无穷级数求和的几种常见方法

第 １９ 期
非限制性定语从句翻译初探
陈久姝 （ 辽宁工程技术大学职业技术学院 辽宁 阜新
１２３０００ ）
摘 要】 非限制性定语从句中从句和主句之间逻辑上存在着明显的状语关系 ， 说明时间、 原因、 条件、 目的、 结果或让步等。 在翻译时 ， 只有 【 根据它们在意义上所起的语法作用以及汉语的表达习惯来进行翻译 ， 才能使译文通顺易懂 ， 更加符合原文的内容。 关键词】 非限制性定语从句 ； 翻译 ； 主句 ； 从句 【
∞
令 Ｓ１（ｘ）＝
ｘ ２
ｎ・ ｘｎ－ １＝ ! ｎ ｎ＝１ ２
∞
＝ｘ［ｘ（ ! １ ｎ＝０ ｎ！ １ ! ｎ！
ｎ＝０ ∞
%&
ｘ ２
ｎ
） ＇ ］＇ ＝ｘ［ｘ（ｅ － １）＇ ］＇ ＝ １ ｘ（ｘ＋２）ｅ ， ４
∞
ｘ ２
＝
ｘ ＝ｅ % ２ &
ｎ
!" % $ % $% $ !% $
ｘ ｎ＝１ ０
∞
∞
＇
ｎ ｘｎ－ １ｄｘ ２ｎ
＝ｘ［! ｎｎ ｘｎ］＇ ＝ｘ［ｘ! ｎｎ ｘｎ－ １］＇ ｎ＝１ ２ ｎ！ ｎ＝１ ２ ｎ！
∞
＋１ ＝ ｎ ＋ １ ! ２ｎ！ !２ ! ２ （ｎ－ （ｎ－ １）！ １）！
ｎ＝１ ｎ ｎ＝１ ｎ ｎ＝１ ｎ
∞
∞
∞
＝ｘ［ｘ（ ! （
ｎ＝１ ∞
"
０
ｘ
ｎ ｘｎ－ １ｄｘ） ＇ ］＇ ＝ｘ［ｘ（ ｘｎ ）＇ ］＇ ! ｎ ２ｎｎ！ ｎ＝０ ２ ｎ！
科技信息
○ 职校论坛 ○
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００８ 年
第 １９ 期
无穷级数求和的几种常见方法
吴 媚 （ 南京化工职业技术学院 江苏 南京
２０１１４８ ）
摘 要】 本文将常见的几种无穷级数的求和方法加以归纳 ， 并提出了详细的解题步骤 ， 这样在解题时可做到有的放矢 ， 并根据不同的题型 【 选择不同的方法 ， 降低了解题的困难。同时为了便于理解 ， 选取了几个具有典型的例子 ， 更好的掌握求和的方法。 关键词】 幂级数 ； 数项级数 ； 求和 【
∞ ｘ ｘ ｘ 级数是高等数学的一个重要组成部分 ， 其理论是在生产实践和科 ｎ２＋１ ｘｎ＝ １ ｘ（ｘ＋２）ｅ ２ ＋ｅ ２ ＝ １ ｘ２＋ ｘ ＋１ ｅ ２ 。 故 ｎ 学实验推动下逐步形成和发展起来的。 中国魏晋时期杰出的数学家刘 ４ ２ ４ ｎ＝０ ２ ｎ！ 割圆术” 徽于公元 ２６３ 年创立了“ ， 其要旨是用圆内接正多边形去逐步 二、 数项级数求和 逼近圆 ， 从而求得圆的面积。这种“ 割圆术” 就已建立了级数的思想方 １．利用级数和的定义求和 拆项法 ： 即把通项拆成两项差的形式 ， 而今 ， 级数的理论已发展的相当丰富和 在求前 项和时 ， 除首尾两项外其余各项均对消掉。 法 ， 即无限多个数的累加问题。 