2020高考总复习版创新设计数学理科(人教B版)第一章 第1节 集合

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创新设计高考数学【人教B版(理)】总复习(课件)第1单元 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及

创新设计高考数学【人教B版(理)】总复习(课件)第1单元 集合与常用逻辑用语   1.2 命题及

2.若集合 P={1,2,3,4},Q={ x|0<x<5, x∈R},则 A.“x∈P”是“x∈Q”的充分条件但不是必要条件 B.“x∈P”是“x∈Q”的必要条件但不是充分条件 C.“x∈P”是“x∈Q”的充分必要条件 D.“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件 答案:A 3.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是 A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 答案:B
a <a q 1 1 即 2 a1q<a1q
)
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

当 a1>0 时,解得 q>1,此时数列{an}是递增数列,当 a1<0 时,解得 0<q<1,此 时数列{an}是递增数列,反之,若数列{an}是递增数列,则 a1<a2<a3 成立,所以 “ a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的充分必要条件. 答案:C
反思感悟:善于总结,养成习惯 判定充分、必要条件的方法. (1)定义法:①判断 p 是 q 的什么条件,关键是看 p 能否推出 q, q 能否推出 p;② 若由“p⇒/ q”是否成立不能判断,或不好处理,则可看它的逆否命题是否成立. (2)集合法:运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法. 迁移发散 2.已知 a、b、c、d 为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的 A.充分不必要条件 C.充要条件
联动体验
1.已知 p 是 r 的充分条件而不是必要条件,q 是 r 的充分条件,s 是 r 的必要条件,q 是 s 的必要条件. 现有下列命题: ①s 是 q 的充要条件;②p 是 q 的充分条件,而不是必要条件;③r 是 q 的必要条 件, 而不是充分条件;④綈 p 是綈 s 的必要条件, 而不是充分条件;⑤r 是 s 的 充分条件,而不是必要条件. 则正确命题的序号是 A.①④⑤ B.①②④ 解析:由已知条件可知: ①②④为正确命题. 答案:B C.②③⑤ D.②④⑤ ,则 s⇔q; ;又 ,则綈 s⇒ ⇐/ 綈 p,因此 ( )

《创新设计_高考一轮总复习》数学人教A(理)第一篇第1讲集合的概念和运算

《创新设计_高考一轮总复习》数学人教A(理)第一篇第1讲集合的概念和运算

bla ml集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念与运算I三im【2014年高考会这样考】1.考查集合的交、并、补的基本运算,常与一次不等式、一元二次不等式、简单的分式不等式、指数不等式、对数不等式的求解或函数定义域相结合.2.利用集合运算的结果确定某个集合,主要是有限数集的基本运算,可用韦恩图解决,多以选择题的形式进行考查.01 »抓住3个考点必考必记夯基固本考点梳理1.集合的基本概念(1)集合元素的三个特征:确定性、互异性.无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号隹或_g_表示.(3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法.(4)常用数集:自然数集N;正整数集2(或N+);整数集Z;有理数集Q;实数集R・(5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、2.集合间的基本关系⑴子集:对任意的兀都有MB,贝也(或(2)真子集:若且4阳,贝!|A____B(或B A).1=1(3)空集:空集是任意一个集合的卫集,是任何非空集合的真郎傩A, 0 (4)集合相等:若AUB,且BQ4,贝iA=B.3.集合的基本运算及其性质1=1⑴并集:AUB=(xlxeA, .(2)交集:AAB = {xlxGA,且xWB}.⑶补集:Cc4=UlxeL/,_SxgA), L7为全集,QA表示A相对于全集"的补集.(4)集合的运算性质①AUB=AoBU4, APlB=Ao ACB :®AC\A =A9AA0=_0_;@A UA=A9 A U 0=A;@AAC^ = 0, AUQA=Q CtXS)=A・【助学•微博】常用一条性质若集合A中含有〃个元素,则A的子集有2"个,A的真子集有2〃一1个.关注两个“易错点(1)注意空集在解题中的应用,防止遗漏空集而导致失误,如ACB, AAB=A, A U〃=B中4 = 0的情况需特别注意(2)对于含参数的两集合具有包含关系时,端点的取舍是易错点,对端点要单独考虑.■考点自测1. (2012•湖南)设集合必={一1,0,1}, N={x\x2^c}t贝[|MCN=( ).A. {0}B. {0,1}C. {-1,1}D. {-1,0,1}解析由兀2金,解得0空g,・・.Mrw={0,l}.答案B2. (2012•广东)设集合 17= {1,2,3,4,5,6}, M= {1,2,4},则)•A. UB. {1,3,5}C. {3,5,6}D. {2,4,6}解析根据补集的定义,由于t/={ 1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4},从而5= {3,5,6}.答案C3. (2012-江西诺集合4 = {一1,1}, 5={0,2},则集合妙=兀+y, xGA, y^B}中的元素的个数为().A. 5B. 4C. 3D. 2解析 涉及集合中元素个数的问题,常用枚举法求解.本题可用枚举法求解:当兀=一1,y=0时,z= —1;当兀=—1, y=2时,z=l;当兀=1, y=0时,z=l;当兀=1, y=2时,z=3.故z的值为一1,1,3,故所求集合为{ —1,1,3},共3个元素.答案C4.设全集U= {1,2,3,4,5,6},集合4 = {1,2,4}, B= {3,4,5},则图中的阴影部分表示的集合为().A. {5}B. {4}C. {1,2}D. {3,5}解析由题图可知阴影部分为集合(QA)CB, ・・・QA ={3,5,6},・・・(04)帖={3,5}.答案D5・(2012・>Hw)rnMI»吟盲 mR_lx+2A3 丁*吟(xmR-(x—/w)(.r—2)A0L 59B/WH«^All-4-—5<XAlL •s^AnBH(x- — l<XA=L bh(x-(x—wz)(x—2)ao 「^丘/wh — l =H1・專—1 102》突破3个考向研析案例考向突破考向一集合的基本概念【例 1】a已知aWR, "WR,若{“,:, lj = {«2, a+b,O}f则 / 0必+方2 014 =_______.[审题视点]结合元素的互异性与集合相等入手.解析 由已知得?=0及“HO,所以b=O,于是«2=1,即a = l或a=~l f又根据集合中元素的互异性可知a = l应舍去,因此a = ~l f故严+严=1・答案1方法锦囊》(1)利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但仍然要检验,看所得结果是否符合集合中元素的互异性的特征.(2)此类问题还可以根据两集合中元素的和相等,元素的积相等,列出方程组求解,但仍然要检验.生ZX【训练1】集合xEN*中含有的元素个数为( )•A. 4B. 6D. 12解析 令兀=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 代入验证得 x =1,2,3,4,6,12时,yez,故集合中有6个元素.答案B考向二集合间的基本关系【例2】►已知集合4 = {划一2仝S7},B = {x\m +\<x<2m— 1},若求实数加的取值范B[审题视点]若BU4 ,则B = 0或碎0 ,要分两种情况讨论.解当B = 0时,有/w + 122/w —1,则/wS2・当碎0时,若BU4,如图.* 6 1 ' 1 71 j 左/w + lM—2,则《 2加一1W7, /w + 1<2zh —1,解得2sW4.综上,m的取值范围为fwW4・方法锦囊》(1)集合中元素的互异性 < 可以作为解题的依据和突破口 ;(2)对于数集关系问题,往往利用数轴逬行分析;⑶对含参数的方程或不等式求解,要对参数进行分类讨论.【训练2】已知集合人={划10时刃,B = (-oo,小若Agb,贝!J实数°的取值范围是(c,+ °°),其中 C =解析 A = {xllog^r^2} = {xio<x<1},即A = (0,4],由AQB9B = (—oo, a),且a 的取值范围是(c,+Q,可以结合数轴分析得c=4・答案4考向三集合的基本运算【例3】》设U=R,集合人={血2 径录、+3x+2=0}, I 免费聆听名师细讲精题②丿l)x +m=0}.若9(4)65 = 0,则加的值是_____.[审题视点]本题中的集合/ ,硯是一元二次方程的解集,其中集合砂的一元二次方程含有不确定的参数m,需要对这个参数进行分类讨论,同时需要根据(Mns=0对集合/,确关系进行转化・解析 A = {-2, -1},由((2皿)门〃 =0,得T方程以+(加+ 1)兀+加=0的判别式/ = (zn +1)2—4m = (m—1)乞0, :.B土©.・・・8 = {_1}或3 = {_2}或3 = {_1, -2}.①若B = { —1},则加=1;②若8 = {—2},则应有一(加 +1) = (—2) + (—2)=—4,且加=(—2)・(一2)=4,这两式不能同时成立,•••碎{一2};③若8 = { —1, —2},则应有一(加+ 1) = ( —1)+(—2) =—3,且加=(—1)*(—2)=2,由这两式得加=2.经检验知加=1和加=2符合条件•.\m = 1或2・答案1或2方法锦囊》本题的主要难点有两个:一是集合A, B之间关系的确定;二是对集合B中方程的分类求解.集合的交、并、补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系,这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来,如AUB=A<=>B^A9 (QA)nB = 0oBU4等,在解题中碰到这种情况时要善于转化,这是破解这类难点的一种极为有效的方法.【训练3】⑴(2012•陕西)集^M={xllgx>0}, N= {xlx2<4},则MPIN=( ).A. (1,2)B. [1,2)C. (1,2]D. [1,2](2)(2012-山东)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A = {1,2,3},B = {2,4},则(CM)UB为( ).A. {1,2,4}B. {2,3,4}C. {0,2,4}D. {0,23,4}解析(1)由题意彳寻(1 , + oo),N=[・ 2,2] f = (1,2].(2) VCM = {0,4} zB = {2,4} . :•(CM)UB = {0,2,4}•答案⑴C (2)C 03》揭秘3年高考权威解读真题展示热点突破1——集合问题的求解策略【命题研究】集合是数学中最基本的概念,高考对集合的考查内容主要有:集合的基本概念、集合间的基本关系和集合的基本运算,并且以集合的运算为主,与不等式的解集.函数的定义域.方程的解集.平面上的点集等内容相互交汇,涉及的知识面较广,但难度不大.高考对集合的考查有两种形式:一种是直接考查集合间的包含关系或交.并、补的基本运算;另一种是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析几何等中的运用.-、集合与不等式交汇问题的解题策略【真题探究1】►(2012•北京)已知集^A = {xGRI3x+2>0},B={xGRI(x+l)(x-3)>0},贝!)AAB=( ).,—1) B. —1, — |j 、,3A. (—8C-(_3[教你解题]第]步解出A=klx>—D. (3, +8)23 '第2步解出B = {血>3或兀v—l};第3步结合数轴取交集,得ACIB = (3, +8).[答案]D[反思]应牢掌握一元二次不等式.简单的分式不等式.指数不等式.对数不等式的解法•【试一试1】已知全集U={yly=logM,x>l},集合p=伽=£, x>3 ,)•则A.C. (0, +8)0)U I,+°o解析因为函数y=log2X 在(0,+ 8)上为增函数,所以当兀>1时,j>log2l=0,故"=(0, +8);因为函数丿=兀在(0, +8)上为减函数,故当兀>3时0<y<y故卩=〔0, 93显然FUtZ,故加=扌,4-oo ,所以选A.答案A二、集合中新定义问题的求解策略【真题探究2】►(2012-新课标全国)已知集合人={1,2,3,4,5}, B={(x, j)lxGA, jGA,x~y^A}f则〃中所含元素的个数为().A. 3B. 6C.D. 10[教你审题]解决本题的关键是准确理解集合B・集合B中的元素是符合兀丘A , , x - jGA 的有序数对(x ,y).[解法]可用列表法12345也可用直接法(学生自己试一试)[答案]D[反思]解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算.如本例中的集合B就是一个由集合A中的元素通过附加条件演变而来的,所以要判断集合B中元素的个数,需要根据兀是否是集合A 中的元素来逬行判断•【试一试2】定义集合运算:A B = {z\z=xy, x£A,y^B}f设4={一2014,0,2014}, B = {\na f e“},则集合A B的所有元素之和为().A. 2 014 C. -2 014。

2016届《创新设计》数学人教B版(理科)一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算

2016届《创新设计》数学人教B版(理科)一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合及其运算

第1讲集合及其运算基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1.设集合S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(∁R S)∪T=() A.(-2,1] B.(-∞,-4]C.(-∞,1] D.[1,+∞)解析因为S={x|x>-2},所以∁R S={x|x≤-2},而T={x|x2+3x-4≤0}={x|-4≤x≤1},所以(∁R S)∪T={x|x≤1}.答案 D2.(2015·东北四市联考)设集合A={1,2,4},集合B={x|x=a+b,a∈A,b∈A},则集合B中的元素个数为()A.4 B.5C.6 D.7解析∵a∈A,b∈A,x=a+b,∴x=2,3,4,5,6,8.∴B中共有6个元素.答案 C3.(2015·烟台监测)若集合A={x|x2=1},B={x|x2-3x+2=0},则集合A∪B=() A.{1} B.{1,2}C.{-1,1,2} D.{-1,1,-2}解析∵A={-1,1},B={1,2},∴A∪B={-1,1,2}.答案 C4.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有() A.2个B.4个C.6个D.8个解析P=M∩N={1,3},故P的子集共有4个.答案 B5.(2014·抚顺检测)设集合P={x|x>1},Q={x|x2-x>0},则下列结论正确的是()A.P⊆Q B.Q⊆PC.P=Q D.P∪Q=R解析由集合Q={x|x2-x>0},知Q={x|x<0或x>1},所以P⊆Q,故选A.答案 A6.(2014·山东卷)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=() A.[0,2] B.(1,3)C.[1,3) D.(1,4)解析A={x||x-1|<2}={x|-1<x<3},B={y|y=2x,x∈[0,2]}={y|1≤y≤4},∴A∩B={x|-1<x<3}∩{y|1≤y≤4}={x|1≤x<3}.答案 C7.已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},若B⊆A,则实数a的取值集合为() A.{-1,0,1} B.{-1,1}C.{-1,0} D.{0,1}解析因为A={1,-1},当a=0时,B=∅,适合题意;当a≠0时,B={1 a}⊆A,则1a=1或-1,解得a=1或-1,所以实数a的取值集合为{-1,0,1}.答案 A8.(2015·威海模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1 B.2C.3 D.4解析 A ={1,2},B ={1,2,3,4},A ⊆C ⊆B ,则集合C 可以为:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.故选D. 答案 D 二、填空题9.设全集U =R ,集合A ={x |x >0},B ={x |x >1},则集合(∁U B )∩A =__________. 解析 ∵∁U B ={x |x ≤1},∴(∁U B )∩A ={x |0<x ≤1}. 答案 {x |0<x ≤1}10.集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为__________. 解析 根据并集的概念,可知{a ,a 2}={4,16},故只能是a =4. 答案 411.已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3},集合B ={x ∈R |(x -m )(x -2)<0},且A ∩B =(-1,n ),则m =________,n =________.解析 A ={x |-5<x <1},因为A ∩B ={x |-1<x <n },B ={x |(x -m )(x -2)<0},所以m =-1,n =1. 答案 -1 112.已知集合A ={x |1≤x <5},C ={x |-a <x ≤a +3},若C ∩A =C ,则a 的取值范围是__________.解析 因为C ∩A =C ,所以C ⊆A . ①当C =∅时,满足C ⊆A , 此时-a ≥a +3,得a ≤-32;②当C ≠∅时,要使C ⊆A ,则⎩⎨⎧-a <a +3,-a ≥1,a +3<5,解得-32<a ≤-1. 答案 (-∞,-1]能力提升题组 (建议用时:15分钟)13.(2015·皖南八校联考)设集合M ={(x ,y )|y =lg x },N ={x |y =lg x },则下列结论中正确的是( )A .M ∩N ≠∅B .M ∩N =∅C .M ∪N =ND .M ∪N =M解析 因为M 为点集,N 为数集,所以M ∩N =∅. 答案 B14.已知集合A ={(x ,y )|y =log 2x },B ={(x ,y )|y =x 2-2x },则A ∩B 的元素有( )A .1个B .2个C .3个D .4个解析 在同一直角坐标系下画出函数y =log 2x 与y =x 2-2x 的图象,如图所示:由图可知y =log 2x 与y =x 2-2x 图象有两个交点,则A ∩B 的元素有2个. 答案 B15.已知集合A ={x |y =lg(x -x 2)},B ={x |x 2-cx <0,c >0},若A ⊆B ,则实数c 的取值范围是( )A .(0,1]B .[1,+∞)C .(0,1)D .(1,+∞)解析 A ={x |y =lg(x -x 2)}={x |x -x 2>0}=(0,1),B ={x |x 2-cx <0,c >0}=(0,c ),因为A ⊆B ,画出数轴,如图所示,得c ≥1.应选B.答案 B 16.已知U ={y |y =log 2x ,x >1},P =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y =1x ,x >2,则∁U P =__________. 解析 ∵U ={y |y =log 2x ,x >1}={y |y >0},P =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y =1x ,x >2=⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |0<y <12,∴∁U P =⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥12. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥1217.已知集合A ={(x ,y )|y =a },B ={(x ,y )|y =b x +1,b >0,b ≠1},若集合A ∩B 只有一个真子集,则实数a 的取值范围是________.解析 由于集合B 中的元素是指数函数y =b x 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点,要使集合A∩B只有一个真子集,那么y=b x+1(b>0,b≠1)与y=a的图象只能有一个交点,所以实数a的取值范围是(1,+∞).答案(1,+∞)。

