高数竞赛后期培训习题册答案10(线面积分)

1
（3）记 L ' : y = −π ( x : π → −π ) ，则 原式= ( ∫L + ∫L ' ) 5. 原式= ∫∫ v( x, y )
D
π (π − x )dx ( x + y )dx − ( x − y )dy ( x + y )dx − ( x − y )dy π 3 −∫ = 2π − ∫ = 2π − = π . L' −π x 2 + π 2 x2 + y2 x2 + y 2 2 2
→ → → → → →
于是 rot( a ⋅ r ) b = ( y1 z2 − z1 y2 ) i + ( z1x2 − z2 x1 ) j + ( x1 y2 − x2 y1 ) k = a× b . （2） ∫Γ Ad r = ∫∫ rot( a ⋅ r ) b ⋅ d s = ∫∫ dxdy + dydz + dzdx = ∫∫
Σ
2
+ π ah) = −2π ( a 2 + ah) .
⎪ 2 11. 原式= v ∫ Γ 2 ydx + 3xdy + z dz ， 其中 Γ : ⎨
2π
⎧x + y2 = 9 ，所以， ⎪ ⎩ z=0
2
原式= ∫0 [2 ⋅ 3sin θ ⋅ 3(− sin θ ) + 3 ⋅ 3cosθ ⋅ 3cosθ ] dθ = 9π . 12. div A( M ) =
(
)
18. （1） Q =
∂Q 2 x2 − f ( y) ∂P 2 x 2 + f ( y ) − yf ' ( y ) ∂P ∂Q −x y = ，P= 2 ， ， = ， = . 所 2 2 ∂y ∂x 2 x + f ( y) 2 x + f ( y) ∂x [2 x + f ( y )] ∂y [2 x 2 + f ( y )]2
( x0 , y0 , z0 ) → M
lim
∂P ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂R + + = + + ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
= div A( M ) .
M
→
13. y = a sin x ， y = a cos x ， 代入，得：
'
∫L [1 + (a sin x) ]dx + (2 x + a sin x) ⋅ a cos xdx = ∫0 [1 + a
∂u ∂v ∂u ∂v + u ( x, y ) − (v( x, y ) + u ( x, y ) )dσ = ∫ v( x, y )u ( x, y )dx + v( x, y )u ( x, y )dy L ∂x ∂x ∂y ∂y
2π
= ∫L ydx + ydy = ∫0 (− sin 2 θ + sin θ cosθ )dθ = −π . 6. Q = −
3 2 2
，P = −
2
kx
(x + y )
3 2 2
，由于
3kxy
5
，因此与路
(x + y2 )2
2
径无关. 8. ∑ : z = a + a 2 − x 2 ,( x, y ) ∈ D ， 其 中 D 由 曲 线 2 x 2 + y 2 = 2a x 2 + y 2 围 成 ， 可 表 示 为 − a ≤ x ≤ a ，
∂Q ∂P x2 2 x = ，可得 ( x + y 2 ) 2 ， P = ( x 2 + y 2 ) 2 ，则 2 y y ∂x ∂y
−
−1 −1 2x 2 x3 x ( x + y 2 ) 2 − λ 3 ( x 2 + y 2 ) 2 = − 2 ( x 2 + y 2 ) 2 + λ x( x 2 + y 2 ) 2 2 y y y
Σ+Σ1 +Σ 2 +Σ3
∫∫
− ∫∫ − ∫∫ − ∫∫ = 3∫∫∫ dv =
Σ1 Σ2 Σ3
Ω
a 2b 2 c 2 ξ 2 η2 ς 2 a 2b 2 c 2 . 令L= + λ ( 2 + 2 + 2 − 1) ， 2ξης a b c 2ξης
⎧ a 2b 2 c 2 2 ⎪ Lξ = − 2 + 2 ξλ = 0 2ξ ης a ⎪ ⎪ a 2b 2 c 2 2 ⎪ Lη = − + ηλ = 0 2ξη 2ς b 2 ⎨ ⎪ 2 2 2 ⎪ L = − a b c + 2 ςλ = 0 ς ⎪ 2ξης 2 c 2 ⎪ ⎩Iλ = 0
D
→ → → → → →
→ → →
→
→
→
→
→
3 ds = 3 ⋅ π ⋅ 12 = 3π . 3
17. 令 Σ1 : z = 0, Σ 2 : z = 2 − x − y ，分别取下侧和上侧，则
∫∫
Σ
=
Σ+Σ1 +Σ 2
∫∫
7 3 − ∫∫ − ∫∫ = 2∫∫∫ ( x + y + z )dV − 0 − ∫∫ x 2 + y 2 + (2 − x − y ) 2 dxdy = π − 5π = − π . 2 2 Σ1 Σ2 Ω D
λ
λ
λ
λ
λ
λ
所以有 λ = −1 . 又 du =
x y x2 + y2
dx −
x2 y2 x2 + y2
ky
dy ，所以 u =
x2 + y 2 . y ∂Q ∂P = = ∂x ∂y
7.