ｎ 完整 ， 在工程实践中有着广泛的应用 ， 可用来表示函数、 研究函数的性 ∞ １ 例 ３： 质 ， 也是其进行数值计算的一种工具。 ｎ＝０ (ｎ（ｎ＋１） （ ( ｎ ＋ (ｎ＋１ ） 由级数的定义知级数是无穷多项累加的结果 ， 不能直接按照通常 １ 解 ： ｕｎ＝ １ － 有限项加法规律把它们逐项相加 ， 通常课本上提供的方法是先作级数 (ｎ (ｎ＋１ 的前 ｎ 项和 ， 然后利用极限的方法来解决这个无穷多项累加的问题。 １ － １ １ － １ １ 这个方法很常规 ， 可 以 解 决 一 些 比 较 简 单 的 级 数 的 求 和 ， 但 是 对 于 实 Ｓｎ ＝ １－ ＋ ＋ ＋…＋ ２ ３ ２ ３ ( ( ( ( (４ 际工程应用中能 见 到 的 级 数 来 说 ， 这 个 方 法 还 是 太 简 单 了 ， 很 多 时 候 １ － １ 得不到 ， 本文就将提出几种更有效的求级数和的方法。
% (ｎ
(ｎ＋１ １ ＝１－ →１，（ｎ→∞） (ｎ＋１
$
∞
故
!
ｎ＝０ ｎ
１ ＝１ (ｎ（ｎ＋１） （ ( ｎ ＋ (ｎ＋１ ）
∞ ｘ→１－ ｎ＝０ ｎ ｎ ∞ ｘ→１－ ｎ＝０ ｎ ｎ
２． 阿贝尔法 （ 构造幂级数法 ）
∞
!ａ ＝ｌｉｍ !ａ ｘ ， 其中幂级数 ｌｉｍ !ａ ｘ
ｎ＝０ ∞
可通过逐项微分或积分
∞
１ ! ２ｎ－ ２ｎ
ｎ＝１ ｘ
∞
ｘ２ｎ－ ２， 其收敛域为 （－ ( ２ ， ( ２ ）
＇ ∞ ＇
Ｓ（ｘ）＝
ｘ・ ｓｉｎ ｘ & ＝ １ （ｓｉｎ ｘ＋ｘ ｃｏｓ ｘ） % ２ ２ ＋１ ! ２ｎ＋ｎ！
２ ｎ＝０ ｎ ∞
例 ２ ： 求级数
ｘｎ 的和函数 ：
（ 解题提示 ： 系数为若干项代数和的幂级数 ， 求和函数时应先将级 数写成各个幂级 数 的 代 数 和 ， 然 后 分 别 求 出 它 们 的 和 函 数 ， 最 后 对 和 函数求代数和 ， 即得所求级数的和函数 ） 。 解 ： 易求出其收敛域为 （－ ∞， ＋∞）。 令 Ｓ（ ｘ） ＝
ｎ＋１ !（－ １） （２ｎ＋１）！
ｎ ｎ＝０
∞
求得和函数 Ｓ（ｘ）， 因此
ｘ２ｎ＋１ 的和函数。
例 ４ ： 求幂级数
＇
!ａ ＝ｌｉｍ Ｓ（ｘ）
ｎ ｎ＝０ ｘ→１－
解 ： 可求出收敛域为 （－ ∞， ＋∞）， 令 Ｓ（ ｘ） ＝
１ ! ２ｎ－ ２ｎ
ｎ＝１
∞
的和。
ｎ＋１ !（－ １） （２ｎ＋１）！
ｎ ｎ＝０
公园里散步时 ， 我碰巧遇见了她。
２ ） Ｔｈｅ ｔｈｉｅｆ， ｗｈｏ ｗａｓ ａｂｏｕｔ ｔｏ ｅｓｃａｐｅ， ｗａｓ ｃａｕｇｈｔ ｂｙ ｔｈｅ ｐｏｌｉｃｅｍｅｎ． 小偷正要逃跑 ， 被警察抓住了。