2020数学 必修 第一册 人教B版(新教材)第一章 1.2.3 第二课时 充要条件.pptx

2020数学 必修 第一册 人教B版(新教材)第一章 1.2.3 第二课时 充要条件.pptx

第二课时 充要条件课标要求素养要求通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.针对充要条件问题,通过几个数学定义的研究比较,学生经历梳理知识,提炼定义,感悟思想的学习过程,提升逻辑推理素养与数学抽象素养.教材知识探究主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭,时间到了,只有张三、李四准时赴约,王五打电话说:“临时有急事,不能去了.”主人听了,随口说了句:“该来的没有来.”张三听了脸色一沉,起来一声不吭地走了.主人愣了片刻,又道了句:“不该走的又走了.”李四听了大怒,拂袖而去.问题 请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.提示 张三走的原因是:“该来的没有来”的等价命题是“来了不该来的”,张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是:“不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”,李四觉得自己是应该走的.充要条件(1)四类条件①一般地,如果p ⇒ q 且,则称p 是q 的充分不必要条件.②如果p ⇒ q 且______,则称p 是q 的必要不充分条件.③如果p ⇒q 且______,则称p 是q 的充分必要条件(简称为充要条件),记作p ⇔q ,此时,也读作“p 与q 等价”“p 当且仅当q ”.④如果p ⇒ q 且q ⇒ p ,则称p 是q 的既不充分也不必要条件.(2)充要条件与数学中定义的关系一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的一个___________.q ⇒ p q ⇒ p q ⇒ p 充要条件教材拓展补遗[微判断]1.四边形是平行四边形的充要条件是四边形的两组对边分别相等.( )2.两个三角形相似的充要条件是两个三角形的三边对应成比例.( )3.xy >0是x >0,y >0的充要条件.( ) 提示 必要不充分条件.√√×[微训练]1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的________条件.答案 必要不充分2.设x∈R,则“x>1”是“x3>1”的________条件.解析 当x>1时,x3>1;当x3>1时,x>1.答案 充要[微思考]若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗?提示 正确.若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q,故此说法正确.充要条件的判断与探求题型一【例1】 判断下列各题中,p是否为q的充要条件?(1)设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),p:二次函数的图像开口向上,q:a>0;(2)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;(3)p:|x|>3,q:x2>9.解 (1)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),其图像开口向上⇔a>0,所以p是q的充要条件.(2)若a2+b2=0,则a=b=0,即p⇒q;若a=b=0,则a2+b2=0,即q⇒p,故p⇔q,所以p是q的充要条件.(3)由于p:|x|>3⇔q:x2>9,所以p是q的充要条件.规律方法 1.判断p是不是q的充要条件,主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;若q⇒p成立,则p是q的必要条件,同时q是p的充分条件.2.在已知充要条件的前提下,充分条件是不确定的,只要保证是充要条件的一个子集即可,而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集.【训练1】 (1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是( )A.ab=0B.ab>0C.a2+b2=0D.a2+b2>0解析 a2+b2>0,则a,b不同时为零;a,b中至少有一个不为零,则a2+b2>0.答案 D(2)设非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则A⊆(A∩B)的充要条件为________;一个充分不必要条件可为________.综上可知,A⊆(A∩B)的充要条件为6≤a≤9;一个充分不必要条件可为7≤a≤9.答案 6≤a≤9 7≤a≤9(答案不唯一)题型二充要条件的证明【例2】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明 先证必要性:∵方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0,则a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.再证充分性:∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0,故方程ax2+bx+c=0有一个根为1.因此,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.规律方法 一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是以p 为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q.【训练2】 求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图像过原点的充要条件是b=0.证明 ①充分性:如果b=0,那么y=kx,x=0时y=0,函数图像过原点.②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图像过原点,所以x=0时y=0,得0=k·0+b,b=0.综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图像过原点的充要条件是b=0.题型三递推法判断条件间的关系【例3】 已知p,q都是r的必要条件,s是r的充分条件,q是s的充分条件,那么:(1)s是q的什么条件?(2)r是q的什么条件?(3)p是q的什么条件?解 (1)∵q是r的必要条件,∴r⇒q.∵s是r的充分条件,∴s⇒r,∴s⇒r⇒q,又∵q是s的充分条件,∴q⇒s.∴s是q的充要条件.(2)由r⇒q,q⇒s⇒r,知r是q的充要条件.(3)∵p是r的必要条件,∴r⇒p,∴q⇒r⇒p.又p⇒q,∴p是q的必要不充分条件.规律方法 解决传递性问题的关键是画出推出的结构图,也可以考虑命题之间的关系. 充分、必要条件具有传递性,若A⇒B,B⇒C,则A⇒C;若A⇔B,B⇔C,则A⇔C.【训练3】 如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )A.丙是甲的充分不必要条件B.丙是甲的必要不充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙是甲的既不充分也不必要条件解析 如图所示,∵甲是乙的必要条件,∴乙⇒甲.又∵丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,∴丙⇒乙,但乙⇒丙.综上,有丙⇒乙⇒甲,甲⇒丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.答案 A一、素养落地1.通过学习充要条件的概念培养数学抽象素养,通过判断充要条件提升逻辑推理素养.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别:①p是q的充要条件,则由p⇒q证的是充分性,由q⇒p证的是必要性;②p的充要条件是q,则由p⇒q证的是必要性,由q⇒p证的是充分性.(2)探求充要条件,可先求出必要条件,再证充分性;如果能保证每一步的变形转化过程都可逆,也可以直接求出充要条件.二、素养训练1.“1<x<2”是“x≤2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 设A={x|1<x<2},B={x|x≤2},则A B.故选A.答案 A2.“xy=0”是“x2+y2=0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 “x2+y2=0”可化为“x=0且y=0”.故选B.答案 B3.“x=1”是“x2-2x+1=0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 若x=1,则x2-2x+1=0;若x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,则x=1.故选A.答案 A4.设p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数,则p是q成立的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 p⇒q,但q⇒p.答案 B5.关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________.解析 由题意知|x|>a恒成立,∵|x|≥0,∴a<0.答案 a<0本节内容结束。

2020版一轮创新思维文数(人教版A版)课件:第一章第一节集合.ppt[文字可编辑]

2020版一轮创新思维文数(人教版A版)课件:第一章第一节集合.ppt[文字可编辑]

第一章
第一节 集 合
回顾教材·夯实基础 典例剖析·突破考点
第一章
第一节 集 合
回顾教材·夯实基础 典例剖析·突破考点
真题感悟·体验考场
课时规范练
4.集合问题中的几个基本结论 (1)集合 A 是其本身的子集,即 A? A ; (2)子集关系的传递性,即 A? B,B? C? A? C .
第一章
第一节 集 合
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真题感悟·体验考场
????????x,y???|xy--11=1?????,则 C 与 D 的关系为 ( B )
A.C=D
B.C? D
C.C? D
D.C∩D=?
第一章
第一节 集 合
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真题感悟·体验考场
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3.设集合 A={x|x2-16<0},B={x|3x-7≥8-2x},则 A∩B
真题感悟·体验考场
课时规范练
考点一
考点二
考点三
(3)已知集合 A={a,(a+1)2,a2+a-1},B={-2,1},A∩B
={1},则实数 a=___0_____.
由 A∩B={1},得 1∈A.若 a=1,则集合 A 中有重复元素, 与集合中元素的互异性矛盾.若 (a+1)2=1,则 a=0 或 a=
考点二
考点三
真题感悟·体验考场
课时规范练
[易错提醒] 1.注意 和? 的区别,虽然两者均表示集合间的包含关系,
但前者是后者 “≠”情形时的包含关系. 2.{0},?与{?}的区别:{0}是含有一个元素 0 的集合,?是 不含任何元素的集合, {?}是含有一个元素 ?的集合,因此, ?? {?},?? {0},而不能写成?=0 或?∈{0}.

《创新设计》人教版高三数学一轮复习实用课件第一章 集合与常用逻辑用语第1讲 集合

《创新设计》人教版高三数学一轮复习实用课件第一章 集合与常用逻辑用语第1讲 集合
解析 (1)因为A={x|x>0},且B⊆A, 再根据选项A,B,C,D可知选项A正确.
(2)由 x= x2-2,得 x=2,则 A={2}.
简答
因为B={1,m}且A⊆B, 所以m=2. 答案 (1)A (2)A
考点三
【例 3】
集合的基本运算
(1)(2015· 全国Ⅰ卷)已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N}, B={6,8,10,12,14},则集合 A∩B 中元素的个数为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)(2016· 浙江卷)设集合 P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4}, 则 P∪(∁RQ)=( ) A.[2,3] B.(-2,3]C.[1,2) D.(-∞,-2)∪[1,+∞)
(1)(2017· 长郡中学质检)若集合 A={x|x>0},且 B⊆A,则集 合 B 可能是( ) A.{1,2} B.{x|x≤1} C.{-1,0,1} D.R (2)(2016· 郑州调研)已知集合 A={x| x= x2-2,x∈R},B={1,m},若 A⊆B,则 m 的值为( ) A.2 B.-1 C.-1 或 2 D. 2或 2
解析 (2)当B=∅时,有m+1≥2m-1,则m≤2. 当B≠∅时,若B⊆A,如图.
m +1≥-2, m≥-3, 则 2m -1≤7, 即m≤4, m +1<2m -1, m > 2,
A
m+1
B
x
2m-1
解得2<m≤4. 综上,m的取值范围为(-∞,4]. 答案 (1)B (2)(-∞,4]
解析/显隐
)
考点突破
考点一
集合的基本概念
【例 1】(1)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的 个数是( ) A.1 B.3 C.5 D. 9 (2)若集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一个元素,则 a=( ) 简答 9 9 9 A. B. C.0 D. 0 或 2 8 8 解析 (1)当x=0,y=0,1,2时,x-y=0,-1,-2;

2019版高考数学创新大一轮复习人教B版理科全国通用课件:第一章 集合与常用逻辑用语 第2节 精品

2019版高考数学创新大一轮复习人教B版理科全国通用课件:第一章 集合与常用逻辑用语 第2节 精品
第2节
命题与量词、基本逻辑联结词
最新考纲
1.理解命题的概念,了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含
义;2.理解全称量词与存在量词的意义; 3.能正确地对含有一个量词的命题进
行否定.
知识梳理 1.全称量词与全称命题 所有 全体 ,逻辑中通常叫做全 (1)全称量词:短语“______”在陈述中表示所述事物的 ______ ∀ 称量词,并用符号“____”表示.
(2)(2018· 深圳联考) 已知命题p:不等式ax2 +ax+1>0 的解集为 R ,则实数a∈(0,4), 命题q:“x2-2x-8>0”是“x>5”的必要不充分条件,则下列命题正确的是( A.p∧q B.p∧(綈q) C.(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∧q
解析 (1)取a=c=(1,0),b=(0,1),显然a· b=0,b· c=0, 但a· c=1≠0,∴p是假命题. 又a,b,c是非零向量,
0<a<4.
∴实数a∈[0,4),因此p假,綈p是真命题.
命题q:由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2.
因此“x2-2x-8>0”是“x>5”的必要不充分条件,q为真命题.故(綈p)∧q为真命题. 答案 (1)A (2)D
规律方法
1.“p∨q”、“p∧q”、“ 綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联
∃x∈M,q(x) . 形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,用符号简记为______________
3.基本逻辑联结词 (1)命题中的 且 、 或 、 非
叫做逻辑联结词.
(2)命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断
P 真 真
假 假
q 真 假
真 假

【创新教程】2020版高考数学(文)总复习:教师用书(Word版,785页,含答案)

【创新教程】2020版高考数学(文)总复习:教师用书(Word版,785页,含答案)

