西南交大数值分析题库插值逼近题库

n k 0 n
xk mlk ( x) ( xk
xm
m=0,1,…,n m=1,2,…,n
x) m lk ( x) 0
k 0
证明：由插值唯一性定理知(1)。展开知（2） (8). 设 p(x)是任意首次项系数为 1 的 n+1 次多项式， lk(x)是关于互异节点 x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插值基函数 证明 p( x)
f ( x) P2 ( x) f (3) () (x 3! xi )( x xi
1/2
xi )( x )( x
xi xi 1 )
1/2
)( x
xi 1 )
e max ( x 6 xi x xi 1
令 x=xi+1/2+sh/2 上式化简为
e h3 max ( s 1) s( s 1) 6 1 s 1 8 eh3 2 3 48 9
a x a
a t a a t a
致逼近多项式，由最佳一致逼近多项式的唯一性知 P(-x)=P(x). （2）略。 (2). 求 f(x)=2x3+x2+2x-1 在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式 P(x)。已知 T0(x)=cos0=1；T1(x)=cos=x；T2(x)=cos2=2x2-1；T3(x)=cos3=4x3-3x； T4(x)=cos4=8x4-8x2+1 1 1 解: f(x)=2x3+x2+2x-1-P(x)=2. T3(x)= T3(x)
f ( n ) () 注意到 n>k 时， f(n)(x)=0， n!
n=k 时， f(n)(x)=k!ak，ak 为 f(x)的 k 次项系数。 nk-1 由差分定义递推,查 n=k-1,k-2,… 可证 (6). 设 g(x)和 h(x)分别是 f(x)关于互异节点 x1,…, xn-1 以及互异节点 x2,…, xn 的插值多 项式，试用 g(x)和 h(x)表示 f(x)关于互异节点 x1,…, xn 的插值多项式. 解：令 f(x)=Ag(x)(x-xn)+Bh(x)(x-x1)为待定 n-1 次多项式，A,B 为待定系数，注意到 g(xk)=f(xk), k=1,…,n-1； h(xk)=f(xk), k=2,…,n； 带入得 A=1/x1-xn,B=1/xn-x1,带入即可。 (7). 设 lk(x)是关于互异节点 x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插值基函数，证明 (1) (2)
xj )
wn 1 ( x)
故当 0jn 时，
xkj lk ( x) =xj, ；当 j=n+1 时，xn+1= f ( x)
n 1 xk lk ( x)
将 x=0 带入即可。 (4). 设 lk(x)是关于互异节点 x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插值基函数，证明
1
n
f ( x)
n
n k 0
f ( xk )lk ( x) =
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(2). 已知由插值节点(0,0),(0.5,y),(1,3)和(2,2)构造的 3 次插值多项式 P3(x)的 x3 的系数 为 6，试确定数据 y.