１ ） Ｉ ｋｎｏｃｋｅｄ ａｔ ｔｈｅ ｄｏｏｒ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｄ ｈｏｕｓｅ， ｗｈｉｃｈ ｏｐｅｎｅｄ ｒｉｇｈｔ ａｗａｙ． 我敲了敲红色房子的门 ， 结果那门立刻开了。 ２ ） Ｔｏｍ ｈａｓ ｍａｄｅ ｇｒｅａｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓ， ｗｈｉｃｈ ｄｅｌｉｇｈｔｅｄ ｕｓ． 汤 姆 取 得 了 很 大进步 ， 这使我们感到很高兴。
∞ ２
１ ｘ２ ＝ １ （ ｘ ）ｎ ＝ ｘ ・２－ ｘ２ ｘ ｎ＝１ ２ ２ ＝ ｘ ＋２ （ ２－ ｘ２） ２ ２ ｌｉｍ Ｓ（ｘ）＝ｌｉｍ ｘ ＋２ ＝３ ２ ２ ｘ→１ ｘ→１ （ ２－ ｘ ）
－
!" ! % $% $ % ! $% $ % $
ｎ＝１ ０
２ｎ－ １ ｘ２ｎ－ ２ｄｘ ＝ ２ｎ
＇
ｘ ２
ｎ＝１
ｘ ２
ｎ
＇
＝
ｘ ２－ ｘ
＝
２ （２－ ｘ）２
，
ｎ ＝ｌｉｍ Ｓ （ｘ）＝ｌｉｍ ２ ＝２ ∴ ! １ ｎ ２ ｘ→１ ｘ→１ （２－ ｘ） ｎ＝１ ２
－ －
（ 下转第 ５８９ 页 ）
５９６
科技信息
○ 职校论坛 ○
Biblioteka Baidu
ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ
２００８ 年
地把黑人当作奴隶。
１． 可译成表示时间的分句
当从句所表示的动作与主句所表示的动作几乎同时发生时 ， 其含 义相当于由连词 ｗｈｅｎ 、 ｗｈｉｌｅ 或 ａｓ 等引导的时间状语从句 ， 修饰主句 中的谓语动词。 这类定语从句可以处理成时间状语从句 ， 在翻译时 ， 往 往需要加上相应的连词“ 当…时候” 。例如 ：
２ ） Ｈｅ ｗｉｓｈｅｓ ｔｏ ｗｒｉｔｅ ａｎ ａｒｔｉｃｌｅ， ｗｈｉｃｈ ｗｉｌｌ ａｔｔｒａｃｔ ｐｕｂｌｉｃ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ ｔｏ ｈｔ ａｉｒ ｐｏｌｌｕｔｉｏｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ｃｉｔｙ． 他想写 一 篇 文 章 ， 用 来 引 起 公 众 对 这 座 城
市空气污染的关注。
５． 译成表示结果的分句
当从句所表示的是主句中某一动作或状态所产生的结果时 ， 其意 义相当于 ｓｏ ｔｈａｔ 引导的结果状态从句 ， 修饰主句的谓语动词。在翻译 时 ， 根据其意义及汉语的表达习惯 ， 可加上适当的连词。例如 ：
１ ） Ｉ ｃａｍｅ ａｃｒｏｓｓ ｏｕｒ Ｅｎｇｌｉｓｈ ｔｅａｃｈｅｒ ， Ｍｉｓｓ Ｈｏｗｅ ， ｗｈｏ ｗａｓ ｔａｋｉｎｇ ａ ｗａｌｋ ｉｎ ｔｈｅ ｐａｒｋ ｙｅｓｔｅｒｄａｙ ａｆｔｅｒｎｏｏｎ． 昨天下午 ， 我们英语老师豪小姐在