第1节集合1.集合的基本概念(1)集合元素的性质:确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的关系①属于,记为∈;②不属于,记为∉.(3)常见数集的记法(4)集合的表示方法:①列举法;②描述法;③韦恩图. 2.集合间的基本关系A B或B A3.集合的基本运算1.A ∪B =A ⇔B ⊆A ,A ∩B =A ⇔A ⊆B .2.若集合A 中含有n 个元素,则它的子集个数为2n ,真子集个数为2n -1,非空真子集个数为2n -2.[思考辨析]判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”. (1)∅={0}.( )(2)空集是任何集合的子集,两元素集合是三元素集合的子集.( ) (3)a 在集合A 中,可用符号表示为a ⊆A .( ) (4)N ⊆N +⊆Z .( )(5)若A ={x |y =x 2},B ={(x ,y )|y =x 2},则A ∩B ={x |x ∈R }.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× [小题查验]1.若集合A ={x ∈N |x ≤10},a =22,则下列结论正确的是( ) A .{a }⊆A B .a ⊆A C .{a }∈AD .a ∉A解析:D [由题意知A ={0,1,2,3},由a =22,知a ∉A .]2.(理科)(2017·全国Ⅲ卷)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为( )A .3B .2C .1D .0解析:B [由题意可得:圆x 2+y 2=1与直线y =x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22,22,⎝⎛⎭⎫-22,-22,所以A ∩B 中有两个元素.故选B.]2.(文科)(2017·全国Ⅲ卷)已知集合A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8},则A ∩B 中元素的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:B [由题意可得:A ∩B ={2,4},故选B.]3.(2019·唐山市模拟)已知全集U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,4},B ={2,5},则(∁U A )∪B =( )A .{3,4,5}B .{2,3,5}C .{5}D .{3}解析:B [因为U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,4},所以∁U A ={3,5},又B ={2,5},所以(∁U A )∪B ={2,3,5}.]4.已知集合A ={x |x 2-2x +a >0},且1∉A ,则实数a 的取值范围是 ________ . 解析:∵1∉{x |x 2-2x +a >0}, ∴1∈{x |x 2-2x +a ≤0}, 即1-2+a ≤0,∴a ≤1. 答案:(-∞,1]5.(教材改编)已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7},A ={2,4,5},B ={1,3,5,7},则A ∩(∁U B )=___________________.答案:{2,4}考点一 集合的基本概念(自主练透)[题组集训]1.(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( )A .9B .8C .5D .4解析:A [∵x 2+y 2≤3,∴x 2≤3,∵x ∈Z ,∴x =-1,0,1, 当x =-1时,y =-1,0,1; 当x =0时,y =-1,0,1; 当x =1时,y =-1,0,1; 所以共有9个,选A.]2.若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( ) A.92 B.98 C .0D .0或98解析:D [若集合A 中只有一个元素,则方程ax 2-3x +2=0只有一个实根或有两个相等实根.当a =0时,x =23,符合题意;当a ≠0时,由Δ=(-3)2-8a =0,得a =98,所以a 的取值为0或98.]3.已知集合A ={m +2,2m 2+m },若3∈A ,则m 的值为 ________ . 解析:因为3∈A ,所以m +2=3或2m 2+m =3. 当m +2=3,即m =1时,2m 2+m =3, 此时集合A 中有重复元素3, 所以m =1不符合题意,舍去.当2m 2+m =3时,解得m =-32或m =1(舍去),此时当m =-32时,m +2=12≠3符合题意.所以m =-32.答案:-324.已知集合M ={1,m },N ={n ,log 2n },若M =N ,则(m -n ) 2019= ________ .解析:由M =N 知⎩⎪⎨⎪⎧ n =1,log 2n =m 或⎩⎪⎨⎪⎧n =m ,log 2n =1,∴⎩⎪⎨⎪⎧ m =0,n =1或⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =2.∴(m -n )2019=-1或0. 答案:-1或01.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.考点二 集合间的基本关系(师生共研)[典例] (1)已知集合A ={x |ax =1}, B ={x |x 2-1=0},若A ⊆B ,则a 的取值构成的集合是( )A .{-1}B .{1}C .{-1,1}D .{-1,0,1}(2)已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是________.[解析] (1)由题意,得B ={-1,1}, 因为A ⊆B ,所以当A =∅时,a =0;当A ={-1}时,a =-1;当A ={1}时,a =1. 又A 中至多有一个元素,所以a 的取值构成的集合是{-1,0,1}.故选D.(2)当B =∅时,有m +1≥2m -1,则m ≤2. 当B ≠∅时,若B ⊆A ,如图.则⎩⎪⎨⎪⎧m +1≥-22m -1≤7m +1<2m -1,解得2<m ≤4.综上,m 的取值范围为m ≤4. [答案] (1)D (2){m | m ≤4} [互动探究]本例(1)中若A ={x |ax >1(a ≠0)},B ={x |x 2-1>0},其它条件不变,则a 的取值范围是 ________ .解析:由题意,得B ={x |x >1,或x <-1},对于集合A ,①当a >0时,A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1a . 因为A ⊆B ,所以1a≥1.又a >0,所以0<a ≤1.②当a <0时,A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a .因为A ⊆B ,所以1a ≤-1,又a <0,所以-1≤a <0,综上所述,0<a ≤1,或-1≤a <0.答案:[-1,0)∪(0,1]由集合的关系求参数的关键点由两集合的关系求参数,其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析,而且常要对参数进行讨论,注意区间端点的取舍.提醒:解决两个集合的包含关系时,要注意空集的情况. [跟踪训练](1) 若集合A ={x |ax 2+ax +1=0}的子集只有两个,则实数a = ________ .解析:∵集合A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素,即方程ax 2+ax +1=0只有一个根.当a =0时方程无解.当a ≠0时,Δ=a 2-4a =0,∴a =4. 故a =4. 答案:4(2)已知集合A ={x |log 2x ≤2},B =(-∞,a ),若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是(c ,+∞),其中c = ________ .解析:由log 2x ≤2,得0<x ≤4,即A ={x |0<x ≤4},而B =(-∞,a ). 由于A ⊆B ,如图所示,则a >4,即c =4. 答案:4考点三 集合的基本运算(多维探究)[命题角度1] 求交集、并集1.(理科)(2018·全国Ⅲ卷)已知集合A ={x |x -1≥0},B ={0,1,2},则A ∩B =( ) A .{0} B .{1} C .{1,2}D .{0,1,2}解析:C [∵A ={x |x -1≥0}={x |x ≥1},B ={0,1,2}, ∴A ∩B ={1,2},故选C.]1.(文科)(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A ={0,2},B ={-2,-1,0,1,2},则A ∩B =( ) A .{0,2} B .{1,2}C .{0}D .{-2,-1,0,1,2}解析:A [根据集合交集中元素的特征,可以求得A ∩B ={0,2},故选A.] 2.(理科)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A ={x |x <1},B ={x |3x <1},则( ) A .A ∩B ={x |x <0} B .A ∪B =R C .A ∪B ={x |x >1}D .A ∩B =∅解析:A [A ={x |x <1},B ={x |3x <1}={x |x <0},所以A ∩B ={x |x <0},A ∪B ={x |x <1}.] 2.(文科)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A ={x |x <2},B ={x |3-2x >0},则( )A .A ∩B =⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <32B .A ∩B =∅C .A ∪B =⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x <32D .A ∪B =R解析:A [由3-2x >0得x <32,所以A ∩B ={x |x <2}∩⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x <32=⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <32,故选A.][命题角度2] 集合的交、并、补的综合运算3.(理科)(2019·沈阳市模拟)已知全集U =R ,若集合A ={y |y =3-2x },B ={x |x (x -2)≤0},则A∩(∁U B)=()A.[0,2) B.(-∞,0]∪(2,3)C.(-∞,0)∪(2,3) D.[0,3)解析:C[全集U=R,集合A={y|y=3-2x}={y|y<3}=(-∞,3),B={x|x(x-2)≤0}={x|0≤x≤2},∴∁U B={x|x<0或x>2}=(-∞,0)∪(2,+∞);∴A∩(∁U B)=(-∞,0)∪(2,3).]3.(文科)(2019·和平区一模)设集合A={1,2,3,4,5,6},B={x|2<x<5},则A∩(∁R B)等于()A.{2,3,4,5} B.{1,2,5,6}C.{3,4} D.{1,6}解析:B[因为∁R B={x|x≤2,或x≥5},A={1,2,3,4,5,6};所以A∩(∁R B)={1,2,5,6}.][命题角度3]利用集合的基本运算求参数的取值(范围)4.(2017·全国Ⅱ卷)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3} B.{1,0}C.{1,3} D.{1,5}解析:C[由题意知x=1是方程x2-4x+m=0的解,代入解得m=3,所以x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,从而B={1,3}.]5.已知集合A={x|x≤a},B={x|1≤x≤2},且A∪∁R B=R,则实数a的取值范围是________.解析:∁R B={x|x<1,或x>2},要使A∪(∁R B)=R,则a≥2.答案:[2,+∞)解集合运算问题应注意以下三点(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键.(2)对集合化简.有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了、易于解决.(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩(Venn)图.提醒:Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.考点四集合的新定义问题(师生共研)数学抽象——集合新定义中的核心素养以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题只是以集合为依托,考查考生对新概念的理解,充分体现了核心素养中的数学抽象.[典例]设A是自然数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k2∉A,且k∉A,那么k是A 的一个“酷元”,给定S={x∈N|y=lg(36-x2)},设M⊆S,集合M中有两个元素,且这两个元素都是M的“酷元”,那么这样的集合M有()A.3个B.4个C.5个D.6个[解析]C[由36-x2>0可解得-6<x<6,又x∈N,故x可取0,1,2,3,4,5,故S={0,1,2,3,4,5}.由题意可知:集合M不能含有0,1,且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}.]解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素.[跟踪训练]定义一种新的集合运算△:A△B={x|x∈A,且x∉B}.若集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2≤x≤4},则按运算△,B△A等于()A.{x|3<x≤4} B.{x|3≤x≤4}C.{x|3<x<4} D.{x|2≤x≤4}解析:B[A={x|1<x<3},B={x|2≤x≤4},由题意知,B△A={x|x∈B,且x∉A}={x|3≤x≤4}.]第2节命题、充分条件与必要条件1.命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.其中判断为真的语句叫真命题,判断为假的语句叫假命题.2.四种命题及其关系3.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.4.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)如果p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件.1.互为逆否的两个命题具有相同的真假性,互逆的或互否的两个命题真假性没有关系.2.若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”⇒“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”⇒“p⇐r”).[思考辨析]判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.()(2)若p是q成立的充分条件,则q是p成立的必要条件.()(3)若p是q成立的充要条件,则可记为p⇔q.()(4)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则q”.()答案:(1)√(2)√(3)√(4)×[小题查验]1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:A[因为x2-2x+1=0有两个相等的实数根为x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件.]2.给出命题:“若实数x,y满足x2+y2=0,则x=y=0”,在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:D[原命题显然正确,其逆命题为:若x=y=0,则x2+y2=0,显然也是真命题,由四种命题之间的关系知,其否命题、逆否命题也都是真命题. 故选D.]3.(2019·衡阳市一模)“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析:B[直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直的充要条件为a(a+2)+1×(-3)=0,解得a=1或-3,故“a=1”是“直线ax+y+1=0与直线(a+2)x-3y-2=0垂直”的充分不必要条件.]4.(教材改编)已知命题:若m>0,则方程x2+x-m=0有实数根.则其逆否命题为_________.答案:若方程x2+x-m=0无实根,则m≤05.下列命题:①若ac2>bc2,则a>b;②若sin α=sin β,则α=β;③“实数a=0”是“直线x-2ay=1和直线2x-2ay=1平行”的充要条件;④若f(x)=log2x,则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是________.解析:对于①,∵ac2>bc2,∴c2>0,∴a>b正确;对于②,sin 30°=sin 150°⇒/ 30°=150°,所以②错误;对于③,l1∥l2⇔A1B2=A2B1,即-2a=-4a⇒a=0且A1C2≠A2C1,所以③正确;④显然正确.答案:①③④考点一命题的四种形式及其关系(自主练透)[题组集训]1.(2019·马鞍山市模拟)命题p:若a>b,则a-1>b-1,则命题p的否命题为() A.若a>b,则a-1≤b-1B.若a≥b,则a-1<b-1C.若a≤b,则a-1≤b-1D.若a<b,则a-1<b-1解析:C[根据否命题的定义:若原命题为:若p,则q,否命题为:若非p,则非q.∵原命题为:若a>b,则a-1>b-1,∴否命题为:若a≤b,则a-1≤b-1,故选C.]2.命题“若x2+3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为()A.“若x=4,则x2+3x-4=0”为真命题B.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为真命题C.“若x≠4,则x2+3x-4≠0”为假命题D.“若x=4,则x2+3x-4=0”为假命题解析:C[根据逆否命题的定义可以排除A,D,因为x2+3x-4=0,所以x=4或-1,故选C.]3.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).①“若log2a>0,则函数f(x)=log a x(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题;②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”;③命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价.解析:对于①,若log2a>0=log21,则a>1,所以函数f(x)=log a x在其定义域内是增函数,故①不正确;对于②,依据一个命题的否命题的定义可知,该说法正确;对于③,原命题的逆命题是“若x+y是偶数,则x、y都是偶数”,是假命题,如1+3=4是偶数,但3和1均为奇数,故③不正确;对于④,不难看出,命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”是互为逆否命题,因此二者等价,所以④正确.综上可知正确的说法有②④.答案:②④1.由原命题写出其他三种命题,关键要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题,将条件与结论同时否定即得否命题,将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题.提醒:当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提不动.2.命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断.考点二充分、必要条件的判断与应用(多维探究)[命题角度1]充分、必要条件的判定1.(2019·乌鲁木齐市模拟)设p∶0<x<1,q∶2x≥1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:A [q ∶2x ≥1,解得x ≥0.又p ∶0<x <1,则p 是q 的充分不必要条件.]2.(2014·全国Ⅱ卷) 函数f (x )在x =x 0处导数存在,若p ∶f ′(x 0)=0,q ∶x =x 0是f (x )的极值点,则( )A .p 是q 的充分必要条件B .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件C .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件解析:C [函数在x =x 0处有导数且导数为0,x =x 0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则不是极值点;反之,若x =x 0为函数的极值点,则函数在x =x 0处的导数一定为0 ,所以p 是q 的必要不充分条件.]3.(2019·日照市模拟)已知向量a =(-2,m ),b =⎝⎛⎭⎫3,m2,m ∈R ,则“a ⊥(a +2b )”是“m =2”的( )A .充要条件B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件解析:B [∵a =(-2,m ),b =⎝⎛⎭⎫3,m2,m ∈R , ∴a +2b =(4,2m )若a ⊥(2a +2b ),则-8+2m 2=0,解得m =±2, 故“a ⊥(a +2b )”是“m =2”的必要不充分条件.]命题的充分、必要条件的判断方法(1)定义法:直接判断若p 则q 、若q 则p 的真假.(2)等价法:利用A ⇒B 与非B ⇒非A ,B ⇒A 与非A ⇒非B ,A ⇔B 与非B ⇔非A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若A ⊆B ,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A =B ,则A 是B 的充要条件.[命题角度2]利用充要条件求参数的取值(范围)逻辑推理——充分、必要条件关系中的核心素养充分、必要条件问题中常涉及参数取值(范围)问题,直接解决较为困难,先用等价转化思想,将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决,充分体现“逻辑推理”的核心素养.4.已知p:-2≤x≤10,q:(x-a)(x-a-1)>0,若p是q成立的充分不必要条件,则实数a的取值范围是______.[破题关键点]若p是q成立的充分不必要条件,则{x|-2≤x≤10}{x|x>a+1,或x<a},即转化为相对应的集合间的基本关系来求实数a的取值范围.解析:由(x-a)(x-a-1)>0,得x>a+1或x<a,由题意,得{x|-2≤x≤10}{x|x>a+1,或x<a},所以a+1<-2或a>10,即a<-3或a>10.答案:(-∞,-3)∪(10,+∞)[互动探究]本例中,若p:-2<x<10,q:(x-a)(x-a-1)≥0,其他条件不变,则a的取值范围是______.解析:由(x-a)(x-a-1)≥0,得x≥a+1或x≤a,由题意得{x|-2<x<10}{x|x≥a+1,或x≤a}.所以a+1≤-2,或a≥10,即a≤-3,或a≥10.答案:(-∞,-3]∪[10,+∞)(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若非p是非q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.第3节量词与逻辑联结词1.全称量词与全称命题(1)“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”都是在指定范围内,表示整体或全部的含义,这样的词叫作全称量词.(2)含有全称量词的命题,叫作全称命题.2.存在量词与特称命题(1)“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”都有表示个别或一部分的含义,这样的词叫作存在量词.(2)含有存在量词的命题叫作特称命题.3.全称命题与特称命题的否定(1)要说明一个全称命题是错误的,只需找出一个反例就可以了,实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的.全称命题的否定是特称命题.(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的,就要说明所有的对象都不满足这一性质.实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的,特称命题的否定是全称命题.4.逻辑联结词(1)逻辑联结词通常是指“且”、“或”、“非”.(2)命题p且q,p或q,非p的真假判断.[思考辨析]判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.(1)命题p且q为假命题,则命题p、q都是假命题.()(2)p或q为假的充要条件是p,q至少有一个为假.()(3)存在一个集合,它里面没有任何元素.( ) (4)“对顶角相等”是全称命题.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ [小题查验]1.(2015·全国Ⅰ卷)设命题p :存在n ∈N ,n 2>2n ,则p 为( )A .任意n ∈N ,n 2>2nB .存在n ∈N ,n 2≤2nC .任意n ∈N ,n 2≤2nD .存在n ∈N ,n 2=2n解析:C [命题p 的量词“存在”改为“任意”,“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”,∴p :任意n ∈N ,n 2≤2n .]2.有下列四个命题,其中真命题是( ) A .任意n ∈R ,n 2≥nB .存在n ∈R ,m ∈R ,m ·n =mC .任意n ∈R ,m ∈R ,m 2<nD .任意n ∈R ,n 2<n解析:B [对于选项A ,令n =12即可验证其不正确;对于选项C 、选项D ,可令n =-1加以验证,均不正确,故选B.]3.已知命题p 且q 为假命题,下列结论正确的是( ) A .p 或q 为真命题 B .(非p )且q 为真命题 C .p ,q 有且只有一个假命题 D .非p ,非q 至少有一个真命题解析:D [p 且q 为假命题时,p ,q 可能一个真命题一个假命题,也可能两个都是假命题.故选项A ,B ,C 中的结论都不正确;选项D 中结论等价于p ,q 至少有一个假命题,故正确.]4.(教材改编)命题“任意两个等边三角形都相似”的否定为 ________ . 答案:存在两个等边三角形,它们不相似5.已知命题p :存在a 0∈R ,曲线x 2+y 2a 0=1为双曲线;命题q :x 2-7x +12<0的解集是{x |3<x <4}.给出下列结论:①命题“p 且q ”是真命题;②命题“p 且非q ”是假命题;③命题“非p 或q ”是真命题;④命题“非p 或非q ”是假命题.其中正确的是 ________ .解析:因为命题p 和命题q 都是真命题,所以命题“p 且q ”是真命题,命题“p 且非q ”是假命题,命题“非p 或q ”是真命题,命题“非p 或非q ”是假命题.答案:①②③④考点一 全称命题、特称命题的真假判断(自主练透)逻辑推理——全称命题与特称命题中的核心素养以学习过全称命题、特称命题的数学知识为基础,判断全称命题、特称命题的真假,充分体现了“逻辑推理”这一核心素养的具体应用.[题组集训]1.下列命题中的假命题是( ) A .任意x ∈R ,x 2≥0 B .任意x ∈R,2x -1>0C .存在x 0∈R ,lg x 0<1D .存在x 0∈R ,sin x 0+cos x 0=2解析:D [A 显然正确;由指数函数的性质知2x -1>0恒成立,所以B 正确;当0<x <10时,lg x <1,所以C 正确;因为sin x +cos x =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4, 所以-2≤sin x +cos x ≤2,所以D 错误.]2.已知a >0,函数f (x )=ax 2+bx +c ,若m 满足关于x 的方程2ax +b =0,则下列选项中的命题为假命题的是( )A .存在x 0∈R ,f (x 0)≤f (m )B .存在x 0∈R ,f (x 0)≥f (m )C .任意x ∈R ,f (x )≤f (m )D .任意x ∈R ,f (x )≥f (m )解析:D [因为a >0,所以函数f (x )=ax 2+bx +c 在x =-b2a 处取得最小值.所以f (m )是函数f (x )的最小值.故选D.]3.下列命题中,真命题是( ) A .存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0,π2,sin x 0+cos x 0≥2 B .任意x ∈(3,+∞),x 2>2x +1 C .存在x 0∈R ,x 20+x 0=-1 D .任意x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π,tan x >sin x解析:B [对于选项A ,sin x +cos x = 2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≤2,所以此命题不成立;对于选项B ,x 2-2x -1=(x -1)2-2,当x >3时,(x -1)2-2>0,所以此命题成立;对于选项C ,x 2+x +1=⎝⎛⎭⎫x +122+34>0,所以x 2+x =-1对任意实数x 都不成立,所以此命题不成立;对于选项D ,当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,tan x <0,sin x >0,命题显然不成立. ]全称命题与特称命题真假的判断方法提醒:不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.考点二 含有一个量词的命题的否定(自主练透)[题组集训]1.已知命题p :存在x 0∈R ,x 20+2x 0+2≤0,则非p 为( ) A .存在x 0∈R ,x 20+2x 0+2>0 B .存在x 0∈R ,x 20+2x 0+2<0 C .任意x ∈R ,x 2+2x +2≤0 D .任意x ∈R ,x 2+2x +2>0解析:D [根据特称命题的否定,特称量词改为全称量词,同时把不等号改为大于号,选择D.]2.已知命题p :所有指数函数都是单调函数,则非p 为( ) A .所有的指数函数都不是单调函数 B .所有的单调函数都不是指数函数 C .存在一个指数函数,它不是单调函数 D .存在一个单调函数,它不是指数函数解析:C [命题p :所有指数函数都是单调函数,则非p 为:存在一个指数函数,它不是单调函数.选C.]3.(2019·咸阳市一模)已知命题p :“存在x 0∈[1,+∞),使得(log 23)x 0>1”,则下列说法正确的是( )A .非p :“任意x ∈[1,+∞),使得(log 23)x 0<1”B .非p :“不存在x 0∈[1,+∞),使得(log 23)x 0<1”C .非p :“任意x ∈[1,+∞),使得(log 23)x 0≤1”D .非p :“任意x ∈(-∞,1),使得(log 23)x 0≤1”解析:C [因为特称命题的否定是全称命题,所以非p :“任意x ∈[1,+∞),使得(log 23)x 0≤1”.]4.若命题p :任意x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,tan x >sin x ,则命题非p 为( ) A .存在x 0∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,tan x 0≥sin x 0 B .存在x 0∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,tan x 0>sin x 0 C .存在x 0∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,tan x 0≤sin x 0 D .存在x 0∈⎝⎛⎭⎫-∞,-π2∪⎝⎛⎭⎫π2,+∞,tan x 0>sin x 0 解析:C [任意x 的否定为存在x 0,>的否定为≤,所以命题非p 为存在x 0∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,tan x 0≤sin x 0.]全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接否定结论即可.提醒:对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.考点三 含有逻辑联结词的命题的真假(师生共研)[典例] (1)已知命题p :函数y =2-a x +1(a >0且a ≠1)恒过(1,2)点;命题q :若函数f (x -1)为偶函数,则f (x )的图像关于直线x =1对称,则下列命题为真命题的是( )A .p 且qB .非p 且非qC .非p 且qD .p 且非q(2)给定命题p :函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4和函数y =cos ⎝⎛⎭⎫2x -3π4的图像关于原点对称;命题q :当x =k π+π2(k ∈Z )时,函数y =2(sin 2x +cos 2x )取得极小值.下列说法正确的是( )A .p 或q 是假命题B .非p 且q 是假命题C .p 且q 是真命题D .非p 或q 是真命题[解析] (1)当x =1时,y =2-a 2≠2,所以命题p 为假,故非p 为真;由函数f (x -1)是偶函数知,函数y =f (x -1)的图像关于y 轴对称,由函数图像的平移法则知,y =f (x )的图像关于直线x =-1对称,所以命题q 为假,故非q 为真.所以非p 且非q 为真. 故选B.(2)命题p 中y =cos ⎝⎛⎭⎫2x -3π4=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4-π2=cos ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫2x -π4=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π4与y =sin(2x +π4)关于原点对称,故p 为真命题;命题q 中y =2(sin 2x +cos 2x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4取极小值时,2x +π4=2k π-π2,则x =k π-3π8,k ∈Z ,故q 为假命题,则非p 且q 为假命题,故选B.[答案] (1)B (2)B(1)“p 且q ”“p 或q ”“非p ”形式命题的真假判断步骤 ①准确判断简单命题p 、q 的真假;②判断“p 且q ”“p 或q ”“非p ”命题的真假. (2)含有逻辑联结词的命题的真假判断规律①p 或q :p 、q 中有一个为真,则p 或q 为真,即一真全真; ②p 且q :p 、q 中有一个为假,则p 且q 为假,即一假即假; ③非p :与p 的真假相反,即一真一假,真假相反.[跟踪训练](1)已知命题p :存在实数x ,使sin x =π2成立;命题q :x 2-3x +2<0的解集为(1,2).给出下列四个结论:①命题“p 且q ”是真命题;②命题“p 且非q ”是假命题;③命题“非p 且q ”是真命题;④命题“非p 或非q ”是假命题.其中正确的结论是( )A .②③B .②④C .①②④D .①②③④(2)已知命题“非p 或非q ”是假命题,则下列命题:①p 或q ;②p 且q ;③非p 或q ;④非p 且q ,其中真命题的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:(1)A (2)C [(1)由|sin x |≤1得命题p 是假命题,则非p 是真命题;由一元二次不等式的解法得命题q 是真命题,则非q 是假命题.根据复合命题间的关系知②③正确,故选A.(2)因为“非p 或非q ”是假命题,所以非p 和非q 都是假命题,所以p 和q 都是真命题,由真值表可得“p 或q ”“p 且q ”“非p 或q ”都是真命题,而“非p 且q ”是假命题.故选C.]考点四 利用逻辑联结词探求参数问题(子母变式)[母题] 已知命题p :关于x 的不等式a x >1(a >0,a ≠1)的解集是{x |x <0},命题q :函数y =lg(ax 2-x +a )的定义域为R ,如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,则实数a 的取值范围为 ________ .[破题关键点] p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,等价于p 和q 一真一假,即“p 假q 真”或“p 真q 假”.[解析] 由关于x 的不等式a x >1(a >0,a ≠1)的解集是{x |x <0},知0<a <1; 由函数y =lg(ax 2-x +a )的定义域为R , 知不等式ax 2-x +a >0的解集为R ,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0,Δ=1-4a 2<0,解得a >12. 因为p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,所以p 和q 一真一假,即“p 假q 真”或“p 真q 假”, 故⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤0或a ≥1,a >12,或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a ≤12,解得a ≥1或0<a ≤12,故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0,12∪[1,+∞). [答案] ⎝⎛⎦⎤0,12∪[1,+∞) [子题1] 本例条件不变,若p 且q 为真,则a 的取值范围为 ________ . 解析:由p 且q 为真知p ,q 都为真. ∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12,1. 答案:⎝⎛⎭⎫12,1[子题2] 在本例条件下,若命题q 或(p 且q )真、非p 真,则实数a 的取值范围为 ________ .解析:由命题q 或(p 且q )真、非p 真知p 假,q 真, p 假,a ≤0或a ≥1;q 真,a >12.∴实数a 的取值范围为[1,+∞). 答案:[1,+∞)[子题3] 若本例条件变为:已知命题p :“任意x ∈[0,1],a ≥e x ”;命题q :“存在x 0∈R ,使得x 20+4x 0+a =0”.若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围为 ________ . 解析:若命题“p 且q ”是真命题,那么命题p ,q 都是真命题.由任意x ∈[0,1],a ≥e x ,得a ≥e ;由存在x 0∈R ,使x 20+4x 0+a =0, 知Δ=16-4a ≥0,a ≤4,因此e ≤a ≤4. 则实数a 的取值范围为[e,4]. 答案:[e,4]根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围; (3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.第1节函数的概念及其表示1.函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域:在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.(2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系.3.函数的表示方法表示函数的常用方法有:解析法、图像法和列表法.4.分段函数在函数的定义域内,如果对于自变量x的不同取值范围,有着不同的对应关系,那么这样的函数通常叫做分段函数.1.函数是特殊的映射,是A ,B 为非空数集的映射,其特征:第一,在A 中取元素的任意性;第二,在B 中对应元素的唯一性.2.判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.3.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.[思考辨析]判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”. (1)函数是建立在其定义域到值域的映射.( )(2)函数y =f (x )的图像与直线x =a 最多有2个交点.( ) (3)函数f (x )=x 2-2x 与g (t )=t 2-2t 是同一函数.( )(4)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( )(5)f (x )=|x |x 与g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1(x ≥0),-1(x <0)表示同一函数.( )(6)若A =R ,B ={x |x >0},f :x →y =|x |,其对应是从A 到B 的映射.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× [小题查验]1.函数y =x ln (1-x )的定义域为( ) A .(0,1) B .[0,1) C .(0,1]D .[0,1]解析:B [由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0,1-x >0,解得0≤x <1,所以函数y =x ln (1-x )的定义域为[0,1).故选B.]2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A .9 B.19 C .-9D .-19解析:B [f ⎝⎛⎭⎫14=log 214=log 22-2=-2, f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14=f (-2)=3-2=19.] 3.下列图像可以表示以M ={x |0≤x ≤1}为定义域,以N ={y |0≤y ≤1}为值域的函数的是( )解析:C [由选项知A 值域不是[0,1],B 定义域不是[0,1],D 不是函数,只有C 符合题意. 故选C.]4.函数y =f (x )的图像如图所示,那么f (x )的定义域是 ________ ;值域是 ________ ;其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是 ________ .答案:[-3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] 5.(教材改编)函数f (x )=x -4|x |-5的定义域是 ________ . 答案:[4,5)∪(5,+∞)6.已知f (x )=x 2+px +q 满足f (1)=f (2)=0,则f (-1)= ________ .解析:由f (1)=f (2)=0,得⎩⎪⎨⎪⎧ 12+p +q =0,22+2p +q =0,所以⎩⎪⎨⎪⎧p =-3,q =2.所以f (x )=x 2-3x +2,所以f (-1)=(-1)2+3+2=6.答案:6考点一 函数的概念(自主练透)数学抽象——与函数概念有关的新定义问题中的核心素养以学习过的函数概念及相关知识为依托,通过一类问题共同特征的“数学抽象”,引出新的概念,然后在快速理解的基础上,分析新问题,运用所学函数概念的相关知识,解决新问题.[题组集训]1.下列所给图像是函数图像的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:B [①中当x >0时,每一个x 的值对应两个不同的y 值,因此不是函数图像,②中当x =x 0时,y 的值有两个,因此不是函数图像,③④中每一个x 的值对应唯一的y 值,因此是函数图像,故选B.]2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A .f (x )=|x |,g (x )=x 2 B .f (x )=x 2,g (x )=(x )2 C .f (x )=x 2-1x -1,g (x )=x +1D .f (x )=x +1·x -1,g (x )=x 2-1解析:A [A 中,g (x )=|x |,∴f (x )=g (x ). B 中,f (x )=|x |,g (x )=x (x ≥0), ∴两函数的定义域不同.C 中,f (x )=x +1 (x ≠1),g (x )=x +1, ∴两函数的定义域不同.D 中,f (x )=x +1·x -1(x +1≥0且x -1≥0),f (x )的定义域为{x |x ≥1}, g (x )=x 2-1(x 2-1≥0),g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤-1}. ∴两函数的定义域不同.故选A.]3.设函数f (x )的定义域为D ,若对任意的x ∈D ,都存在y ∈D ,使得f (y )=-f (x )成立,则称函数f (x )为“美丽函数”,下列所给出的几个函数:①f (x )=x 2;②f (x )=1x -1;③f (x )=ln(2x +3);。