f ( x0 ) x1 )( x0 x2 )( x0
f ( xk ) lk( x )
k 0
解：P3(x)＝故最高次项系数为
1 7 7 1 8 8 4 3 1 3 5 2 1 3 1 2 l2(x)= x x x l2(x)= x x 4 4 24 8
l0(x)=- x3+ x2- x+1; l1(x)= x3 2 x 2
8 x； 3
1 x 12
11 3 x 4 45 2 x 4 1 x 1. 2
Lagrange 插值多项式 L3(x)=
0 , 0 1 , 0 n , 0 0 , 1 1 , 1 n , 1 0 , n 1 , n n , n a0 a1 an ( f , 0 ) ( f , 1 ) ( f , n )
两边的第 j 行分量为：
((j,0) (j,1) …(j,n)) aj=(p(x), j) =右边=(f, j)；所以(f(x)-p(x), j)=(f, j)- (p(x), j)=0 (6). 设 p( x) 证明： (f-p, f-p)=(f,f)0 , 0 1 , 0 n , 0 0 , 1 1 , 1 n , 1
n k 0
xkj lk (0)
1, 0, ( 1) n x0 x1...xn
n k 0 n 1 xk lk ( x) n k 0
j 0 j 1,2,...,n j n 1
n f ( n 1) () wn 1 ( x) 其中，wn+1(x)= ( x (n 1)! j 0
n k 0
证明： f ( x)
( x0 x3 ) ( x1 f ( x1 ) x0 )( x1 x2 )( x1 x3 ) ( x2 f ( x2 ) x0 )( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 f ( x3 ) x0 )( x3 x1 )( x3
带入数值解得 y=4.25. (3). 设 lk(x)是关于互异节点 x0, x1,…, xn, 的 Lagrange 插值基函数，证明
f (3) () 2 (x 3! k 0 xk )
(3). 三次样条插值与一般分段 3 次多项式插值的区别是_____ (三次样条连续且光 滑，一般分段 3 次连续不一定光滑。) §2. 计算题 (1). (a10 分)依据下列函数值表，建立不超过 3 次的 lagrange 插值多项式 L3(x). x 0 1 2 3 f(x) 1 9 23 3 解：基函数分别为
( xk x0 ) ( xk
n
ak f ( xk )
k 0
1 xk 1 )( xk
xk 1 )
( xk
xn )
ok!
(14). 回答下列问题： （1）什么叫样条函数？ （2）确定 n+1 个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？ （3） 三转角法中参数 mi 的数学意义是什么？
3
答： （1）略（2）4n 个（3） mi=S/(xi) 即样条函数在节点 xi 处的一阶导数。 拟合 (1). 设 f(x)[-a,a]的最佳一致逼近多项式为 P(x),试证明 (1) f(x)是偶函数时 P(x)也是偶函数； (2) f(x)是奇函数时 P(x) 也是奇函数。 证明： （1）令 t=-x, 考查 max |f(x)-P(x)|= max |f(-t)-P(-t)|= max |f(t)-P(-t)|, 故 P(-x)也是 f(x)[-a,a]的最佳一
k 0
n 1 xk lk ( x) 是 n 次多项式，且最高次系数为(x0+…+ xn,)
证明：
xn
1 n k 0 n 1 xk lk ( x)
f ( n 1) () wn 1 ( x) (n 1)!
n
注意余项 所以
n k 0
f ( n 1) () wn 1 ( x) = wn 1 ( x) (n 1)!
插值 §1. 填空 (1). 设 Pk(xk,yk) , k=1,2,…,5 为函数 y=x2-3x+1 上的 5 个互异的点， 过 P1,…,P5 且次数 2 不超过 4 次的插值多项式是 y=x -3x+1 (2). 设 x0, x1,x3 是区间[a.. xk 1 2 e xk , k 0,1, 2, f ( x) 0 b]上的互异节点， f(x)在[a, b] 上具有各阶导数， 过该组节点的 2 次插值多项式的余项为： R2 ( x)
4
(5). 设 f(x)在有限维内积空间＝span{0,…,n}上的最佳平方逼近为 p(x),试证明， f(x)-p(x)与中所有函数正交。 证明：查 p( x)
n k 0
ak k ( x)
