一个不等式猜想的证明及推广

㊀[收稿日期]２０１８Ｇ０３Ｇ１１;㊀[修改日期]２０１８Ｇ０４Ｇ０６

㊀[基金项目]国家自然科学基金(６１３７０１７７);广州市科学技术局项目(２０１７０７０１０２２７

)㊀[作者简介]黄辉(１９６８－)

,男,博士,副教授,从事偏微分方程数值解㊁图像处理与模式识别研究．E m a i l :x x h u a n g

h u i ＠１２６．c o m 第３４卷第３期

大㊀学㊀数㊀学

V o l ．３４,ɴ．３

２０１８年６月

C O L L E G E MA T H E MA T I C S

J u n ．２０１８

一个不等式猜想的证明及推广

黄㊀辉

(广东财经大学统计与数学学院,广州５１０３２０

)㊀㊀[摘㊀要]针对«数学通报»２００３年９月号第１４５４问题,利用数学分析的方法证明基于该问题的一个不等式猜想．在此基础上,给出其更一般的推广形式及证明,并指出«绵阳师范学院学报»２０１４年１１月康晓蓉文中错误．最后,举例说明其应用．

[关键词]不等式猜想;推广;证明;应用

[中图分类号]O １７２㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０３Ｇ００９９Ｇ０４

１㊀引㊀㊀言

«数学通报»２００３年９月号第１４５４问[１]

:设a ,b ＞０,

求证:a

a ２

＋３b

２

＋

b

b ２

＋３a

２

ȡ１．

在文献[２]中,康晓蓉提出一个猜想及其等价命题不等式１:设a ,b ,c ɪℝ＋,

则a a ２＋４(b ２＋c ２)＋b b ２＋４(c ２＋a ２)＋c

c ２＋４(a ２＋b

２

)ȡ１,(１

)其中等式成立当且仅当a ＝b ＝c 成立．

不等式２:设x ,y ,

z ɪℝ＋且x ＋y ＋z ＝１,则１

４

x

－３＋

１

４

y －３＋

１

４

z

－３ȡ１,

(２

)其中等式成立当且仅当x ＝y ＝z ＝１３

成立．

２㊀等价命题的证明及应用

定理１㊀在题设条件下不等式(１)与不等式(２)等价．证㊀

a a ２

＋４(b ２＋c ２)＋b b ２＋４(c ２＋a ２)＋c

c ２＋４(a ２＋b ２

)

ȡ１㊀⇔

１１＋４(

a ２＋

b ２＋

c ２a ２－１)

＋１１＋４(

a ２＋

b ２＋

c ２b ２－１)

＋１

１＋４(

a ２＋

b ２＋c

２

c

２

－１)

ȡ１．

令x ＝

a ２a ２＋

b ２＋

c ２,y ＝b ２a ２＋b ２＋c ２,z ＝c ２

a ２＋

b ２＋c

２

,则上式等价于１

４

x －３＋

１

４

y －３＋

１

４

z

－３ȡ１．

不难看出,x ,y ,

z ɪℝ＋且x ＋y ＋z ＝１．以下将证明不等式(２

)成立．首先,给出一个引理．引理[３

](J e n s e n 不等式)㊀若f (x )为区间I 上的下凸(上凸)函数,则对于任意x i ɪI 和满足的

ðn

i ＝１

λi

＝１的λi

＞０

(i ＝１,２, ,n ),

成立f

(ðn

i ＝１

λi x i

)ɤðn

i ＝１

λi

f (x i

)㊀(f (ðn

i ＝１

λi x i

)ȡðn

i ＝１

λi

f (x i

))．

特别是当λi ＝

１n

(i ＝１,２, ,n )时,有f (１n ðn

i ＝１x i )

ɤ１n ðn

i ＝１f (x i )㊀(f (

１n ðn

i ＝１x i )

ȡ１

n ðn

i ＝１

f (x i ))

．证㊀记f (x )＝

１

４

x

－３＝

x ４－３x

,利用对数求导法,可得f ᶄ(x )＝２x (４－３x )x ４－３x ,㊀f ᵡ(x )＝４(３x －１)x ２(４－３x

)２

x ４－３x ．当x ＞０,４－３x ＞０,３x －１ȡ０,ìîíïïï

即１３ɤx ＜４３时,f ᶄ(x )＞０,f

ᵡ(x )ȡ０．故f (x )在

[１３,４３

)

内严格递增且下凸,由引理知f (x )＋f (y )＋f (z )ȡ３f (

x ＋y ＋z ３)

＝３f

(１

３

)

＝１,即不等式(２

)得证．例１(２００１年国际数学奥林匹克试题)㊀设a ,b ,c ɪℝ＋,

则a

a ２

＋８b c

＋

b

b ２

＋８c a ＋

c

c ２

＋８a b

ȡ１．

证㊀因为b ２＋c ２

ȡ２

b c ,所以a ２＋４(b ２＋c ２

)ȡ

a ２

＋８

b c ．故有a

a ２

＋８b c

ȡ

a

a ２

＋４(b ２＋c ２)

成立,同理可证

b

b ２

＋８

c a ȡ

b b ２＋４(

c ２＋a ２),㊀c c ２＋８a b ȡc c ２＋４(a ２＋b ２

)．从而

㊀㊀㊀㊀㊀㊀

a

a ２＋８

b c

＋

b

b ２

＋８

c a ＋

c

c ２

＋８

a b ȡ

a a ２

＋４(b ２＋c ２)＋b b ２＋４(c ２＋a ２)＋c

c ２＋４(a ２＋b ２

)

ȡ１．３㊀不等式的推广及证明

文献[２]给出不等式(１)和不等式(２

)的进一步推广形式００１大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３４卷