特征值问题变分原理

因此有
Ay, y wy, y
从而
a
i 0

2 i i 2 i
a
i 0

即
Ay, y 0 d i 0 wy, y
a a
i 0 2 i

2 i i
0
i st.
Ay, y Ayi , yi , y 0 wy , y wyi , yi
因此`
(i j ) wyi , y j 0
当
i j i j
时，要求上式成立，只有
wyi , y j 0
当 时，若
yi , y j
是 A 的两个线性无关的特征向量，选择
j y j wyi , y j y j / wyi , yi y
2 nx n 2 2 y n ( x) sin 2 l l l ，特征函数为 Ay , y y, y 2a1 , a1 x( x l ) 1/ 3a12l 3 10 st. a1 x(l x), a1 x(l x) 1/ 30a12l 5 l 2
y ( x0 ) y ( x1 ) 0 。 ( py ' )( x0 ) ( py ' )( x1 ) 0 。 y ( x0 ) 0 或 y ( x1 ) 0 ， ( py ' )( x0 ) 0 或 ( py ' )( x1 ) 0 。
x1
(3) 一端固定、 另一端自由∶
d 0 d
从而得到
dJ dI 0 d d
也就是
Kξ Gξ 0
这是一个(广义)代数特征值问题，可以通过迭代方法，SVD 方法或者其他数值方法来求解。 例 8.1 y" y 0, y (0) y (l ) 0 解： Ay y"

其特征值为 Rayleigh 商为
(8.2.1)
st.
y0
Ay, y wy, y
(8.2.2)
这里 st.() 表示泛函取驻值，此时得到的 y ( x) 为对应特征值 的特征函数。当 p ( x) 0 时， 所有特征值
i 0 ，此时取最小特征值 1 ,则(8.2.2) 变成 1 min
2 （ 1）对于任意 u 0 ， V (u0 ) 0 ，则 u u0 必定是稳定的平衡点； 2 （ 2）至少存在一个非零的 u ，使得 V (u0 ) 0 ，则 u u0 必定是不稳定平衡点； 2 （ 3）对于任意 u ， V (u0 ) 0 ，并且至少有一个非零的 u 使得不等式中的等号成立，
由算子 A 的对称性
i j
Ayi , y j yi , Ay j Ay j , yi
另一方面，由于
yi , y j
是算子 A 的特征向量，所以有
Ayi , y j i wyi , y j i wyi , y j Ay j , yi j wy j , yi j wy j , yi j wyi , y j

其中
J Ay, y A , K I wy, y w , G
K [ K ij ], K ij Ai , j G [Gij ], Gij wi , j
而且矩阵 K 和 G 是对称的。要使得上面的 取到最小值，那么必定要求满足
这里，严格的证明我们不去讨论。
8.2 Sturm-Liouville 特征值问题的 Rayleigh 原理
根据上面 Sturm-Liouville 方程的算子 A 及内积定义，对于任意的函数 y ( x) ,定义
Ay, y wy, y
我们称该泛函为算子 A 的 Rayleigh 商。 定理 8.1 上述定义的 Rayleigh 商与算子 A 的特征值 有
i 1, 2,
当 p ( x) 0 时，式(8.2.3) 可由性质(2)得到。 定理 8.1 称为 Sturm-Liouville 特征值问题的 Rayleigh 原理。
8.3 特征值问题的 Rayleigh-Ritz 法
根据 Rayleigh 原理，Ritz 提出了求解 Sturm-Liouville 微分方程特征值的近似计算方法: 首先把特征值问题转化为变分问题(8.2.2)，然后再用数值方法来求解该变分问题。令
(8.1.1)
其中 p ( x), q ( x) 都是已知的函数， p ( x)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0 ，那么方程
Ay ( x) w( x) y ( x)
称为 Sturm-Liouville 方程，其中权函数 w( x) 0 ， 当且仅当在
(8.1.2)
( x0 , x1 )
的一个零测度集上等
号成立。当给定了齐次边界条件后，只有某一些特定的 才能使得该方程有非零解, 使得该 方程有非零解的 称为特征值，相应的解 y ( x) 称为特征函数。常见的边界条件为 (1) 两端固定∶ (2) 两端自由∶
第 8 章 特征值问题的变分原理
8.1 Sturm-Liouville 微分方程与特征值
在求解微分方程、 结构的稳定性或者求结构的固有频率时， 我们经常会遇到下面的微分 算子 A
Ay ( x)
d dy ( x) [ p( x) ] q ( x) y ( x), dx dx
x ( x0 , x1 )
(8.1.4)
Ay ( x) w( x) y ( x)
将(8.1.4) 乘 y ( x) 、(8.1.5) 乘 y ( x) 相减并积分可得
(8.1.5)
( ) w( x) y ( x) y ( x)dx 0
x0
x1
2. 特征函数正交性
wyi , y j 0,
它和真实的 1 几乎相等。
8.4 Sturm-Liouville 四阶微分方程的特征值问题
Sturm-Liouville 四阶微分算子为
Ay ( x)
特征方程为
d2 d 2 y ( x) d dy ( x) [ s ( x ) ] [ p( x) ] [q ( x) y ( x)] 2 2 dx dx dx dx
wyi , y j ij