(f(x)-p(x), j)=(f, j)- (p(x), j) 注意到 ak 是法方程组的解。而法方程组
xn
1
(x
j 0
xj )
n 1 xk lk ( x)
wn 1 ( x) 可见其为 n 次多项式，并且可得其最高次系数为
(x0+…+ xn) (5). 设函数 f(x)是 k 次多项式，对于互异节点 x1,…, xn,， 证明当 n>k 时，差商 f [x, x1,…,xn]0，当 nk 时，该差商是 k-n 次多项式。 证明：因 f [ x0 , x1 , , xn ]
0 , 0 1 , 0 n , 0 0 , 1 1 , 1 n , 1
1 3/ 2 7/3
0 , n 1 , n n , n
7 / 3 a0 15 / 4 a1
a0 a1 an
( f , 0 ) ( f , 1 ) ( f , n )
2 ln 2 2 ln 2 3 / 4 8 ln 2 7 / 9 3
令
eh3 2 3 48 9
1 10 2
6
得 h0.028413
故子区间个数为 N=2/h70.4, 取 N=71；故插值节点数为 2N+1=143 (11). 设 f(x) 在区间[a,b]上有二阶连续导数，P1(x)为其以 a,b 为节点的一次插值多 项式，证明
f ( x) P 1 ( x) (b a)2 max f ( x) a x b 8 x [a, b] 证明：利用插值余项结果可得线性插值
n
p( x k )lk ( x)
k 0
wn 1 ( x) ；其中 wn 1 ( x)
n
(x
j 0
xj )
证明：插值余项直接计算即可。 (9). 已知函数 y=f(x)在点 x0 的某邻域内有 n 阶连续导数， 记 xk=x0+kh 明
lim f [ x0 , x1 ,
h 0
(k=1,2,…,n), 证
多项式 P1(x)在子区间[a,b]上的余项估计式，再估计最值即可。
f ( x) P 1 ( x) f () ( x a)( x b) 2!
x3 , c( x 1)
2 3
hi2 max f // ( x) a 8 x b
0 x x 1 2
x [a, b]
(12). s(x)=
2
已知 s(x)是[0,2]上的已知自然边界条件的三次样条函数，试确定
, xn ]
证明：因 f [ x0 , x1 ,
f ( n ) ( x0 ) n! f ( n ) () , xn ] n!
(x0,x0+nh)注意到 n 阶导数连续性，两边取极限
2
即可。 (10). 用等节距分段二次插值函数在区间[0,1]上近似函数 ex, 如何估算节点数目使 插值误差 1 10-6 . 2 解：考虑子区间[xi-1,xi]二次插值余项
1 2x b( x 1) d ( x 1) , 1
中的参数 b,c,d 解：利用边界条件 s/(2-0)=0 及样条函数定义可得 b=-1,c=-3,d=1 (13). 证明 n 阶均差有下列性质： (1) 若 F(x)=cf(x), 则 F[x0, x1,…,xn]=c f[x0, x1,…,xn] (2) 若 F(x)=f(x)+g(x), 则 F[x0, x1,…,xn]= f[x0, x1,…,xn]+ g[x0, x1,…,xn] 证明： f [ x0 , x1 , , xn ] 其中，ak=
计算知 3 / 2
7 / 3 15 / 4 31/ 5 a2
解之得：a0=-1.142989, a1=1.382756, a2=-0.233507 最佳平方逼近多项式为 P2(x)=-1.42+1.38x-0.233x2 平方误差为：||f-P2||22=(f,f)-a0(f,0)–a1(f,1) –a2(f,2)0.410-5
2 1 1 7 故 P(x)= f(x)- T3(x)= 2x3+x2+2x-1-2 x3+ 3x = x2+ x-1 2 2 2
23
1
(3). 求 f(x)=2x4 在[0,2]上的 3 次最佳一致逼近多项式 P(x)。已知 T0(x)=cos0=1；T1(x)=cos=x；T2(x)=cos2=2x2-1；T3(x)=cos3=4x3-3x； T4(x)=cos4=8x4-8x2+1 解：令 x=t+1, t[-1,1], f(x)=g(t)=(t+1)4；故 g(t)的 3 次最佳一致逼近多项式为 P3(t)=4t3+7t2+4t+7/8；故 f(x)的 3 次最佳一致逼近多项式为 P(x)=P3(x-1)= 4x3-5x2+2x-1/8 (4). 求 f(x)=lnx ,x[1,2]上的二次最佳平方逼近多项式的法(正规)方程组。 （要求精确 表示，即不使用小数） 解：取=span{1,x,x2},[a,b]=[1,2] 法方程组为