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说明:解三角形本属于 主题三,但为了复习效 果更好,故与三角函数 合在一起.
教材高考·审题答题(二) 三角函数与解三角形热点
问题
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第五章 数 列 第1节 数列的概念及简单表示法
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CONTENTS
第2节 等差数列及其前n项和 第3节 等比数列及其前n项和
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第4节 数列求和及数列的综合应用 教材高考·审题答题(三) 数列热点问题
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第三章 一元函数的导数及其应用 第1节 导数的概念及运算 第2节 导数在研究函数中的应用 第1课时 导数与函数的单调性 第2课时 利用导数研究函数的极值、最值 第3课时 导数在不等式中的应用 第4课时 导数与函数的零点 教材高考·审题答题(一) 函数与导数热点问题
第1课时 最值、范围、证明问题 第2课时 定点、定值、开放问题 教材高考·审题答题(五) 解析几何热点问题
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主题四 概率与统计 第九章 统计
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第1节 获取数据的基本途径及抽样方法 第2节 用样本估计总体及统计图表
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第3节 变量的相关性与统计案例
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第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
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主题五 数学建模活动与数学探究活动 第十一章 数学建模与数学探究(自主阅读)
第1节 数学建模与数学探究 第2节 过程评价与案例赏析
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第1节 两个基本计数原理 第2节 排列与组合 第3节 二项式定理 第4节 事件与概率 第5节 古典概型

【创新教程】2020版高考数学(文)总复习:课时冲关(450页,含答案)

【创新教程】2020版高考数学(文)总复习:课时冲关(450页,含答案)