的和。
ｎ ! ２ ＋ｎ！
ｎ＝０ ｎ
ｎ２ ｘｎ－ １＝［ｘ （ ｘｎ＝ｘ! ｎ ! ｎ＝１ ２ ｎ！ ｎ＝１
∞ ∞
" ２ｎｎ！
２ ０ ｎ
ｘ
（ 解 题 提 示 ： 凡 是 通 项 ｕｎ 可 拆 成 代 数 和 形 式 的 ， 在 求 和 之 前 一 定 要拆开 ， 然后分别求各级数的和 ， 最后求它们的代数和 ） 。 解：
英语中定语从句分为限制性定语从句和非限制性定语从句两种 ， 各种定语从句都有其特定的翻译方法。 笔者现就非限制性定语从句的 译法进行初步的探讨 ， 供读者参考。 在英 语 中 ， 非 限 制 性 定 语 从 句 除 了 起 定 语 的 作 用 外 ， 有 时 还 起 着 各种状语的作用 ， 即从句和主句之间逻辑上存在着明显的状语关系 ， 说明时间、 原因、 条件、 目的、 结果或让步等。在翻译时 ， 就要根据它们 在意义上所起的语法作用以及汉语的表达习惯来进行翻译。
２． 译成表示原因的分句
６． 还可译成表示让步的分句
当从句用来表示主句中某一动作或状态的原因时 ， 其含义相当于 当从句所表示的是主句中某一动作或状态语从句中的某一动作 由 ｂｅｃａｕｓｅ 、 ａｓ 等引导的原因状语从句 ， 用来修饰主句的谓语动词。这 或状态在逻辑上有一定矛盾 ， 但并不影响主句的事实或语气的突然转 因为” 由 于 ” 折时 ， 其含义相当于由连词 ｔｈｏｕｇｈ， ａｌｔｈｏｕｇｈ 引导的让步状语从句。在 类从句可以处理成 原 因 状 语 从 句 ， 在 翻 译 时 需 要 加 上 “ 、 “ 等连词。例如 ： 翻译时， 需要加上“ 但是” 然而” 却” 等连词， 使译文流畅， 语气连 、 “ 、 “ １ ） Ｔｈｅ ｓｏｌｄｉｅｒｓ， ｗｈｏ ｍａｙ ｈａｖｅ ｆｅｌｔ ｓｏｒｒｙ ｆｏｒ ｈｅ ｂｏｙ， ｈａｄ ｈｉｍ ｓｔａｎｄ 贯。例如 ： ｗｉｔｈ ｈｉｓ ｂａｃｋ ｔｏ ｈｉｓ ｆａｔｈｅｒ． 那些士兵们 ， 也许是由于怜悯这个男孩吧 ， １ ） Ｃａｒｌ， ｗｈｏｓｅ ｐａｒｅｎｔｓ ｗｅｒｅ ｓｌａｖｅｓ， ｗａｓ ａｂｌｅ ｔｏ ｇｅｔ ａ ｃｏｌｌｅｇｅ 让他背对着他父亲站着。 ｅｄｕｃａｔｉｏｎ． 尽管卡尔的父母是奴隶 ， 他却能受到大学教育。 ２ ） Ｅｉｎｓｔｅｉｎ ， ｗｈｏ ｗｏｒｋｅｄ ｏｕｔ ｔｈｅ ｆａｍｏｕｓ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｒｅｌａｔｉｖｉｔｙ， ｗｏｎ ｔｈｅ ２ ） Ｈｅ ｌｉｋｅｓ Ｍｉｓｓ Ｎａｎｃｙ， ｗｈｏ ｄｅｓｐｉｓｅｓ ｈｉｍ． 他喜欢南茜女士 ， 她 却 爱因斯坦由于提出了著名的“ 相对论” ， 因此 ， 他于 讨厌他。 Ｎｏｂｅｌ Ｐｒｉｚｅ ｉｎ １９２１ 。 