Ay, y A ai yi ( x), ai yi ( x) ai2i
i 0 i 0 i 0
wy, y w ai yi ( x), ai yi ( x) ai2
i 0 i 0 i 0
x1
(2)
与该方程特征值问题等价的变分问题为
J st. st.
y0
x0
( sy "2 py '2 qy 2 )dx
I
y0

x1
x0
ry 2dx
8.5 结构的稳定性
结构的平衡状态可以分为三类: 稳定平衡、不稳定平衡、随遇平衡。在工程中经常会遇 到结构失稳问题： (1) 细长杆受压， 当压力从零开始增加时，杆件保持为直线，当压力到达一定值的时候， 杆件被压弯，产生较大的变形。 (2) 板条或者工字梁在最大抗弯刚度平面内弯曲，当载荷到达一定值时，会发生侧向弯 曲与扭转。 (3) 圆柱壳的失稳。 定义 8.1（稳定性）设结构处于某一平衡状态，受到任一微小扰动后而稍微离开原平 衡位置。当扰动消失后，如果结构能回到原来位置，则称此平衡状态为 稳定平衡状态 ； 如果结构可能继续偏离，不能回到原来位置，则称此平衡状态为 不稳定平衡状态 。介于 稳定平衡和不稳定平衡之间的过渡平衡，称为 临界平衡状态 ，简称 临界状态 。 注：这里我们用临界平衡替代前述的随遇平衡。这是两个不同的概念，因为临界平 衡可能是随遇平衡，也可能是稳定平衡或不稳定平衡，它在工程上更有用。 定理 8.2 设 V V (u) 为系统的总势能， u 是结构的位移函数，则其平衡点 u u0 必定 满足 V (u0 ) 0 ，并且

如果取近似函数为 y ( x) a1 x(l x) ，那么 Ay 2a1 ，代入 的表达式中得到
st.
它比真实的 1 稍大。
如果取近似函数为 y ( x) a1 x(l x) a 2 x (l x) ，代入 的表达式中得到
2 2

9.87 l2 ，
代替
yj
，满足正交性要求
j 0 wyi , y
。对于有多个线性无关特征向量的重特征值问题，
也可类似处理(Schmit 正交化)。 这样，我们总是可以选择合适的特征函数，使得
1 i j wyi , y j ij 0 i j
以
(8.1.6)
也就是说可以把特征函数单位正交化。 否则， 我们只要把得到的特征函数作下面的变换就可
O
（a）
C
（b） 图 8.1 例 8.2 图

解 ：当 AB 为竖直时，系统能平衡，这是原始的平衡形式。现在考虑倾斜位置是否 还存在新的平衡状态。为此，写出平衡条件（水平方向）
y0
Ay, y wy, y
(8.2.3)
证明: 对任何一个函数 y ( x) ，按 Sturm-Liouville 方程的特征函数进行富里叶展开
y ( x) ai y i ( x)
i 0

其中
ai w( x) y ( x), yi ( x)
那么由于
Ayi , y j i ij ,
(8.4.1)
Ay ( x) r ( x) y ( x)
这里 ( x) 0 。边界条件为每端
(8.4.2)
( x x1 , x2 ) 各取下列两个边条件
(1)
y0 dy 0 dx
d d2 y dy (s 2 ) p 0 dx 或者 dx dx ； d2 y 0 2 或者 dx 。
y ( x) T
[1 ( x), 2 ( x), ... , n ( x)]T [1 , 2 , ..., n ]T
其中
i 是待定的常数， i 是选定的一系列基函数，它们满足指定的边界条件。在实际应用
中最好从一组完备的函数系中来选取基试算函数，如幂函数，三角函数等。将 y ( x) 的表达 式代入 的定义中，可以得到
i y
yi wyi , yi
3. 特征函数的富里叶展开 对于任意一个连续函数 f ( x) ，均可以用 Sturm-Liouville 算子的特征函数进行富里叶展 开
f ( x ) ai y i ( x )
i 0

(8.1.7)
其中
ai
f ( x) w( x), yi ( x) f ( x) w( x), yi ( x) w( x) yi , yi ( x)
Ayi ( x) i w( x) yi ( x)
(8.1.3)
就是说
那么，对于特征值和特征函数，我们可以得到以下一些性质： 1. 所有特征值是实的 若 , y ( x) 是一组特征值和特征函数，即
Ay ( x) w( x) y ( x)
则 , y ( x) 也是一组特征值和特征函数，即
则 u u0 必定是系统的临界平衡点。 定理 8.3 平衡点稳定的充要条件是使得总势能取严格极小值。 例 8.2 图 8.1（ a）为一刚性压杆（不变形），承受中心压力为 F ，底端 A 为铰支座，
顶端 B 有弹簧系数为 k 的水平弹簧支承。
F k
B
l

A
F B
I(不稳定)
A (kl )
II(不稳定)
我们可以在复函数空间中定义一个内积运算为
y1 ( x), y2 ( x) y1 ( x) y2 ( x)dx
x0
容易证明， (
Ay1 ( x), y2 ( x) y1 ( x), Ay2 ( x) ， , , 即 A 是对称(自伴)算子。 如果记 1 2
1 2 ... n ... )为 Sturm-Liouville 方程的特征值 y1, y 2 ,... y n ... 是相应的特征函数。也