第一章集合与常用逻辑用语第1节集合学生用书课时冲关一[基础训练组]1.(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3} B.{5}C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}解析:C [A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},∴A∩B={3,5},故选C.]2.(2019·石嘴山市一模)集合P={|0≤<3},M={|||≤3},则P∩M=( )A.{1,2} B.{0,1,2}C.{|0≤<3} D.{|0≤≤3}解析:C [集合P={|0≤<3},M={|||≤3}={|-3≤≤3},则P∩M={|0≤<3}.] 3.(2019·张家口市模拟)如图,I为全集,M、P、S是I的三个子集,则阴影部分所表示的集合是( )A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩∁I S D.(M∩P)∪∁I S解析:C [图中的阴影部分是M∩P的子集,不属于集合S,属于集合S的补集的子集,即是∁I S的子集,则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S.故选C.]4.(2019·漳州市模拟)满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A的个数为( )A.1 B.2C.3 D.4解析:C [满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A可得:A={2018},{2018,2019},{2018,2020}.因此满足的集合A的个数为3.]5.已知集合P={|2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( )A.(-∞,-1] B.[1,+∞)C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)解析:C [因为P∪M=P,所以M⊆P,即a∈P,得a 2≤1,解得-1≤a ≤1,所以a 的取值范围是[-1,1].]6.已知集合A ={y |y =x 2-1},B ={|y =lg(-22)},则∁R (A ∩B )=( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,12 B .(-∞,0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 D .(-∞,0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞解析:D [A ={y |y =x 2-1}=[0,+∞),B ={|y =lg(-22)}=⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,所以A ∩B =⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,所以∁R (A ∩B )=(-∞,0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞.]7.(2019·合肥市模拟)已知A =[1,+∞),B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a -1,若A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围是( )A .[1,+∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23,+∞ D .(1,+∞)解析:A[因为A ∩B ≠∅,所以⎩⎨⎧2a -1≥1,2a -1≥12a ,解得a ≥1,故选A.]8.(2019·石家庄市模拟)函数y =x -2与y =ln(1-)的定义域分别为M ,N ,则M ∪N =( ) A .(1,2]B .[1,2]C .(-∞,1]∪[2,+∞)D .(-∞,1)∪[2,+∞)解析:D [使x -2有意义的实数应满足-2≥0,∴≥2,∴M =[2,+∞),y =ln(1-)中应满足1->0,∴<1,∴N =(-∞,1),所以M ∪N =(-∞,1)∪[2,+∞),故选D.]9.已知集合A ={(,y )|,y ∈R ,2+y 2=1},B ={(,y )|,y ∈R ,y =42-1},则A ∩B 的元素个数是________.解析:集合A 是以原点为圆心,半径等于1的圆周上的点的集合,集合B 是抛物线y =42-1上的点的集合,观察图像可知,抛物线与圆有3个交点,因此A ∩B 中含有3个元素.答案:310.已知集合A ={|4≤2≤16},B =[a ,b ],若A ⊆B ,则实数a -b 的取值范围是________. 解析:集合A ={|4≤2≤16}={|22≤2≤24}={|2≤≤4}=[2,4],因为A ⊆B ,所以a ≤2,b ≥4,所以a -b ≤2-4=-2,即实数a -b 的取值范围是(-∞,-2].答案:(-∞,-2]11.对于集合M 、N ,定义M -N ={|∈M ,且∉N },M ⊕N =(M -N )∪(N -M ).设A ={y |y =3,∈R },B ={y |y =-(-1)2+2,∈R },则A ⊕B =________.解析:由题意得A ={y |y =3,∈R }={y |y >0},B ={y |y =-(-1)2+2,∈R }={y |y ≤2},故A -B ={y |y >2},B -A ={y |y ≤0},所以A ⊕B ={y |y ≤0,或y >2}.答案:(-∞,0]∪(2,+∞)12.(2019·淮南市一模)若A ={|a 2-a +1≤0,∈R }=∅,则a 的取值范围是________. 解析:∵A ={|a 2-a +1≤0,∈R }=∅,∴a =0或⎩⎨⎧a >0Δa2-4a <0,解得0≤a <4.∴a 的取值范围是[0,4).答案:[0,4).[能力提升组]13.集合U =R ,A ={|2--2<0},B ={|y =ln(1-)},则图中阴影部分所表示的集合是( )A .{|≥1}B .{|1≤<2}C .{|0<≤1}D .{|≤1}解析:B [易知A =(-1,2),B =(-∞,1),∴∁U B =[1,+∞),A ∩(∁U B )=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )={|1≤<2}.]14.设P ,Q 为两个非空实数集合,定义集合P *Q ={|=a ÷b ,a ∈P ,b ∈Q },若P ={-1,0,1},Q ={-2,2},则集合P *Q 中元素的个数是( )A .2B .3C .4D .5解析:B [当a =0时,无论b 取何值,=a ÷b =0; 当a =-1,b =-2时,=(-1)÷(-2)=12;当a =-1,b =2时,=(-1)÷2=-12;当a =1,b =-2时,=1÷(-2)=-12;当a =1,b =2时,=1÷2=12.故P *Q =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0,12,-12,该集合中共有3个元素.]15.若集合A ={|(a -1)2+3-2=0,∈R }有且仅有两个子集,则实数a 的值为________. 解析:由题意知,方程(a -1)2+3-2=0,∈R ,有一个根,∴当a =1时满足题意,当a ≠1时,Δ=0,即9+8(a -1)=0,解得a =-18.答案:1或-1816.(2019·西城区一模)某班共有学生40名,在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项,有些人会其中的两项,没有人三项均会.若该班18人不会打乒乓球,24人不会打篮球,16人不会打排球,则该班会其中两项运动的学生人数是________.解析:设同时会打乒乓球和篮球的学生有人, 同时会打乒乓球和排球的学生有y 人, 同时会打排球和篮球的学生有人,∵该班18人不会打乒乓球,24人不会打篮球,16人不会打排球, ∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人, 会打乒乓球或排球的学生有16人, 会打篮球或打排球有22人, ∴+y +=24+16+22-40=22.∴该班会其中两项运动的学生人数是22. 答案:22第2节 命题、充分条件与必要条件学生用书 课时冲关二[基础训练组]1.命题“若a 2+b 2=0,a ,b ∈R ,则a =b =0”的逆否命题是( ) A .若a ≠b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2=0 B .若a =b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0 C .若a ≠0且b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0 D .若a ≠0或b ≠0,a ,b ∈R ,则a 2+b 2≠0解析:D [写逆否命题只要交换命题的条件与结论,并分别否定条件与结论即可.] 2.(2019·晋城市一模)设a ∈R ,则“a >3”是“函数y =log a (-1)在定义域上为增函数”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:A [因为函数y =log a (-1)在定义域(1,+∞)上为增函数,所以a >1, 因此“a >3”是“函数y =log a (-1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件.]3.(2019·天津市模拟)“m =1”是“圆C 1:2+y 2+3+4y +m =0与圆C 2“2+y 2=4的相交弦长为23”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:A [由题意知圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线是3+4y +m +4=0,故(0,0)到3+4y +m +4=0的距离d =|m +4|5=4-3=1,即|m +4|=5,解得m =1或m =-9.故m =1是m =1或m =-9的充分不必要条件,故选A.]4.(2019·大庆市模拟)已知条件p :|-4|≤6,条件q :≤1+m ,若p 是q 的充分不必要条件,则m 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(-∞,9]C .[1,9]D .[9,+∞)解析:D [由|-4|≤6,解得-2≤≤10,即p :-2≤≤10;又q :≤1+m ,若p 是q 的充分不必要条件,则1+m ≥10,解得m ≥9.故选D.]5.(2019·洛阳市一模)若>m 是2-3+2<0的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是( )A .[1,+∞)B .(-∞,2]C .(-∞,1]D .[2,+∞)解析:C [由2-3+2<0得1<<2, 若>m 是2-3+2<0的必要不充分条件, 则m ≤1,即实数m 的取值范围是(-∞,1].]6.(2019·南昌市模拟)a 2+b 2=1是a sin θ+b cos θ≤1恒成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:A [因为a sin θ+b cos θ=a 2+b 2sin (θ+φ)≤a 2+b 2,所以由a 2+b 2=1可推得a sin θ+b cos θ≤1恒成立.反之,取a =2,b =0,θ=30°,满足a sin θ+b cos θ≤1,但不满足a 2+b 2=1,即由a sin θ+b cos θ≤1推不出a 2+b 2=1,故a 2+b 2=1是a sin θ+b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件.故选A.]7.(2019·新余市模拟)“m >1”是“函数f ()=3+m -33在区间[1,+∞)无零点”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:A [因为函数f ()=3+m -33在区间[1,+∞)上单调递增且无零点,所以f (1)=31+m-33>0,即m +1>32,解得m >12,故“m >1”是“函数f ()=3+m -33在区间[1,+∞)无零点的充分不必要条件,故选A.] 8.(2019·焦作市质检)设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n .给出命题s :若|q |=2,则S 6=7S 2,则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中,错误命题的个数是( )A .3B .2C .1D .0解析:B [若|q |=2,则q 2=2,S 6=a 11-q 61-q =a 11-q 21+q 2+q 41-q =7·a 11-q 21-q=7S 2,所以原命题为真,从而逆否命题为真;而当S 6=7S 2时,显然q ≠1,这时a 11-q 61-q =7·a 11-q 21-q,解得q =-1或|q |=2,因此,逆命题为假,否命题为假,故错误命题的个数为2.]9.(2019·西宁市模拟)《左传·僖公十四年》有记载:“皮之不存,毛将焉附?”这句话的意思是说皮都没有了,毛往哪里依附呢?比喻事物失去了借以生存的基础,就不能存在.皮之不存,毛将焉附?则“有毛”是“有皮”的_______条件(将正确的序号填入空格处).①充分条件 ②必要条件 ③充要条件 ④既不充分也不必要条件解析:由题意知“无皮”⇒“无毛”,所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件.答案:①10.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件.解析:由正弦定理,得a sin A =bsin B ,故a ≤b ⇔sin A ≤sinB.答案:充要11.(2019·曲靖市一模)若“>a ”是“2-5+6≥0”成立的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是_________.解析:由2-5+6≥0得≥3或≤2,若“>a ”是“2-5+6≥0”成立的充分不必要条件,则a ≥3,即实数a 的取值范围是[3,+∞).答案:[3,+∞)12.(2019·日照模拟)已知条件p :22-3+1≤0,条件q :2-(2a +1)+a (a +1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________.解析:由22-3+1≤0,得12≤≤1,∴命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |12≤x ≤1.由2-(2a +1)+a (a +1)≤0,得a ≤≤a +1, ∴命题q 为{|a ≤≤a +1}.非p 对应的集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x >1或x <12,非q 对应的集合B ={|>a +1或<a }. ∵非p 是非q 的必要不充分条件, ∴a +1≥1且a ≤12,∴0≤a ≤12,即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12[能力提升组]13.(2019·合肥市模拟)祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A ,B 为两个同高的几何体,p :A ,B 的体积不相等,q :A ,B 在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p 是q 的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:A [设命题a :“若p ,则q ”,可知命题a 是祖暅原理的逆否命题,则a 是真命题.故p 是q 的充分条件.设命题b :“若q ,则p ”,若A 比B 在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b 是假命题,即p 不是q 的必要条件.综上所述,p 是q 的充分不必要条件.故选A.]14.(2019·保定市模拟)已知条件p :4x -1≤-1,条件q :2+<a 2-a ,且非q 的一个充分不必要条件是非p ,则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,-12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2 C .[-1,2]D.⎝ ⎛⎦⎥⎤2,12∪[2,+∞) 解析:C [由4x -1≤-1,移项得4x -1+1≤0,通分得x +3x -1≤0,解得-3≤<1;由2+<a 2-a ,得2+-a 2+a <0.由非q 的一个充分不必要条件是非p ,可知非p 是非q 的充分不必要条件,即p 是q 的必要不充分条件,即条件q 对应的取值集合是条件p 对应的取值集合的真子集.设f ()=2+-a 2+a ,如图,则⎩⎨⎧f 3a 2+a +6≥0,f 1a 2+a +2≥0,∴⎩⎨⎧-2<a <3-1≤a ≤2∴-1≤a ≤2,故选C.]15.给出下列命题:①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n +1}为等比数列”的充分不必要条件; ②“a =2”是“函数f ()=|-a |在区间[2,+∞)上为增函数”的充要条件;③“m =3”是“直线(m +3)+my -2=0与直线m -6y +5=0互相垂直”的充要条件; ④设a ,b ,c 分别是△ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边,若a =1,b =3,则“A =30°”是“B =60°”的必要不充分条件.其中真命题的序号是________.解析:对于①,当数列{a n }为等比数列时,易知数列{a n a n +1}是等比数列,但当数列{a n a n +1}为等比数列时,数列{a n }未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列,而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列,因此①正确;对于②,当a ≤2时,函数f ()=|-a |在区间[2,+∞)上是增函数,因此②不正确;对于③,当m =3时,相应的两条直线互相垂直,反之,这两条直线垂直时,不一定有m =3,也可能m =0.因此③不正确;对于④,由题意得b a =sin Bsin A=3,若B =60°,则sin A =12,注意到b >a ,故A =30°,反之,当A =30°时,有sin B =32,由于b >a ,所以B =60°或B =120°,因此④正确.综上所述,真命题的序号是①④.答案:①④16.设命题p :2x -1x -1<0,命题q ∶2-(2a +1)+a (a +1)≤0,若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是________.解析:2x -1x -1<0⇒(2-1)(-1)<0⇒12<<1,2-(2a +1)+a (a +1)≤0⇒a ≤≤a +1.由题意,得⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1⊆[a ,a +1].故⎩⎨⎧a ≤12,a +1≥1,解得0≤a ≤12.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,12第3节量词与逻辑联结词学生用书课时冲关三[基础训练组]1.(2019·安阳市模拟)已知命题p:存在0∈(-∞,0),20<30,则非p为( )A.存在0∈[0,+∞),20<30B.存在0∈(-∞,0),20≥30C.任意0∈[0,+∞),2<3D.任意∈(-∞,0),2≥3解析:D [由特称命题的否定为全称命题,可得命题p:存在0∈(-∞,0),20<30,则非p为:任意∈(-∞,0),2≥3,故选D.]2.(2019·济南市一模)若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,则( )A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q都是假命题C.命题p是真命题,命题q是假命题D.命题p是假命题,命题q是真命题解析:D [命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,则p是假命题,q是真命题,故选D.]3.(2019·濮阳市一模)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面.命题p:若α∩β=m,m⊥n,则n⊥α;命题q:若m∥α,m⊂β,α∩β=n,则m∥n.那么下列命题中的真命题是( )A.p且q B.p或非qC.非p且q D.非p且非q解析:C [直线垂直于平面内的一条直线,不能确定该直线与平面垂直,命题p是假命题;命题q满足直线与平面平行的性质定理,命题q是真命题;所以非p是真命题,可得非p且q 是真命题.故选C.]4.已知命题p:若a=0.30.3,b=1.20.3,c=log1.20.3,则a<c<b;命题q:“2--6>0”是“>4”的必要不充分条件,则下列命题正确的是( )A.p且q B.p且(非q)C.(非p)且q D.(非p)且(非q)解析:C [因为0<a=0.30.3<0.30=1,b=1.20.3>1.20=1,c=log1.20.3<log1.21=0,所以c<a<b ,故命题p 为假命题,非p 为真命题;由2--6>0可得<-2或>3,故“2--6>0”是“>4”的必要不充分条件,q 为真命题,故(非p )且q 为真命题,选C.]5.(2019·沈阳市模拟)命题p :“任意∈N +,⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤12”的否定为( )A .任意∈N +,⎝ ⎛⎭⎪⎫12>12B .任意∉N +,⎝ ⎛⎭⎪⎫12>12C .存在0∉N +,⎝ ⎛⎭⎪⎫120>12D .存在0∈N +,⎝ ⎛⎭⎪⎫120>12解析:D [命题p 的否定是把“任意”改成“存在”,再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫120>12”即可,故选D.]6.短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛,记“甲得第一名”为p ,“乙得第二名”为q ,“丙得第三名”为r ,若p 或q 是真命题,p 且q 是假命题,(非q )且r 是真命题,则选拔赛的结果为( )A .甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B .甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C .甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D .甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名解析:D [(非q )且r 是真命题意味着非q 为真,q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名);p 或q 是真命题,由于q 为假,只能p 为真(甲得第一名),这与p 且q 是假命题相吻合;由于还有其他三名队员参赛,只能肯定其他队员得第二名,乙没得第二名,故选D.]7.(2019·玉溪市模拟)有四个关于三角函数的命题:p 1:存在∈R ,sin +cos =2; p 2:存在∈R ,sin 2=sin ;p 3:任意∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2,1+cos 2x2=cos ; p 4:任意∈(0,π),sin >cos .其中真命题是( ) A .p 1,p 4B .p 2,p 3C .p 3,p 4D .p 2,p 4解析:B [因为sin +cos =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4,所以sin +cos 的最大值为2,可得不存在∈R ,使sin +cos =2成立,得命题p 1是假命题; 因为存在=π(∈),使sin 2=sin 成立,故命题p 2是真命题; 因为1+cos 2x 2=cos 2,所以1+cos 2x 2=|cos |,结合∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2得cos ≥0 由此可得1+cos 2x2=cos ,得命题p 3是真命题; 因为当=π4时,sin =cos =22,不满足sin >cos ,所以任意∈(0,π),使sin >cos 不成立,故命题p 4是假命题.故选B.] 8.(2019·瓦房店市一模)下列说法错误的是( )A .命题“若2-4+3=0,则=3”的逆否命题是“若≠3,则2-4+3≠0”B .“>1”是“||>0”的充分不必要条件C .命题p :“存在∈R ,使得2++1<0”,则非p :“任意∈R ,2++1≥0”D .若p 且q 为假命题,则p 、q 均为假命题解析:D [命题“若2-4+3=0,则=3”的逆否命题是“若≠3,则2-4+3≠0”,故A 正确;由>1,可得||>1>0,反之,由||>0,不一定有>1,如=-1, ∴“>1”是“||>0”的充分不必要条件,故B 正确;命题p :“存在∈R ,使得2++1<0”,则非p :“任意∈R ,2++1≥0”,故C 正确; 若p 且q 为假命题,则p 、q 中至少有一个为假命题,故D 错误.] 9.(2019·银川市模拟)命题“存在0∈R,20>3”的否定是________.解析:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“存在0∈R,20>3”的否定是:“任意∈R,2≤3”.答案:任意∈R,2≤310.若命题“任意∈R ,2--1<0”是真命题,则的取值范围是________.解析:命题“任意∈R ,2--1<0”是真命题,当=0时,则有-1<0;当≠0时,则有<0且Δ=(-)2-4××(-1)=2+4<0,解得-4<<0,综上所述,实数的取值范围是(-4,0].答案:(-4,0]11.(2019·西宁市一模)命题“存在∈R ,2-(m -1)+1<0”为假命题,则实数m 的取值范围为________.解析:命题“存在∈R ,2-(m -1)+1<0”为假命题, 可得任意∈R ,2-(m -1)+1≥0恒成立, 即有Δ=(m -1)2-4≤0,解得-1≤m ≤3, 则实数m 的取值范围为[-1,3]. 答案:[-1,3]12.若命题p :关于的不等式a +b >0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x >-b a ,命题q :关于的不等式(-a )(-b )<0的解集是{|a <<b },则在命题“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”、“ 非q ”中,是真命题的有________.解析:依题意可知命题p 和q 都是假命题,所以“p 且q ”为假、“p 或q ”为假、“非p ”为真、“非q ”为真.答案:非p ,非q[能力提升组]13.已知命题p 1:存在0∈R ,使得20+0+1<0成立;p 2:对任意∈[1,2],2-1≥0.以下命题为真命题的是( )A .(非p 1)且(非p 2)B .p 1或(非p 2)C .(非p 1)且p 2D .p 1且p 2解析:C [∵方程20+0+1=0的判别式Δ=12-4=-3<0,∴20+0+1<0无解,故命题p 1为假命题,非p 1为真命题;由2-1≥0,得≥1或≤-1.∴对任意∈[1,2],2-1≥0,故命题p 2为真命题, 非p 2为假命题.∵非p 1为真命题,p 2为真命题, ∴(非p 1)且p 2为真命题,选C.]14.已知命题p :任意∈R,2+12x >2,命题q :存在0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,使sin 0+cos 0=12,则下列命题中为真命题的是( )A .非p 且非qB .非p 且qC .p 且非qD .p 且q解析:A [命题p :任意∈R,2+12x >2,当=0时,命题不成立.所以命题p 是假命题,则非p 是真命题;命题q :任意∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,使sin +cos =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4∈[1,2],所以存在0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,使sin 0+cos 0=12,不正确,则非q 是真命题.所以非p 且非q .故选A.]15.若“任意∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4,m ≤tan +1”为真命题,则实数m 的最大值为________.解析:由“任意∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4,m ≤tan +1”为真命题,可得-1≤tan ≤1,∴0≤tan +1≤2,∴实数m 的最大值为0.答案:016.(2019·洛阳市一模)已知p :任意∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,12,2<m (2+1),q :函数f ()=4+2+1+m -1存在零点,若“p 且q ”为真命题,则实数m 的取值范围是________.解析:已知p :任意∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,12,2<m (2+1),故m >2x x 2+1.令g ()=2x x 2+1,则g ()在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,12递增,所以g ()≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=45,故p 为真时:m >45;q :函数f ()=4+2+1+m -1=(2+1)2+m -2,令f ()=0,得2=2-m -1.若f ()存在零点,则2=2-m -1>0, 解得m <1, 故q 为真时,m <1.若“p 且q ”为真命题,则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45,1.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫45,1第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示 学生用书 课时冲关四[基础训练组]1.若函数y =f ()的定义域为M ={|-2≤≤2},值域为N ={y |0≤y ≤2},则函数y =f ()的图像可能是( )解析:B [可以根据函数的概念进行排除,使用筛选法得到答案.]2.(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y =10lg 的定义域和值域相同的是( )A .y =B .y =lgC .y =2D .y =1x解析:D [函数y =10lg 的定义域和值域均为(0,+∞);函数y =的定义域和值域均为R ,不满足要求;函数y =lg 的定义域为(0,+∞),值域为R ,不满足要求;函数y =2的定义域为R ,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y =1x的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.