微积分第七章无穷级数

u2




un)

k
lim
n
sn

ks
.
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第七章 无穷级数
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§7. 2 无穷级数的基本性质
性性质质11
如果

un
s
,
则

kun ks .
n1
n1
性性质质22

如果 un s

、 vn
,
则

(un vn)s
.
n1
n1
n1



这是因为, 如果 un 、 vn 、 (un vn) 的部分和分别为
级数举例:
级数的展开形式
简写形式 一般项 备注


n 1
1 n
1
1 2

1 3





1 n




aqn aaqaq2 aqn

1
1 np
1
1 2p

1 3p





1 np






n 1
1 n
1
12n1131n1 调121n和1级3 数
1 n(n 1)
1n121
1 1 11 n(2n31) 12 n2(n31)


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级数的部分和: 级数的前n项的和
n
sn ui u1 u2 u3 un
称为级数

un
i 1
的部分和.
n1
n1
n1
sn、n、tn, 则
lim t
n
n

nlim[(u1

v1)

(u2

v2)





(un

vn
)]
nlim[(u1 u2 un)(v1 v2 vn)]
nlim(sn n)s .
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发散.
n1
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余项: 当级数 un 收敛时, 级数的和 s 与部分和 s n 的差值 n1 rns-snun1un2
叫做级数 un 的余项. n1
例1 证明级数
123 n
是发散的.
证 此级数的部分和为
sn
a aq aq2


aqn-1
a - aqn 1- q
a 1- q
- aqn 1- q
.
(1) 当 当||qq||<<11
其和为 a
时 时,, .
因 因为 为
nnlliimm
ssnn

aa 11-- qq
,,
所 所以 以此 此时 时级 级数 数 aaqqnn nn00
ssnn112233


nnnn(n(n11)). 22
.
显显然然, , nlinlmimssnn,, 因因此此所所给给级数是发散的的..
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例例12

讨论等比级数 aqn (a0)的敛散性.
n0
解: 如果q1, 则部分和
n1
级数敛散性定义:
如果级数

un
的部分和数列 {sn} 有极限
s,
即
n1
lim
n
sn

s
,
则称无穷级数

un
收敛,
这时极限
s
叫做这级数的和,
并写成
n1

s un u1 u2 u3 un
n1
如果 {sn} 没有极限,
则称无穷级数

un
(1(1--1212))((1212--1313))((1n1n--nn1111))11--nn1111,,
所以
lim
n
sn
lim (1-
n
1 )1 , n 1
从而这级数收敛,
它的和是
1.
提示:
un

1 n(n 1)

1 n
-
1 n 1
.
微积分



aqn
n0

a

aqaqna-q1 2
等比级数 几何 级aq数n



n1
1 np
1
1


1
2
p n1
3npp
1 21pp —n1p3级1p 数



1 1 1 1
1) 12 23
n(n 1)


n 1
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因此，仅当|q|1 时,

几何级数 aqn (a0)收敛,
n1
其和为
a 1-q
.

当 q 1 时，几何级数 aqn发散.
n 1
例例3
判别无穷级数


n1
1 n(n 1)
的收敛性.
解:因为
sn

1 12

1 23

1 34





1 n(n 1)
收 收敛 敛,,
1-q

(2) 当|q|>1 时, (3)当q-1时,
因因为为snlnim当 snn为奇,数所时以等此于时a级；数当n0na为qn偶发数散.
时等于零。

所所以以 ssnn的的极极限限不不存存在在,, 从从而而这这时时级级数数aaqqnn也也发发散散..
nn00
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§7. 2 无穷级数的基本性质
性性质质11
如果

un
s
,
则

kun ks .
n1
n1
性性质质22

如果 un s

、 vn
,
则

(un vn)s
.
n1
u1u2u3 un
无穷级叫数做, 无简穷称级(常数数,简项称)级数数.,
记为

un
,
即
n1

un u1 u2 u3 un ,
n1
其中第n项un叫做级数的一般项.
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表达式
称为级数, 其中第n项un叫做级数的一般项.
第七章 无穷级数
§7.1 无穷级数的概念
§7. 2 无穷级数的基本性质
§7.3 正项级数
§7.4 任意项级数,绝对收敛
§7.5 幂级数
§7.6 泰勒公式与泰勒级数
§7. 7 某些初等函数的幂级数展
微积分
开式
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§7.1 无穷级数的概念
一、无穷级数的基本概念
给定一个数列
u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式
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§7. 2 无穷级数的基本
则

kun ks .
n1
n1


这是因为, 设 un 与 kun 的部分和分别为 sn 与n, 则
n1
n1
lim
n
n

nlim(ku1

ku2




kun)

k
nlim(u1