∫ F ⋅ d s = ∫ − r 3 dx − r 3 dy ，令 Q = −
→
→
来自百度文库
kx
ky
(x + y )
2
ξ
x y
4 3
η
=
1
z
ς
= t ，所以 x = ξ t ; y = η t ; z = ς t .
2 2 2 1 2
∫L yzdx + zxdy + xydz = ∫0ης t ξ dt + ξς t η dt + ηξ t ς dt = ∫0 3ξης t dt = ηξς .
对
x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 1 ，当且仅当 + + = 1 = = = 时取最大值，且 x, y , z 均为正，此时有： a 2 b2 c2 a 2 b2 c2 3
3
π
3
sin 3 x + 2ax cos x + a 2 sin x cos x ]dx
= ∫ a 3 (cos 2 x − 1)d(cos x ) + ∫ a 2 sin xd(sin x) + ∫ 2axd(sin x) + π =
0 0 0
π
π
π
4 3 a − 4a + π . 3
由于 f (a) = a3 − 4a ， f '(a) = 4a 2 − 4 = 0 ，所以 a = 1 时最小，此时 y = sin x . 14. W = ∫L yzdx + zxdy + xydz ，直线 =
ε
1 ydx − xdy ( ydx − xdy ) − ∫ = −2π . Γε x2 + y 2 ε2
⎧ z 2 = 3x 2 + 3 y 2 3x 3y 1 ， zy = − 。 ⎪ ，得： 8( x − )2 + 9 y 2 = 18 ，则 ⎨ 2 z z x 3 z 4 0 − + = ⎪ ⎩
2
以 2 f ( y ) = yf ' ( y ) . 又 f (1) = 1 ，所以 f ( y ) = y 2 ，所以 f ( x) = x 2 . （2）取 Γε : x 2 + y 2 = ε 2 （顺时针） ，则原式 = ∫Γ+Γ 19. （1） z 2 = 3x 2 + 3 y 2 ， z x = −
1
班级：
学号：
姓名：
日期：
月
号
− 2(a 2 − x 2 ) + 2a a 2 − x 2 ≤ y ≤ 2(a 2 − x 2 ) + 2a a 2 − x 2 ，同时 dS = 1 +
x2 = a − x2
2
a a2 − x2
，于是
∫∫
∑
2 2 aa− a − x x2 a − a2 − x2 dS = ∫∫ ( a − a 2 − x 2 )dS = a ∫∫ dxdy = 4 2a ∫ (a 2 − x 2 ) + a a 2 − x 2 dx 0 2 2 2 2 z a − x a − x ∑ D 1 1− t 2 1 2 2 3 t dt = 4 2a 3 ∫ t (1 − t )dt = 4 2a 3 ∫ 21 πa . t +t − s dt = 0 t 0 2 − 4 2 1− t 2 1 1
Σ
x x 2 + y 2 + ( z − 1) 2
= x ， cos β = y ， cos γ = z − 1 . 所以，
1 4 1 cz 2 )]dV = π (a + b + c) − c ∫∫∫ dV . dxdy = ∫∫∫ [a + b + c(1 − 2 ( z 1) 3 ( z 1) 2 − − z −1 Ω Ω
0 0
2π
h
ε
（2）原式= ∫∫ ( x − y )dxdy = ∫π dθ ∫0
Dxy
2π
2 r cos θ
( R cosθ − R sin θ )dR = π r 3 .