故选D.]3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x x =x 2+1x 2+1x ,则f ()=( )A .(+1)2(≠1)B .(-1)2(≠1)C .2-+1(≠1)D .2++1(≠1)解析:C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+x x =x 2+1x 2+1x =x +12x 2-x +1x +1,令x +1x=t ,得f (t )=t 2-t +1(t ≠1),即f ()=2-+1(≠1).故选C.]4.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f ()=⎩⎨⎧2x -1-2,x ≤1-log 2x +1x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( )A .-74B .-54C .-34D .-14解析:A [当a ≤1时,2a -1-2=-3,无解; 当a >1时,-log 2(a +1)=-3,得a =7, 所以f (6-a )=f (-1)=2-2-2=-74,故选A.]5.(2019·孝义市模拟)已知函数f ()=⎩⎨⎧x 2,x ≤1x +4x -3,x >1,( )A .[1,+∞)B .[0,+∞)C .(1,+∞)D .[0,1)∪(1,+∞)解析:B[由f ()=⎩⎨⎧x 2,x ≤1x +4x -3,x >1,知当≤1时,2≥0; 当>1时,+4x-3≥2x ·4x -3=4-3=1,当且仅当=4x,即=2时取“=”. 取并集得f ()的值域是[0,+∞).]6.图中的图像所表示的函数的解析式f ()=________.解析:由图像知每段为线段.设f ()=a +b ,把(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1,32,(2,0)分别代入求解,得⎩⎨⎧ a =32,b =0,⎩⎨⎧a =-32,b =3.答案:f ()=⎩⎪⎨⎪⎧32x ,0≤x ≤13-32x ,1<x ≤27.若函数y =f ()的值域是[1,3],则函数F ()=1-2f (+3)的值域是________.解析:∵1≤f ()≤3,∴-6≤-2f (+3)≤-2, ∴-5≤1-2f (+3)≤-1,即F ()的值域为[-5,-1]. 答案: [-5,-1]8.(2019·东莞市模拟)已知函数f ()=a -b (a >0),f (f ())=4-3,则f (2)=__________. 解析:∵f ()=a -b ,∴f (f ())=f (a -b )=a (a -b )-b =a 2-ab -b =4-3.∴⎩⎨⎧a 2=4ab +b =3,且a >0,∴a =2,b =1. ∴f ()=2-1,∴f (2)=2×2-1=3. 答案:39.二次函数f ()满足f (+1)-f ()=2,且f (0)=1. (1)求f ()的解析式; (2)解不等式f ()>2+5.解:(1)设二次函数f ()=a 2+b +c (a ≠0). ∵f (0)=1,∴c =1.把f ()的表达式代入f (+1)-f ()=2,有a (+1)2+b (+1)+1-(a 2+b +1)=2.∴2a +a +b =2. ∴a =1,b =-1. ∴f ()=2-+1.(2)由2-+1>2+5,即2-3-4>0, 解得>4或<-1.故原不等式解集为{|>4,或<-1}. 10.已知函数f ()=·||-2. (1)求函数f ()=0时的值;(2)画出y =f ()的图像,并结合图像写出f ()=m 有三个不同实根时,实数m 的取值范围.解:(1)由f ()=0可解得=0,=±2,所以函数f ()=0时,的值为-2,0,2. (2)f ()=||-2,即f ()=⎩⎨⎧x 2-2x ,x ≥0,-x 2-2x ,x <0.图像如图,由图像可得实数m ∈(-1,1).[能力提升组]11.(2019·遂宁市模拟)设函数f ()=x -1,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,4 B .[2,4]C .[1,+∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14,2 解析:B [∵函数f ()=x -1的定义域为[1,+∞),∴⎩⎪⎨⎪⎧x2≥14x ≥1,解得2≤≤4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 的定义域为:[2,4].]12.已知f ()=⎩⎨⎧1x +2,-1≤x ≤0,x 2-2x ,0<x ≤1,若f (2m -1)<12,则m 的取值范围是( )A .m >12B .m <12C .0≤m <12D.12<m ≤1解析:D[由题得⎩⎨⎧-1≤2m -1≤0,12m +1<12,或⎩⎨⎧0<2m -1≤1,2m -12-22m -1<12,解得12<m ≤1,故选D.]13.若函数f ()=x 2+2ax -a 的定义域为R ,则a 的取值范围为________. 解析:由题意知2+2a -a ≥0恒成立.∴2+2a -a ≥0恒成立, ∴Δ=4a 2+4a ≤0,∴-1≤a ≤0. 答案:[-1,0]14.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速(千米/时)满足下列关系:y =x 2200+m +n (m ,n 是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速(千米/时)的关系图.(1)求出y 关于的函数表达式;(2)如果要求刹车距离不超过25.2米,求行驶的最大速度. 解:(1)由题意及函数图像,得⎩⎪⎨⎪⎧402200+40m +n =8.4,602200+60m +n =18.6,解得m =1100,n =0,所以y =x 2200+x100(≥0).(2)令x 2200+x100≤25.2,得-72≤≤70.∵≥0,∴0≤≤70.故行驶的最大速度是70千米/时.第2节 函数的单调性与最值 学生用书 课时冲关五[基础训练组]2.已知函数f ()=2a 2+4(a -3)+5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,34 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,34 解析:D [当a =0时,f ()=-12+5,在(-∞,3)上是减函数;当a ≠0时,由⎩⎨⎧a >0-4a -34a≥3,得0<a ≤34.综上,a 的取值范围是0≤a ≤34.]3.(2019·聊城市模拟)函数y =ln (2-4+3)的单调减区间为( ) A .(2,+∞) B .(3,+∞) C .(-∞,2)D .(-∞,1)解析:D [令t =2-4+3>0,求得<1,或>3, 故函数的定义域为{|<1,或>3},且y =ln t .由二次函数的性质得,t 在区间(-∞,1)上为减函数,在区间(3,+∞)为增函数, 又y =ln t 在t ∈(0,+∞)上为增函数,根据复合函数单调性的判断方法,知函数y =ln (2-4+3)的单调减区间为(-∞,1).]4.已知f ()=⎩⎨⎧3a -1x +4a ,x <1,log a x ,x ≥1是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是( ) A .(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17,13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17,1 解析:C[由题意知⎩⎨⎧3a -1<0,0<a <1,3a -11+4a ≥log a 1,即⎩⎪⎨⎪⎧a <13,0<a <1,a ≥17,所以17≤a <13.故选C.]5.已知函数f ()=2-2a +a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g ()=f xx在区间(1,+∞)上一定( )A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数解析:D [由题意知a <1,∴g ()=f x x =+ax-2a ,当a <0时,显然g ()在区间(1,+∞)上单调递增,当a >0时,g ()在[a ,+∞)上是增函数,故在(1,+∞)上为增函数,∴g ()在(1,+∞)上一定是增函数.]6.(2019·日照市模拟)已知奇函数f ()为R 上的减函数,若f (3a 2)+f (2a -1)≥0,则实数a 的取值范围是________.解析:∵奇函数f ()为R 上的减函数, ∴不等式f (3a 2)+f (2a -1)≥0,等价为f (3a 2)≥-f (2a -1)=f (1-2a ),即3a 2≤1-2a ,即3a 2+2a -1≤0,得(a +1)(3a -1)≤0,得-1≤a ≤13,即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,13.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,137.设函数f ()=ax +1x +2a 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a 的取值范围是________.解析:f ()=ax +2a 2-2a 2+1x +2a =a -2a 2-1x +2a,定义域为(-∞,-2a )∪(-2a ,+∞), ∵函数f ()在区间(-2,+∞)上是增函数,∴⎩⎨⎧ 2a 2-1>0-2a ≤-2即⎩⎨⎧2a 2-1>0a ≥1,解得a ≥1.答案:[1,+∞)8.(2019·沈阳市一模)已知函数f ()=|log 3|,实数m ,n 满足0<m <n ,且f (m )=f (n ),若f ()在[m 2,n ]的最大值为2,则nm=________.解析:∵f ()=|log 3|,正实数m ,n 满足m <n ,且f (m )=f (n ),∴-log 3m =log 3n ,∴mn =1. ∵f ()在区间[m 2,n ]上的最大值为2,函数f ()在[m 2,1)上是减函数,在(1,n ]上是增函数, ∴-log 3m 2=2,或log 3n =2.若-log 3m 2=2是最大值,得m =13,则n =3,此时log 3n =1,满足题意条件.此时n m =3÷13=9.同理:若log 3n =2是最大值,得n =9,则m =19,此时-log 3m 2=4,不满足题意条件. 综合可得 m =13,n =3,nm =9.答案:9 9.已知f ()=xx -a(≠a ),(1)若a =-2,试证f ()在(-∞,-2)内单调递增;(2) 且f ()在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 解:(1)证明:任取1<2<-2, 则f (1)-f (2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2x 1-x 2x 1+2x 2+2.∵(1+2)(2+2)>0,1-2<0, ∴f (1)<f (2).∴f ()在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设1<1<2,则f (1)-f (2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a=a x 2-x 1x 1-a x 2-a.∵a >0,2-1>0,∴要使f (1)-f (2)>0,只需(1-a )(2-a )>0恒成立,∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1].10.(2019·西安市模拟)已知定义在R 上的函数f ()满足: ①f (+y )=f ()+f (y )+1,②当>0时,f ()>-1. (1)求f (0)的值,并证明f ()在R 上是单调增函数. (2)若f (1)=1,解关于的不等式f (2+2)+f (1-)>4. 解:(1)令=y =0得f (0)=-1. 在R 上任取1>2, 则1-2>0,f (1-2)>-1.又f (1)=f ((1-2)+2)=f (1-2)+f (2)+1>f (2), 所以,函数f ()在R 上是单调增函数. (2)由f (1)=1,得f (2)=3,f (3)=5. 由f (2+2)+f (1-)>4得f (2++1)>f (3),又函数f ()在R 上是增函数,故2++1>3,解得<-2或>1, 故原不等式的解集为{|<-2,或>1}.[能力提升组]11.(2019·天津市一模)已知函数f ()是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上对于任意两个不相等的实数1,2恒有f x 1f x 2x 1-x 2<0成立,若实数a 满足f (log 6a )≥f (-1),则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16,6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16,+∞ C .(0,6]D .(-∞,6]解析:A [根据题意,函数f ()在区间[0,+∞)上有f x 1f x 2x 1-x 2<0成立,则函数f ()在区间[0,+∞)上是减函数,又函数f ()为偶函数,则f (log 6a )≥f (-1)等价于f (|log 6a |)≥f (1), 即|log 6a |≤1,解得-1≤log 6a ≤1,所以16≤a ≤6.]12.设函数y =f ()在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数,定义函数f ()=⎩⎨⎧f x f x ≤k ,k ,f x >k ,取函数f ()=2-||.当=12时,函数f ()的单调递增区间为( ) A .(-∞,0) B .(0,+∞) C .(-∞,-1)D .(1,+∞)解析:C [由f ()>12,得-1<<1.由f ()≤12,得≤-1或≥1.所以f 12()=⎩⎪⎨⎪⎧2-x ,x ≥1,12,-1<x <1,2x,x ≤-1.故f 12()的单调递增区间为(-∞,-1).]13.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎨⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .设函数f ()=-+3,g ()=log 2,则函数h ()=min{f (),g ()}的最大值是________.解析:依题意,h ()=⎩⎨⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<≤2时,h ()=log 2是增函数,当>2时,h ()=3-是减函数,∴h ()在=2时,取得最大值h (2)=1.答案:114.已知f ()是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若a ,b ∈[-1,1],a +b ≠0时,有f af ba +b>0成立.(1)判断f ()在[-1,1]上的单调性,并证明它;(2)解不等式:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -1;(3)若f ()≤m 2-2am +1对所有的a ∈[-1,1]恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)任取1,2∈[-1,1],且1<2, 则-2∈[-1,1],∵f ()为奇函数, ∴f (1)-f (2)=f (1)+f (-2) =f x 1f x 2x 1x 2·(1-2),由已知得f x 1fx 2x 1x 2>0,1-2<0,∴f (1)-f (2)<0,即f (1)<f (2). ∴f ()在[-1,1]上单调递增. (2)∵f ()在[-1,1]上单调递增,∴⎩⎪⎨⎪⎧x +12<1x -1,-1≤x +12≤1,-1≤1x -1≤1.∴-32≤<-1.所以,不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |-32≤x <-1.(3)∵f (1)=1,f ()在[-1,1]上单调递增. ∴在[-1,1]上,f ()≤1. 问题转化为m 2-2am +1≥1, 即m 2-2am ≥0,对a ∈[-1,1]恒成立. 设g (a )=-2m ·a +m 2≥0.①若m =0,则g (a )=0≥0,对a ∈[-1,1]恒成立.②若m ≠0,则g (a )为a 的一次函数,若g (a )≥0,对a ∈[-1,1]恒成立,必须有g (-1)≥0且g (1)≥0,∴m≤-2或m≥2.∴m的取值范围是m=0或m≥2或m≤-2.第3节 函数的奇偶性与周期性学生用书 课时冲关六[基础训练组]1.(2019·呼和浩特市一模)下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递减的函数是( ) A .y =-3 B .y =2|| C .y =-2D .y =log 3(-)解析:B [选项A ,函数是奇函数,不满足条件;选项B ,函数是偶函数,当<0时,y =2||=2-=⎝ ⎛⎭⎪⎫12是减函数,满足条件;选项C ,函数是偶函数,当<0时,y =-2=1x 2是增函数,不满足条件;选项D ,函数的定义域为(-∞,0),不关于原点对称,为非奇非偶函数,不满足条件.故选B.]2.(2019·赣州市一模)已知偶函数f ()在[0,+∞)单调递减,f (2)=0,若f (-1)>0,则的取值范围是( )A .(3,+∞)B .(-∞,-3)C .(-∞,-1)∪(3,+∞)D .(-1,3)解析:D [由偶函数f ()在[0,+∞)单调递减,f (2)=0,得f ()=f (||),因为f (-1)>0,则f (|-1|)>f (2),即|-1|<2,解得-1<<3,即的取值范围是(-1,3).故选D.]3.(2019·保定市一模)已知函数f ()=⎩⎨⎧1,x >0-1,x <0,设g ()=f xx 2,则g ()是( ) A .奇函数,在(-∞,0)上递增,在(0,+∞)上递增 B .奇函数,在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递减 C .偶函数,在(-∞,0)上递增,在(0,+∞)上递增 D .偶函数,在(-∞,0)上递减,在(0,+∞)上递减解析:B [根据题意,g ()=f xx2=⎩⎪⎨⎪⎧1x 2,x >0,-1x 2,x <0,其定义域关于原点对称.设>0,则-<0,g (-)=-1x2=-1x 2=-g ();设<0,则->0,g (-)=1x2=1x2=-g (),故g ()为奇函数.又g ()=1x2=-2在区间(0,+∞)上递减,则g ()在(-∞,0)上也递减.故选B.]4.已知f ()=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21-x +a 是奇函数,则使f ()<0的的取值范围是( ) A .(-1,0) B .(0,1)C .(-∞,0)D .(-∞,0)∪(1,+∞)解析:A [∵f ()=lg ⎝⎛⎭⎪⎫21-x +a 是奇函数, ∴f (-)+f ()=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21+x +a +lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21-x +a =0,解得a =-1,即f ()=lg 1+x 1-x ,由f ()=lg1+x 1-x <0,得0<1+x1-x<1,解得-1<<0,故选A.]5.(2019·安庆市模拟)定义在R 上的奇函数f ()满足:f (+1)=f (-1),且当-1<<0时,f ()=2-1,则f (log 220)等于( )A.14 B .-14C .-15D.15解析:D [∵f (+1)=f (-1),∴函数f ()是周期为2的周期函数, 又∵log 232>log 220>log 216,∴4<log 220<5,∴f (log 220)=f (log 220-4)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254=-f ⎝⎛⎭⎪⎫-log 254.又∵∈(-1,0)时,f ()=2-1,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-log 254=-15,f (log 220)=15.故选D.]6.已知f (),g ()分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f ()-g ()=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,则f (1),g (0),g (-1)之间的大小关系是________.解析:在f ()-g ()=⎝ ⎛⎭⎪⎫12中,用-替换,得f (-)-g (-)=2,由于f (),g ()分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,所以f (-)=-f (),g (-)=g (),因此得-f ()-g ()=2.于是解得f ()=2-x -2x2,g ()=-2-x +2x 2,于是f (1)=-34,g (0)=-1,g (-1)=-54,故f (1)>g (0)>g (-1).答案:f (1)>g (0)>g (-1)7.(2019·惠州市模拟)已知函数f ()=2-2-,则不等式f (2+1)+f (1)≥0的解集是________. 解析:根据题意,有f (-)=2--2=-(2-2-)=-f (),则函数f ()为奇函数, 又函数f ()在R 上为增函数,f (2+1)+f (1)≥0等价于f (2+1)≥-f (1),即f (2+1)≥f (-1),所以2+1≥-1,解得≥-1,即不等式的解集为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)8.(2019·泰安市模拟)定义在R 上的函数f ()满足f (+y )=f ()+f (y ),f (+2)=-f ()且f ()在[-1,0]上是增函数,给出下列几个命题:①f ()是周期函数;②f ()的图像关于=1对称;③f ()在[1,2]上是减函数;④f (2)=f (0),其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出;).解析:f (+y )=f ()+f (y )对任意,y ∈R 恒成立.令=y =0, 所以f (0)=0.令+y =0,所以y =-,所以f (0)=f ()+f (-). 所以f (-)=-f (),所以f ()为奇函数.因为f ()在∈[-1,0]上为增函数,又f ()为奇函数,所以f ()在[0,1]上为增函数. 由f (+2)=-f ()⇒f (+4)=-f (+2)⇒f (+4)=f (),所以周期T =4,即f ()为周期函数.f (+2)=-f ()⇒f (-+2)=-f (-).又因为f ()为奇函数,所以f (2-)=f (),所以函数关于=1对称. 由f ()在[0,1]上为增函数,又关于=1对称,所以f ()在[1,2]上为减函数. 由f (+2)=-f (),令=0得f (2)=-f (0)=f (0). 答案: ①②③④9.已知函数f ()=⎩⎨⎧-x 2+2x ,x >0,0,x =0,x 2+mx ,x <0是奇函数.(1)求实数m 的值;(2)若函数f ()在区间[-1,a -2]上单调递增,求实数a 的取值范围. 解:(1)设<0,则->0,所以f (-)=-(-)2+2(-)=-2-2. 又f ()为奇函数,所以f (-)=-f (), 于是<0时,f ()=2+2=2+m , 所以m =2.(2)由(1)知f ()在[-1,1]上是增函数,要使f ()在[-1,a -2]上单调递增.结合f ()的图像知⎩⎨⎧a -2>-1,a -2≤1,所以1<a ≤3,故实数a 的取值范围是(1,3].10.已知函数f ()是定义在R 上的奇函数,且它的图像关于直线=1对称. (1)求证:f ()是周期为4的周期函数;(2)若f ()=x (0<≤1),求∈[-5,-4]时,函数f ()的解析式. 解:(1)证明:由函数f ()的图像关于直线=1对称, 有f (+1)=f (1-),即有f (-)=f (+2). 又函数f ()是定义在R 上的奇函数, 故有f (-)=-f ().故f (+2)=-f (). 即f ()是周期为4的周期函数.(2)由函数f ()是定义在R 上的奇函数,有f (0)=0. ∈[-1,0)时,-∈(0,1],f ()=-f (-)=-x . 故∈[-1,0]时,f ()=-x . ∈[-5,-4]时,+4∈[-1,0],f ()=f (+4)=--x -4.从而,∈[-5,-4]时,函数f ()=--x -4.[能力提升组]11.函数f ()满足f ()·f (+2)=13,若f (1)=2,则f (99)等于( ) A .13 B .2 C.213D.132解析:D [∵f ()·f (+2)=13,∴f (+2)=13f x,则f (+4)=13f x +2=1313f x=f (),故函数f ()的周期为4, ∴f (99)=f (3)=13f 1=132.]12.(2019·佛山市一模)已知f ()=2+a2x 为奇函数,g ()=b -log 2(4+1)为偶函数,则f (ab )=( )A.174B.52 C .-154D .-32解析:D [根据题意,f ()=2+a2x 为奇函数,则有f (-)+f ()=0,即(2-+a2-x )+⎝⎛⎭⎪⎫2x+a 2x =0,解得a =-1. 因为g ()=b -log 2(4+1)为偶函数,则g ()=g (-), 即b -log 2(4+1)=b (-)-log 2(4-+1),解得b =1,则ab =-1,f (ab )=f (-1)=2-1-12-1=-32.]13.若函数f ()是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调增函数.如果实数t 满足f (ln t )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)时,那么t 的取值范围是________.解析:因为函数f ()是偶函数,所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t =f (-ln t )=f (ln t )=f (|ln t |).则有f (ln t )+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1),即2f (ln t )<2f (1),等价于f (|ln t |)<f (1),因为函数f ()在区间[0,+∞)上是单调增函数,所以|ln t |<1,解得1e<t <e.答案:⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ,e14.设f ()是(-∞,+∞)上的奇函数,f (+2)=-f (),当0≤≤1时,f ()=. (1)求f (π)的值;(2)当-4≤≤4时,求f ()的图像与轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数f ()的单调区间. 解:(1)由f (+2)=-f (),得f (+4)=f [(+2)+2]=-f (+2)=f (),∴f ()是以4为周期的周期函数. ∴f (π)=f (-1×4+π)=f (π-4) =-f (4-π)=-(4-π)=π-4.(2)由f ()是奇函数与f (+2)=-f (), 得f [(-1)+2]=-f (-1)=f [-(-1)], 即f (1+)=f (1-).从而可知函数y =f ()的图像关于直线=1对称.又当0≤≤1时,f ()=,且f ()的图像关于原点成中心对称,则f ()的图像如图所示.设当-4≤≤4时,f ()的图像与轴围成的图形面积为S ,则S =4S △OAB =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1=4.(3)函数f ()的单调递增区间为[4-1,4+1](∈), 单调递减区间为[4+1,4+3](∈).第4节 二次函数与幂函数 学生用书 课时冲关七[基础训练组]1.(2019·呼和浩特市模拟)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,18在幂函数f ()=(a -1)b 的图像上,则函数f ()是( )A .定义域内的减函数B .奇函数C .偶函数D .定义域内的增函数解析:B [∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,18在幂函数f ()=(a -1)b 的图像上,∴a -1=1,解得a =2,∴2b =18,解得b =-3,∴f ()=-3,∴函数f ()是定义域上的奇函数,且在(-∞,0),(0,+∞)上是减函数.] 2.(2019·唐山市一模)已知a =3-23,b =2-43,c =ln 3,则( )A .a <c <bB .a <b <cC .b <c <aD .b <a <c解析:D [∵a =3-23,b =2-43=4-23,又y =-23在(0,+∞)上单调递减.∴b <a <1,又c =ln 3>1,则b <a <c ,故选D.]3.幂函数y =m 2-4m (m ∈)的图像如图所示,则m 的值为( )A .0B .1C .2D .3解析:C [∵y =m 2-4m (m ∈)的图像与坐标轴没有交点, ∴m 2-4m <0,即0<m <4, 又m ∈,∴m =1或2或3 又∵函数的图像关于y 轴对称, ∴m 2-4m 为偶数,因此m =2.]4.已知函数f ()=a 2+(a -3)+1在区间[-1,+∞)上单调递减,则实数a 的取值范围是( ) A .[-3,0) B .(-∞,-3] C .[-2,0]D .[-3,0]解析:D [当a =0时,f ()=-3+1,满足题意;当a >0时,函数f ()在对称轴右侧单调递增,不满足题意;当a <0时,函数f ()的图像的对称轴为=-a -32a,∵函数f ()在区间[-1,+∞)上单调递减,∴-a -32a≤-1,得-3≤a <0.综上可知,实数a 的取值范围是[-3,0].]5.(2018·黔东南州一模)二次函数y =-2-4(>-2)与指数函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12的交点个数有( )A .3个B .2个C .1个D .0个解析:C [因为二次函数y =-2-4=-(+2)2+4(>-2),且=-1时,y =-2-4=3,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12=2,则在坐标系中画出y =-2-4(>-2)与y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12的图像:由图可得,两个函数图像的交点个数是1个.]6.若函数f ()=2-a -a 在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a 等于________.解析:函数f ()=2-a -a 的图像为开口向上的抛物线,∴函数的最大值在区间的端点取得,∵f (0)=-a ,f (2)=4-3a ,∴⎩⎨⎧ -a >4-3a ,-a =1或⎩⎨⎧-a ≤4-3a ,4-3a =1,解得a =1. 答案:17.已知幂函数y =m 2-2m -3(m ∈N +)的图像与轴、y 轴无交点且关于原点对称,则m =________.解析:由题意知m 2-2m -3为奇数且m 2-2m -3<0,由m 2-2m -3<0得-1<m <3,又m ∈N +,故m =1,2.当m =1时,m 2-2m -3=1-2-3=-4(舍去). 当m =2时,m 2-2m -3=22-2×2-3=-3, ∴m =2.。

