B.{x|－1≤x≤2} C.{x|x<－1}∪{x|x>2} D.{x|x≤－1}∪{x|x≥2} 解析 法一 A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1 或 x>2}，所以∁RA ＝{x|－1≤x≤2}.
2.(必修 1P2B1 改编)若集合 P＝{x∈N|x≤ 2 019}，a＝2 2，则( )
A.a∈P C.{a}⊆P
B.{a}∈P D.a∉P
解析 因为 a＝2 2不是自然数，而集合 P 是不大于 2 019的自然数构成的集合， 所以 a∉P，只有 D 正确. 答案 D 3.(必修 1P13A3 改编)已知集合 M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，则集合 M∪N 的子集的个数为________. 解析 由已知得 M∪N＝{0，1，2，3，4，5}，所以 M∪N 的子集有 26＝64(个). 答案 64
第 1 节 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图 形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与 相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义； 3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在 给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图 表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验
集合中的元素是否满足互异性.
【训练 1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合 A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，
则 A 中元素的个数为( )
A.9
B.8
C.5
D.4
(2)设集合 A＝{x|(x－a)2<1}，且 2∈A，3∉A，则实数 a 的取值范围为________.