哈密顿系统中混沌的几何判据
混沌Hamilton系统的统计力学性质
混沌Hamilton系统的统计力学性质混沌系统是一类具有不确定性和高度敏感性的动力学系统，在长时间演化中表现出无序、混乱和随机的行为。
Hamilton系统是其中一种常见的动力学系统，它由哈密顿力学方程描述，具有能量守恒和相空间流体的特征。
本文将探讨混沌Hamilton系统的统计力学性质，包括熵增、吸引子、Liouville定理以及混沌系统的统计稳定性等方面。
1. 熵增在混沌系统中，熵增是描述系统演化的重要指标。
熵是描述系统无序程度的度量，可以通过系统的概率分布函数计算。
对于混沌系统，由于其非周期性和高度敏感性，系统的熵通常随时间增加。
混沌系统的熵增特性使得其在演化过程中趋向于无序，无法被简单的周期性或确定性模式所描述。
2. 吸引子吸引子是混沌系统中的重要概念，它描述了系统演化的稳定态。
对于一个混沌系统，其吸引子可以是一个有限维的奇异吸引子或一个无限维的奇异吸引子。
奇异吸引子通过吸引系统各个相空间轨迹使其局限于某一区域，从而使得系统在长时间演化中表现出有限范围内的稳定态。
混沌Hamilton系统的统计力学性质可以通过对吸引子的研究来揭示。
3. Liouville定理Liouville定理是描述Hamilton系统的守恒性质的重要定理。
根据Liouville定理，对于一个不可压缩的Hamilton系统，相空间中的体积在演化过程中保持不变。
这意味着在长时间演化中，系统的相空间轨迹虽然会发生复杂的变化，但相空间中的点密度保持恒定。
Liouville定理为混沌Hamilton系统的统计力学性质提供了重要的理论基础。
4. 统计稳定性混沌Hamilton系统的统计稳定性是指系统在经过足够长的演化后，其统计性质是否趋于稳定。
对于混沌系统而言，由于系统的高度敏感性和非周期性，统计分布函数通常不会呈现典型的正态分布或其他简单的分布形式。
然而，经过足够长的时间演化后，系统的统计分布函数往往会趋于稳定，并且可以用一些概率分布模型来描述。
混沌阈值确定
基于Melnikov 方法的混沌阈值确定学院:通信工程学院 学生姓名:程远林 指导教师:李月教授中文摘要: 本文介绍了混沌理论及其研究历史。
混沌系统对噪声免疫，对小信号敏感的特性，这使得混沌系统在微弱信号检测领域具有很大的应有潜力。
混沌振子检测微弱信号具有传统检测方法无法比拟的优越性，取得了很大的成就。
如何准确的确定混沌系统的阈值成为混沌振子检测微弱信号的关键问题。
在众多的混沌系统中，本文主要研究的是Duffing 方程所描述的混沌系统。
本文应用相轨迹图法和功率谱熵的方法来确定混沌系统的阈值，并对两种方法的效率和实际效果进行了比较。
本文用这两种方法对非线性项含3x 和53x x +的Duffing 方程进行分析,并确定了在频率)200,5.0(∈ω上系统对应的的阈值。
实验表明，两种方法所得出的结果基本吻合。
从实验过程和最后的结果中,我们可以看出:功率谱熵的方法作为判别混沌系统运动状态的方法，具有较高的精度和效率。
关键词: 混沌系统 阈值 duffing 方程 功率谱熵Abstract: The paper introduces the research history and theory of chaos. The immunity to noiseand the sensibility to weak signal make the chaos system very useful in weak signal detecting. Comparing to traditional methods, the chaos system has its capacity in weak signal detection, and also has get great achievement. But h ow to determine the accuracy threshold of chaos system is the key problems of the use of chaos oscillator in weak signal detection. In many chaos systems, this paper mainly studied the chaos systems described by Duffing equation. In this paper, we use phase track and power spectral entropy to detect the