10. 从 Ox 轴正向看去，此椭圆取逆时针方向.
v ∫ Γ ( y − z )dx + ( z − x)dy + ( x − y)dz = −2∫∫ (dydz + dzdx + dxdy) = −2(π a
A = ∫∫ 1 +
D
9 x2 9 y 2 3 + 2 dxdy = 2∫∫ dxdy = 2 ⋅ π ⋅ ⋅ 2 = 3 2π . 2 z2 z D
8 （2） r = . 3 − cos 2θ
20. Σ 的法向量 (2 x, 2 y, 2 z - 2) ， cos α = 原式 = ∫∫ axdydz + bydzdx +
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号
第十章
曲线积分和曲面积分
1. 判断题 （1）F （2）T （3）T （4）T （5）T （6）F （7）T （8）T （9）F （10）T 2. 选择题 （1）D （2）D （3）A （4）D （5）CD （6）C （7）D （8）B （9）BCD （10）D 3. 填空题 （1）
→
⇒
⎧ ⎪ξ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎨η = ⎪ ⎪ ⎪ς = ⎪ ⎩
→
3 a 3 3 3 b ，故 I min = 3abc . 2 3 3 c 3
16. （1）设 a = ( x1 , y1 , z1 ) ， b = ( x2 , y2 , z2 ) ，则
( a ⋅ r ) b = ( x1 x + y1 y + z1 z ) x2 i + ( x1 x + y1 y + z1 z ) y2 j + ( x1 x + y1 y + z1 z ) z2 k .
(at = a 2 − x 2 ) = 4 2a 3 ∫
9. （1）∫∫ = ∫∫∫ 0dv = 0 ， ∫∫ = ∫∫ ( x − y)dxdy =
ε + ε1
Ω
ε1
ε1
x 2 + y 2 ≤ h2
∫∫
( x − y )dxdy = ∫ dθ ∫ r 2 (cosθ − sin θ )dr = 0 ， 所以 ∫∫ = 0 .
→
∂P ∂Q ∂R ，则 + + ∂x ∂y ∂z M
Ω→ M
lim
1 → → 1 ∂P ∂Q ∂R 1 ∂P ∂Q ∂R A ⋅ n ds = lim ∫∫∫ ( + + ) dv = lim ⋅ V ⋅ ( + + )( x , y , z ) ∫∫ M Ω→ Ω→ M V Σ V Ω ∂x ∂y ∂z V ∂x ∂y ∂z 0 0 0 =
4 4 5+2，− . 3 3
（2）0.
G
（3）3.
G
（4）
G
x− y . ( x + y)2
（5）0.
（6）13.
（7）向量函数 F ( x, y, z ) = P ( x, y, z ) i + Q ( x, y, z ) j + R ( x, y, z ) k 在 Ω 上有连续的一阶偏导数. （8）0， π a3 . （9）2， −i − 2k . 4. （1）原式 = ∫L （2）原式=
1 R2
4 3
G
G
（10）
1 3 . （11） 2π R 2 . （12） π 2a 2 . 2 2 4 x +y +z
2
( x + y )dx − ( x − y )dy 2 = − 2 ∫∫ dxdy = −2π . R2 R D
∫∫ −2dxdy − r 2 ∫∫ −2dxdy = 0 .
D D
x=
3 3 3 3 3 3 3 abc . a; y = b; z = c ，即： ξ = a; η = b; ς = c ， Wmax = 9 3 3 3 3 3 3
2
班级：
学号：
姓名：
日期：
月
号
15. n = ( 所以 I =
→
2 2 2 2 2 2 补平面 Σ1 : y = 0 ，Σ 2 : x = 0 ，Σ3 : z = 0 . x, y, z ) ，Σ : 2 ξ ( x − ξ ) + 2 η ( y − η ) + 2 ς ( z − ς ) = 0 ， a 2 b2 c2 a b c