2023创新设计高考总复习

2023创新设计高考总复习

2023创新设计高考总复习Ⅰ。

听力(共两节,满分30分)第一节(共5小题;每小题1、5分,满分7。

5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1、Why can’t the woman go to the cinema with the manA。

She will have a dicuion about her couin’ education。

B。

She would ak her couin to go there。

C。

She will have a talk with her couin。

2、How much will the man pay for thoe ticketA。

4 dollar。

B。

8 dollar。

C。

12 dollar。

3、What happened to the woman’ brotherA。

He had a car accident。

B。

He cared for hi iter。

C。

He attended the cla。

4、What did Mr。

Black ak the woman to doA。

To type omething important。

B。

To ee an intereting movie。

C。

To end a notice to him。

5、What’ the poible relationhip between the two peakerA。

Paenger and driver。

B。

Huband and wife。

C。

Guide and viitor。

第二节(共15小题;每小题1、5分,满分22、5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。

高2020届高2017级高考数学创新设计总复习课件目录(数学人教A理)

高2020届高2017级高考数学创新设计总复习课件目录(数学人教A理)

目录
CONTENTS
@《创新设计》
第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
第3节 基本不等式及其应用
10
第八章 立体几何与空间向量
目录
CONTENTS
@《创新设计》
11
第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图 第2节 空间几何体的表面积和体积 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 第4节 直线、平面平行的判定及其性质 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质
目录
CONTENTS
@《创新设计》
第6节 空间向量及空间位置关系 第7节 立体几何中的向量方法
第1课时 利用空间向量求空间角 第2课时 利用空间向量解决有关空间角的开放
问题 教材高考·审题答题(四) 立体几何热点问题
12
目录
CONTENTS
@《创新设计》
13
第九章 平面解析几何
第1节 直线的方程 第2节 两直线的位置关系 第3节 圆的方程 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系 第5节 椭圆
第1课时 椭圆及简单几何性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系
目录
CONTENTS
@《创新设计》
14
第6节 双曲线 第7节 抛物线 第8节 曲线与方程 第9节 圆锥曲线的综合问题
第1课时 最值、范围、证明问题 第2课时 定点、定值、探索性问题 教材高考·审题答题(五) 解析几何热点问题
第十章 统计与统计案例 第1节 随机抽样
18
目录
CONTENTS
@《创新设计》
19
第十三章 选考部分 第1节 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系 第2课时 参数方程 第2节 不等式选讲 第1课时 绝对值不等式 第2课时 不等式的证明

2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件1-1

2020年高考红对勾一轮复习理科数学人教版创新方案课件1-1

系列丛书
(1)设集合 A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},
则 M 中元素的个数为( B )
A.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.4
C.5
D.6
解析:a∈{1,2,3},b∈{4,5}, 则 M={5,6,7,8},即 M 中元素的个数为 4,故选 B.
大一轮复习 ·高三数学理科 ·创新方案
9
9
A.2
B.8
C.0
D.0 或98
大一轮复习 ·高三数学理科 ·创新方案
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第一章·第1节
第7页
系列丛书
解析:若集合 A 中只有一个元素,则方程 ax2-3x+2=0 只有一个 实根或有两个相等实根,
当 a=0 时,x=23,符合题意; 当 a≠0 时,由 Δ=(-3)2-8a=0,得 a=98, 所以 a 的取值为 0 或98.
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件 转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数所满足的关 系,常用数轴、图示法来解决这类问题.
提醒:空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优 先考虑空集的情况,否则会造成漏解.
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第一章·第1节
第16页
系列丛书
【条件探究】 若将本典例中的集合 A 改为 A={x|x2-5x-14>0},
其他条件不变,则 m 的取值范围是 (-∞,2]∪[6,+∞) . 解析:A={x|x2-5x-14>0}={x|x<-2 或 x>7}. 当 B=∅时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠∅时,若 B⊆A, 则mm+ +11< ≥27m-1, 或m2m+-1<1≤2m--2.1, 解之得 m≥6. 综上可知,实数 m 的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞).