threshold of the chaos system, and make a comparison between the two methods. We use the two methods to study the Duffing equation that the nonlinear term include 3x or53xx+, and get the threshold of the chaos systemwhen the frequency )200,5.0(∈ω. From the test, we get the conclusion that the results of two methods are coincident. From the process of the test and the final data, we learn that the power spectral entropy is e ffective and accurate in distinguishing the state of motion of the chaos system.Keyword: Chaos system Threshold Duffing equation Power Spectral Entropy1前言混沌是一种非线性的确定性行为，揭示了某些复杂系统中貌似不规则的、异常现象的本质,最早发现于气象模型中。
两类哈密顿系统周期解和同宿解的存在性
两类哈密顿系统周期解和同宿解的存在性哈密顿系统,起初作为经典力学导出的规范形式之一,由英国数学家哈密顿于19世纪提出.该系统在物理学,生物学等领域都有广泛的应用.人们利用这项工具,取得了巨大的成就;19世纪末,变分法诞生,尤其在20世纪70年代临界点理论建立后,许多学者开始在数学上研究该系统解的存在性.近年来数学家们关于哈密顿系统周期解和同宿解的研究,取得了丰硕成果.本文就是利用变分法和临界点理论等工具,证明了两类哈密顿系统周期解和同宿解的存在性.本文主要分为以下两章：第一章利用局部环绕定理,证明下列哈密顿系统：在更一般条件下,周期解的存在性.第二章利用推广的环绕定理,证明哈密顿系统：(HS) z= JHz(t,z),在更弱的超线性条件下,无穷多同宿解的存在性.。
哈密尔顿系统的辛几何算法
哈密尔顿系统的辛几何算法哈密尔顿系统是一类具有特殊的物理意义的动力系统，其在物理学、力学、动力学和计算力学等领域有着广泛应用。
哈密尔顿系统通常具有一组关于位置和动量的相变量，其演化满足哈密尔顿方程。
由于哈密尔顿系统具有良好的保持量和结构稳定性，因此在数值模拟中的算法设计尤其重要。
辛几何算法是一类特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，常常用于哈密尔顿系统的数值积分。
辛几何算法最早由李约瑟于 1988 年提出，其不仅能够在数值计算中保持相变量的守恒，还能够在哈密尔顿系统的长期演化中保持辛结构稳定性。
辛几何算法主要由两个部分组成，即辛映射和辛算子。
辛映射指的是从一个相变量向下一个相变量的映射，它通常满足“保相量”和辛结构不变性的特点。
保相量指的是相变量在变化过程中的守恒，而辛结构不变性则指的是哈密尔顿系统在演化过程中的辛不变性。
而辛算子则是这个辛映射的数值逼近，常常采用辛波发方法、显式和隐式辛算法等方法。
在演化哈密尔顿系统时，辛几何算法通常采用显式辛算法进行数值模拟。
显式辛算法的主要思路是采用辛映射和辛算子的组合，来实现对哈密尔顿系统的数值模拟。
在模拟过程中，辛几何算法需要保证每一步的演化都是辛的，这样系统才能保持哈密尔顿量以及其他相变量不变。
因此，辛几何算法在数值模拟中的应用非常广泛。
然而，辛几何算法的实现却比较困难。
在数值模拟时，辛几何算法需要考虑一系列问题，如相变量的数值守恒、哈密尔顿量的捕获和重构、快速演化、长时间演化、难以计算的高维效应等等。
这些问题都需要采用一些特殊的技巧和策略来解决。
总的来说，辛几何算法是一种特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，在计算力学、物理学、动力学等领域有着广泛应用。
混沌Hamilton系统的统计力学模拟
混沌Hamilton系统的统计力学模拟混沌Hamilton系统是物理学中一个重要的研究领域，它描述了一类混沌运动的系统。
在统计力学中，对于这类系统的模拟研究具有重要的理论和实际意义。
本文将介绍关于混沌Hamilton系统的统计力学模拟方法，并分析其应用。