可见 ， 在翻译这类定语从句时 ， 我们不仅要仔细分析 ， 发现定语从 １９２１ 年获得了诺贝尔奖金。 句与主句之间的各种关系 ， 还必须充分考虑汉语的表达习惯。只有这 ３． 译成表示条件的分句 科 当 从 句 所 表 示 的 是 主 句 中 某 一 动 作 或 状 态 是 在 某 一 条 件 下 产 生 样 ， 才能使译文通顺易懂 ， 更加符合原文的内容。 时 ， 其功能相当于由连 词 ｉｆ 引 导 的 条 件 状 语 从 句 ， 用 来 修 饰 主 句 中 的 谓语动词。在翻译时 ， 往往需要加上“ 如果” 只要” 等连词 ， 使句子意 、 “ 思前后连贯 ， 语气通顺。例如 ：
＇
ｎ＝１
１ ｘ２ｎ－ １ ２ｎ ＝
∞
＇
ｘ２ ２－ ｘ２
＇
故
１ ! ２ｎ－ ２
ｎ＝１ ｎ
∞
＝３ ＋１ ! ２ｎ！ （ｎ－ １）！
ｎ＝１ ｎ ∞
＋１ ! ２ｎ＋ｎ！
２ ｎ＝０ ｎ ∞
∞
∞
ｘｎ＝!
ｎ＝０
ｎ２ ｘｎ＋ １ ! ２ ＋ｎ！ ｎ＝０ ｎ！
ｎ ∞
∞
ｘ % ２ & ｘｎ－ １ｄｘ）］＇
ｎ
例 ５ ： 求幂级数
其含义相当于由连词 ｓｏ ｔｈａｔ， ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｈａｔ 等引导的目 的 状 语 从 句 ， 用 来修饰主句中的谓语动词。这类定语从句可以转换成目的状语从句。 例如 ：
１ ） Ｔｈｅｙ ｓｅｔ ｕｐ ａ ｓｔａｔｅ ｏｆ ｔｈｅｉｒ ｏｗｎ， ｗｈｅｒｅ ｔｈｅｙ ｗｏｕｌｄ ｂｅ ｆｒｅｅ ｔｏ ｋｅｅｐ ｎｅｇｒｏｅｓ ａｓ ｓｌａｖｅｓ． 他们建立起自己的国家 ， 在那里他们可以随心所 欲
∞
ｘ２ｎ＋１＝
# !
ｎ＝０
∞
（－ １）ｎ
＇
ｎ＋１ " （２ｎ＋１）！
０ ∞
ｘ
ｘ２ｎ＋１ｄｘ
＇
＝ ＝
%
２ｎ＋２ （－ １） ｎ＋１ ・ ｘ ! （２ｎ＋１）！ ２ｎ＋２ ｎ＝０ ｎ ＇
∞
&%
＝ ｘ ２
（－ １）ｎｘ２ｎ＋１ ! ｎ＝０ （２ｎ＋１）！ ｘ∈（－ ∞， ＋∞）
$ &
解 ： 令 Ｓ（ｘ）＝
!
%
&
!
%
$%
$%
$
一、 幂级数求和函数
解题程序如下 ： （ １ ） 求出给定级数的收敛域 ， 一般讲分母中含有阶乘 ｎ！ ，（２ｎ）！ ，（２ｎ－ １）！ ， 则收敛域为 （－ ∞， ＋∞）； （ ２ ） 通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的 形式 （ 或易看出其假设和函数 Ｓ（ ｘ） 与其 导 数 Ｓ＇ （ ｘ） 的 关 系 ） ， 从 而 得 到 新级数的和函数 ； （ ３） 对 于 得 到 的 和 函 数 作 相 反 的 分 析 运 算 ， 便 得 原 幂 级 数 的 和 函 数。 例 １ ： 求幂级数