2020版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第1节

2020版创新设计高考总复习高三理科数学人教A版第一章第1节

第1节集合最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义;3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.知识梳理1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集:若对任意x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.(2)真子集:若A⊆B,且集合B中至少有一个元素不属于集合A,则A B或B A.(3)相等:若A⊆B,且B⊆A,则A=B.(4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算4.(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.(3)A∩(∁U A)=∅,A∪(∁U A)=U,∁U(∁U A)=A.[微点提醒]1.若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有2n-1个.2.子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B),∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B).基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()(3)对于任意两个集合A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()(4)含有n个元素的集合有2n个真子集.()解析(1)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛物线y =x2+1上的点集.(2)错误.当x=1时,不满足集合中元素的互异性.(4)错误.含有n个元素的集合有2n-1个真子集.【参考答案】(1)×(2)×(3)√(4)×2.(必修1P12A5改编)若集合P={x∈N|x≤ 2 019},a=22,则()A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P解析因为a=22不是自然数,而集合P是不大于 2 019的自然数构成的集合,所以a∉P,只有D正确.【参考答案】D3.(必修1P12B1改编)已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合M∪N的子集的个数为________.解析由已知得M∪N={0,1,2,3,4,5},所以M∪N的子集有26=64(个).【参考答案】644.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=()A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}解析法一A={x|x2-x-2>0}={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1或x>2},所以∁R A ={x|-1≤x≤2}.法二因为A={x|x2-x-2>0},所以∁R A={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}.【参考答案】B5.(2019·南昌模拟)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则实数a的取值范围为()A.[-1,1]B.[1,+∞)C.(-∞,-1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)解析∵P={x|-1≤x≤1},且P∪M=P,∴M⊆P,∴a∈P,因此-1≤a≤1.【参考答案】A6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},则A∩B中元素的个数为________.解析集合A表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合,集合B表示直线y=x上所有点的集合,易知直线y=x和圆x2+y2=1相交,且有2个交点,故A∩B中有2个元素.【参考答案】2考点一 集合的基本概念【例1】 (1)(2019·湖北四地七校联考)若集合M ={x ||x |≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1},则( ) A.M =N B.M ⊆N C.M ∩N =∅D.N ⊆M(2)若x ∈A ,则1x ∈A ,就称A 是伙伴关系集合,集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,0,12,2,3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是()A.1B.3C.7D.31解析 (1)易知M ={x |-1≤x ≤1},N ={y |y =x 2,|x |≤1}={y |0≤y ≤1},∴N ⊆M . (2)具有伙伴关系的元素组是-1,12,2,所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,2,⎩⎨⎧⎭⎬⎫-1,12,2. 【参考答案】(1)D (2)B规律方法 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.【训练1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2≤3,x ∈Z ,y ∈Z },则A 中元素的个数为( ) A.9B.8C.5D.4(2)设集合A ={x |(x -a )2<1},且2∈A ,3∉A ,则实数a 的取值范围为________. 解析 (1)由题意知A ={(-1,0),(0,0),(1,0),(0,-1),(0,1),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)},故集合A 中共有9个元素.(2)由题意得⎩⎨⎧(2-a )2<1,(3-a )2≥1,解得⎩⎨⎧1<a <3,a ≤2或a ≥4.所以1<a ≤2.【参考答案】(1)A (2)(1,2]考点二 集合间的基本关系【例2】 (1)已知集合A ={x |y =1-x 2,x ∈R },B ={x |x =m 2,m ∈A },则( ) A.ABB.BAC.A ⊆BD.B =A(2)(2019·郑州调研)已知集合A ={x |x 2-5x -14≤0},集合B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围为________. 解析 (1)易知A ={x |-1≤x ≤1}, 所以B ={x |x =m 2,m ∈A }={x |0≤x ≤1}. 因此BA .(2)A ={x |x 2-5x -14≤0}={x |-2≤x ≤7}. 当B =∅时,有m +1≥2m -1,则m ≤2. 当B ≠∅时,若B ⊆A ,如图.则⎩⎨⎧m +1≥-2,2m -1≤7,m +1<2m -1,解得2<m ≤4.综上,m 的取值范围为(-∞,4]. 【参考答案】(1)B (2)(-∞,4]规律方法 1.若B ⊆A ,应分B =∅和B ≠∅两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时,关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图,化抽象为直观进行求解.【训练2】 (1)(2018·唐山模拟)设集合M ={x |x 2-x >0},N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <1,则( )A.M NB.N MC.M =ND.M ∪N =R(2)若将本例(2)的集合A 改为A ={x |x 2-5x -14>0}.其它条件不变,则m 的取值范围是________.解析 (1)集合M ={x |x 2-x >0}={x |x >1或x <0},N =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <1={x |x >1或x <0},所以M =N .(2)A ={x |x 2-5x -14>0}={x |x <-2或x >7}. 当B =∅时,有m +1≥2m -1,则m ≤2. 当B ≠∅时,若B ⊆A ,则⎩⎨⎧m +1<2m -1,m +1≥7或⎩⎨⎧m +1<2m -1,2m -1≤-2. 解之得m ≥6.综上可知,实数m 的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞). 【参考答案】(1)C (2)(-∞,2]∪[6,+∞) 考点三 集合的运算 多维探究角度1 集合的基本运算【例3-1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知集合A ={x |x <2},B ={x |3-2x >0},则( )A.A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32B.A ∩B =∅C.A ∪B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32D.A ∪B =R(2)(2018·天津卷)设全集为R ,集合A ={x |0<x <2},B ={x |x ≥1},则A ∩(∁R B )=( ) A.{x |0<x ≤1} B.{x |0<x <1} C.{x |1≤x <2}D.{x |0<x <2}解析 (1)因为B ={x |3-2x >0}=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32,A ={x |x <2},所以A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <32,A ∪B ={x |x <2}.(2)因为B ={x |x ≥1},所以∁R B ={x |x <1},因为A ={x |0<x <2},所以A ∩(∁R B )={x |0<x <1}.【参考答案】(1)A (2)B 角度2 抽象集合的运算【例3-2】 设U 为全集,A ,B 是其两个子集,则“存在集合C ,使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析由图可知,若“存在集合C,使得A⊆C,B⊆∁U C”,则一定有“A∩B=∅”;反过来,若“A∩B=∅”,则一定能找到集合C,使A⊆C且B⊆∁U C.【参考答案】C规律方法 1.进行集合运算时,首先看集合能否化简,能化简的先化简,再研究其关系并进行运算.2.注意数形结合思想的应用.(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解;(2)连续型数集的运算,常借助数轴求解,运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.【训练3】(1)(2019·延安模拟)若全集U={-2,-1,0,1,2},A={-2,2},B={x|x2-1=0},则图中阴影部分所表示的集合为()A.{-1,0,1}B.{-1,0}C.{-1,1}D.{0}(2)(2019·新乡模拟)已知集合A={x|x2-x≤0},B={x|a-1≤x<a},若A∩B只有一个元素,则a=()A.0B.1C.2D.1或2解析(1)B={x|x2-1=0}={-1,1},阴影部分所表示的集合为∁U(A∪B).A∪B={-2,-1,1,2},全集U={-2,-1,0,1,2},所以∁U(A∪B)={0}. (2)易知A=[0,1],因为A∩B只有一个元素,所以a-1=1,解得a=2.【参考答案】(1)D(2)C[思维升华]1.在解题时经常用到集合元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕之时,注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[易错防范]1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合),要对集合进行化简.2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.基础巩固题组(建议用时:30分钟)一、选择题1.(2018·全国Ⅲ卷)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}解析由题意知,A={x|x≥1},则A∩B={1,2}.【参考答案】C2.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6解析因为A={1,2,3},B={4,5},又M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},∴M={5,6,7,8},即M中有4个元素.【参考答案】B3.(2019·佛山质检)已知全集U={0,1,2,3,4},若A={0,2,3},B={2,3,4},则(∁U A)∩(∁B)=()UA.∅B.{1}C.{0,2}D.{1,4}解析因为全集U={0,1,2,3,4},A={0,2,3},B={2,3,4},所以∁U A={1,4},∁U B={0,1},因此(∁U A)∩(∁U B)={1}.【参考答案】B4.(2018·石家庄质检)设集合A={x|-1<x≤2},B={x|x<0},则下列结论正确的是()A.(∁R A)∩B={x|x<-1}B.A∩B={x|-1<x<0}C.A∪(∁R B)={x|x≥0}D.A∪B={x|x<0}解析易求∁R A={x|x≤-1或x>2},∁R B={x|x≥0},∴(∁R A)∩B={x|x≤-1},A项不正确.A∩B={x|-1<x<0},B项正确,检验C、D错误.【参考答案】B5.已知集合A={x∈N|x2-2x-8≤0},B={x|2x≥8},则集合A∩B的子集的个数为()A.1B.2C.3D.4解析因为A={x∈N|x2-2x-8≤0}={0,1,2,3,4},B={x|x≥3},所以A∩B={3,4},所以集合A∩B的子集个数为4.【参考答案】D6.(2019·豫北名校联考)已知集合M={x|y=x-1},N={x|y=log2(2-x)},则∁R(M∩N)=()A.[1,2)B.(-∞,1)∪[2,+∞)C.[0,1]D.(-∞,0)∪[2,+∞)解析由题意可得M={x|x≥1},N={x|x<2},∴M∩N={x|1≤x<2},∴∁R(M∩N)={x|x<1或x≥2}.【参考答案】B7.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是()A.0B.1C.2D.3解析 由⎩⎨⎧x +y =1,x -y =3,得⎩⎨⎧x =2,y =-1,∴A ∩B ={(2,-1)}.由M ⊆(A ∩B ),知M =∅或M ={(2,-1)}. 【参考答案】C8.(一题多解)(2018·中原名校联考)已知集合A ={x |y =lg(x -x 2)},B ={x |x 2-cx <0,c >0},若A ⊆B ,则实数c 的取值范围为( ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1)D.(1,+∞)解析 法一 由题意知,A ={x |y =lg(x -x 2)}={x |x -x 2>0}={x |0<x <1},B ={x |x 2-cx <0,c >0}={x |0<x <c }.由A ⊆B ,画出数轴,如图所示,得c ≥1.法二 A ={x |y =lg(x -x 2)={x |x -x 2>0}={x |0<x <1},结合选项,取c =1,得B ={x |0<x <1},则A ⊆B 成立,可排除C 、D ;取c =2,得B ={x |0<x <2},则A ⊆B 成立,排除A.【参考答案】B 二、填空题9.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ={x |(x -2)(x -3)≥0},T ={x |x >0},则(∁R S )∩T =________.解析 易知S ={x |x ≤2或x ≥3}, ∴∁R S ={x |2<x <3}, 因此(∁R S )∩T ={x |2<x <3}. 【参考答案】{x |2<x <3}10.已知集合A ={1,2},B ={a ,a 2+3},若A ∩B ={1},则实数a 的值为________. 解析 由A ∩B ={1}知,1∈B ,又a 2+3≥3,则a =1. 【参考答案】111.(2019·福州质检)已知集合A ={1,3,4,7},B ={x |x =2k +1,k ∈A },则集合A ∪B 中元素的个数为________.解析 ∵A ={1,3,4,7},B ={x |x =2k +1,k ∈A },∴B ={3,7,9,15},∴A ∪B ={1,3,4,7,9,15},∴集合A ∪B 中元素的个数为6.【参考答案】612.集合A ={x |x <0},B ={x |y =lg[x (x +1)]},若A -B ={x |x ∈A ,且x ∉B },则A -B =________.解析 由题意知,B ={x |y =lg[x (x +1)]}={x |x (x +1)>0}={x |x <-1或x >0},则A -B ={x |-1≤x <0}.【参考答案】{x |-1≤x <0}能力提升题组(建议用时:10分钟)13.(2018·河南百校联盟联考)若集合A ={x |y =lg(3x -x 2)},B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y =1+4x +1,x ∈A ,则A ∩(∁R B )等于( )A.(0,2]B.(2,3)C.(3,5)D.(-2,-1) 解析 由3x -x 2>0,得0<x <3,则A =(0,3),∴B =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y =1+4x +1,x ∈A =(2,5), 则∁R B =(-∞,2]∪[5,+∞),故A ∩(∁R B )=(0,2].【参考答案】A14.已知集合A ={x |y =4-x 2},B ={x |a ≤x ≤a +1},若A ∪B =A ,则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,-3]∪[2,+∞)B.[-1,2]C.[-2,1]D.[2,+∞)解析 集合A ={x |y =4-x 2}={x |-2≤x ≤2},因A ∪B =A ,则B ⊆A ,又B ≠∅,所以有⎩⎨⎧a ≥-2,a +1≤2,所以-2≤a ≤1. 【参考答案】C15.(2019·皖南八校联考改编)已知集合A ={(x ,y )|x 2=4y },B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 的真子集个数是________.解析 由⎩⎨⎧x 2=4y ,y =x 得⎩⎨⎧x =0,y =0或⎩⎨⎧x =4,y =4,即A ∩B ={(0,0),(4,4)},∴A ∩B 的真子集个数为22-1=3.【参考答案】316.集合U =R ,A ={x |x 2-x -2<0},B ={x |y =ln(1-x )},则图中阴影部分所表示的集合是________.解析 易知A =(-1,2),B =(-∞,1),∴∁U B =[1,+∞),A ∩(∁U B )=[1,2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )={x |1≤x <2}.【参考答案】[1,2)。

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2.(必修 1P2B1 改编)若集合 P={x∈N|x≤ 2 019},a=2 2,则( )
A.a∈P C.{a}⊆P
B.{a}∈P D.a∉P
解析 因为 a=2 2不是自然数,而集合 P 是不大于 2 019的自然数构成的集合, 所以 a∉P,只有 D 正确. 答案 D 3.(必修 1P13A3 改编)已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则集合 M∪N 的子集的个数为________. 解析 由已知得 M∪N={0,1,2,3,4,5},所以 M∪N 的子集有 26=64(个). 答案 64
4.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合 A={x|x2-x-2>0},则∁RA=( )
A.{x|-1<x<2} B.{x|-1≤x≤2} C.{x|x<-1}∪{x|x>2} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 解析 法一 A={x|x2-x-2>0}={x|(x-2)(x+1)>0}={x|x<-1 或 x>2},所以∁RA ={x|-1≤x≤2}.
上所有点的集合,易知直线 y=x 和圆 x2+y2=1 相交,且有 2 个交点,故 A∩B
中有 2 个元素. 答案 2
考点一 集合的基本概念 【例 1】 (1)(2019·阜新实验中学月考)若集合 M={x||x|≤1},N={y|y=x2,|x|≤1},
则( )
A.M=N
B.M⊆N
C.M∩N=∅
{x|x∈U,且 x∉A}
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A.
(3)A∩(∁UA)=∅,A∪(∁UA)=U,∁U(∁UA)=A. [微点提醒]
1.若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个.
2.子集的传递性:A⊆B,B⊆C⇒A⊆C.
3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. 4. ∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB),∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( ) (2)若{x2,1}={0,1},则 x=0,1.( ) (3)对于任意两个集合 A,B,关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.( ) (4)含有 n 个元素的集合有 2n 个真子集.( ) 解析 (1)错误.{x|y=x2+1}=R,{y|y=x2+1}=[1,+∞),{(x,y)|y=x2+1}是抛 物线 y=x2+1 上的点集. (2)错误.当 x=1 时,不满足集合中元素的互异性. (4)错误.含有 n 个元素的集合有 2n-1 个真子集. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
(3)相等:若 A⊆B,且 B⊆A,则 A=B. (4)空集的性质:∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算
集合的并集
符号表示
A∪B
集合的交集 A∩B
集合的补集 若全集为 U,则集合 A 的补集为∁UA
图形表示
集合表示
{x|x∈A,或 x∈B}
4.集合的运算性质
{x|x∈A,且 x∈B}
解析 ∵P={x|-1≤x≤1},且 P∪M=P,
∴M⊆P,∴a∈P,因此-1≤a≤1.
答案 A 6.(2017·全国Ⅲ卷改编)已知集合 A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且 y=x},
则 A∩B 中元素的个数为________. 解析 集合 A 表示圆心在原点的单位圆上所有点的集合,集合 B 表示直线 y=x
第 1 节 集 合
最新考纲 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系;能用自然语言、图 形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题;2.理解集合之间包含与 相等的含义,能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义; 3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;理解在 给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;能使用韦恩(Venn)图 表达集合间的基本关系及集合的基本运算.
法二 因为 A={x|x2-x-2>0},所以∁RA={x|x2-x-2≤0}={x|-1≤x≤2}. 答案 B 5.(2019·抚顺模拟)已知集合 P={x|x2≤1},M={a}.若 P∪M=P,则实数 a 的取值
范围为( )
A.[-1,1]
B.[1,+∞)
C.(-∞,-1]
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时,要注意检验
集合中的元素是否满足互异性.
【训练 1】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知集合 A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},
则 A 中元素的个数为( )
A.9
B.8
C.5
D.4
(2)设集合 A={x|(x-a)2<1},且 2∈A,3∉A,则实数 a 的取值范围为________.
D.N⊆M
1 (2)若 x∈A,则 ∈A,就称 A 是伙伴关系集合,集合 M=
x
{ } 1
-1,0, ,2,3 的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( ) 2
A.1
B.3
C.7
D.31
解析 (1)易知 M={x|-1≤x≤1},N={y|y=x2,|x|≤1}={y|0≤y≤1},∴N⊆M.
知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法:列举法、描述法、图示法. 2.集合间的基本关系 (1)子集:若对任意 x∈A,都有 x∈B,则 A⊆B 或 B⊇A. (2)真子集:若 A⊆B,且集合 B 中至少有一个元素不属于集合 A,则 AB 或 BA.
1 (2)具有伙伴关系的元素组是-1,,2,所以具有伙伴关系的集合有 3 个:{-1},
2
{ } { } 1
1
,2 , -1, ,2 .
2
2
答案 (1)D (2)B
规律方法 1.研究集合问题时,首先要明确构成集合的元素是什么,即弄清该集
合是数集、点集,还是其他集合;然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么,
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