一、混沌Hamilton系统的基本概念混沌Hamilton系统是由Hamilton函数描述的系统，其特点是非线性、敏感依赖于初始条件、具有混沌行为。
其运动方程可以写为Hamilton方程：\[\frac{{dq_i}}{{dt}} = \frac{{\partial H}}{{\partial p_i}}，\frac{{dp_i}}{{dt}} = -\frac{{\partial H}}{{\partial q_i}}\]其中，\(q_i\)和\(p_i\)分别是广义坐标和广义动量，\(H\)是Hamilton 函数。
二、混沌Hamilton系统的统计力学模拟方法1. 初始条件的确定混沌系统对于初始条件非常敏感，微小的变化会导致系统演化出完全不同的轨迹。
统计力学模拟中，我们可以选择不同的初始条件进行模拟，以获得系统的平均特性。
2. 模拟方法的选择在混沌Hamilton系统的统计力学模拟中，常用的方法有蒙特卡洛方法和分子动力学模拟方法。
蒙特卡洛方法通过随机抽样的方式对系统的状态进行模拟，并计算相应的物理量。
这种方法适用于系统状态的随机演化，如涨落现象等。
然而，由于混沌系统的确定性特点，蒙特卡洛方法在模拟混沌Hamilton系统时并不是首选方法。
分子动力学模拟方法是一种基于牛顿力学的模拟方法，通过求解Hamilton方程获得系统的演化轨迹。
这种方法适用于确定性系统的模拟，对混沌Hamilton系统的模拟较为准确。
3. 物理量的计算在混沌Hamilton系统的统计力学模拟中，我们通常关注系统的平均特性，如能量、温度、熵等。
这些物理量可以通过模拟得到的轨迹计算得出。
理论力学-哈密顿理论在物理学中的应用省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
E1 t
j1
0
1 o
B1 x3
B3 x1
o
E2 t
j2
0
1 o
B2 x1
B1 x2
o
E3 t
j3
0
将它们结合起来写成矢
E
量形式
:
B oo t o j
这就证明了电磁场的运 动方程确定可纳入到
拉格朗日方程的理论体 系中去。
第10页
§8.3 薛定谔波动力学方程建立
采取经典力学哈密顿理论，加上电子含有波粒二 象性假设，以氢原子为例，建立定态波动力学方程。 氢原子哈密顿函数为
和时间无关，F(x, y, z)就是莫培督作用函数。
2、把(1)式看作是哈密顿原理变 形而来。
S t2 Ldt 0 t2 Ldt 0 L 0
t1
t1
即L L(x, y, z)dxdydz 0，这就是(1)式。
作这样的理解，(1)式中的函数F(x, y, z)就是电子
的拉格朗日密度。
1、考虑广义坐标 所对应的拉格朗日方程
L
,
L
/ xi
o
(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
/
t)
i
oE
，
j
L
0，代入拉格朗日方程得
：
o
i
Ei 0 xi
将上式写成矢量形式就 是 E / o
第8页
d
dt
L k
3 j1
d dx j
L
(k / xj )
L k
0
L (oE2 B2 / o ) / 2 j A
q1
q1 q1
q1
Q1 q2
Qs P1 q2 q2
哈密顿圈 正十二面体
哈密顿圈正十二面体引言在数学中，哈密顿圈是指一个图中所有顶点都恰好被访问一次的闭合路径。
正十二面体是一种具有12个面、20个顶点和30条边的多面体。
本文将探讨哈密顿圈与正十二面体的关系以及相关性质。
哈密顿圈的定义哈密顿圈是指一个图中经过每个顶点一次且仅一次的闭合路径。
在正十二面体的图论表示中，每个面可以看作图中的一个顶点，每个边可以看作连接两个顶点的路径。
因此，我们可以将正十二面体看作一个图，它具有12个顶点和30条边。
如果正十二面体的图中存在一个哈密顿圈，那么我们可以通过沿着这个圈对正十二面体进行遍历，从而访问到每个顶点一次且仅一次。
正十二面体的结构正十二面体是一个具有特殊几何性质的多面体。
它具有以下特点： 1. 12个面：每个面都是一个正五边形。
2. 20个顶点：每个顶点都与恰好5个其他顶点相连。
3. 30条边：每条边都连接两个不同的顶点。
正十二面体中的哈密顿圈在正十二面体的图中存在哈密顿圈。
探索哈密顿圈的存在性为了证明正十二面体中存在哈密顿圈，我们可以通过构建一个哈密顿路径的方法来推导。
首先，我们可以确保从一个顶点出发，沿着边的路径，每次都进入一个新的面。
由于正十二面体的每个面都是一个正五边形，因此在沿着边的路径上，每次都会访问到一个新的顶点。
重复这个过程，直到返回原始的顶点，就得到了一个哈密顿圈。
正十二面体中的哈密顿圈的性质正十二面体中的哈密顿圈具有以下性质： 1. 包含12个顶点：由于哈密顿圈是一个闭合路径，它必须经过每个顶点一次且仅一次。
2. 包含30条边：由于哈密顿圈是沿着边的路径，每次都会经过一条边。
3. 包含60条路径段：沿着哈密顿圈，可以将整个路径划分为60个连续的路径段，每个路径段都是由两个相邻顶点之间的边构成的。
正十二面体的应用正十二面体作为一种特殊的多面体，在科学和艺术领域有着广泛的应用。
科学应用正十二面体在化学和生物领域中具有重要的应用。
例如，一些分子的晶体结构就可以被表示为正十二面体。
2020年高中物理竞赛(力学篇)02运动、力学定律：混沌(共15张PPT)
Feigenbaum常数-----
反映了系统在趋向混沌时的一种普遍的动态不 变性。在趋向混沌时，把标尺缩小或放大，看到的 仍然是相似的“几何结构”。
常见的混沌现象
1、天体力学中的地球上流星的起源问题 太阳系的小行星大部分存在与火星与木星之间，
因此地球上的 流星也只能起源于这个小行星带。但 是这个小行星带离地球很远，只有偏心率达到57% 的小行星的轨道才能与地球轨道相交。
2、分维性质 混沌态非整数维不是用来描述系统的几何外形， 而是 用来描述系统运动轨道在相空间的行为特征。
3、普适性和Feigenbaum 常数 混沌是一种无周期性的“高级”有序运动，可 以发现混杂在小尺度混沌中的有序运动花样。
普适性-----
在趋向混沌时所表现出来的共同特征，不依 具体的系数以及系统的运动方程而变。
初始状态：将坐标系固定在两个较大的天体上，x 轴与两者的连线平行，y轴垂直于连线，问题简化 为最小的天体在两个有心力场作用下的运动。
两个大天体可完全不必理会小天体产生的引力对它 们轨道的影响，更不会动摇它们之间运动的和谐。
小天体的运动会是怎样的呢？
在相空间的截面上发现，小天体的运动竟是没完没了 的自我缠结，密密麻麻地交织成错综复杂的蜘蛛网。
••
这样复杂的运动是高度不稳定的，任何微小的扰动 都会使小天体的轨道在一段时间后有显著的偏离。 因此这样的运动在一段时间后是不可预测的。
气象变化的蝴蝶效应
模拟气候变化： 建立一组非线性微分方程，给定初值进行迭代 惊人结果：初值微小差异，会导致结果巨大变化
长期的天气预报是不可能的。
蝴蝶效应
混沌的定性特征
若系统表现为周期运动，那么系统就只有很少 的运动模式，无法应付多变的环境中所出现的种 种突变，这会导致系统损伤和功能失调。
Chaos in Dicke model(Dicke模型中的混沌)
Dicke 模型中的混沌摘 要 Dicke 哈密顿函数是一种量子光学模型。
描述了N 个二能级原子与一个单模玻色子场的相互作用。
本文从Dicke 哈密顿函数的量子表达式出发，将其回推到经典表达式。
通过改变耦合参量λ的数值，绘制Poincaré截面。
结果表明，当λ值小于临界值时，Poincaré截面保持规律的周期性的轨迹。
当趋于临界值时，伴有混乱轨迹的出现。
继续增加λ的值，将破坏周期性轨迹，使得整个相空间因为λ值比临界值稍大而变得混乱无序。
同时，本文简单介绍了系统的量子混沌。
关键词 混沌 Dicke 哈密顿 Dicke 模型 经典混沌 量子混沌0 引言第一个发现混沌的是法国数学家、物理学家H.Poincaré (1854-1912)。
1903年提出庞加莱猜想，指出在三体问题中，在一定范围内，其解是随机的[1]。
三体引力相互作用有着惊人的复杂行为，确定性动力学方程有许多解有很强的不可预计性。
到了上个世纪70年代，混沌学的研究在数学、物理、生物、气象、医学等多个学科领域同时展开，形成了世界性的研究热潮。
在以后的几十年中，人们研究了大量量子系统的混沌现象，并给出了量子混沌的特征描述。
进入20世纪90年代，对混沌的研究不仅推动了其他学科的发展，而且其他学科的发展又促进了对混沌的深入研究。
进入21世纪，混沌与其他学科的相互交错、渗透、促进，使得混沌在生物学、数学、物理学、化学、电子学、信息科学、气象学等多个领域中得到了广泛的应用[2]。
近十几年来人们发现很多量子系统中存在量子混沌现象，并且研究了量子混沌与相变、纠缠、隧穿等物理现象之间的关系，得到很多有意义的结果。
本文着手于Dicke 模型，通过数值计算的方法来绘制Poincaré截面，研究系统随参量λ的变化趋势。
1 混沌介绍1.1 混沌研究简史现代科学意义上的混沌的发现，可以追溯到19世纪末20世纪初[1]。
混沌研究的第一个重大突破就是KAM 定理，KAM 定理给出了太阳系稳定性的合理解释，并使人们重新看待统计力学中一系列基本假设和观点。
混沌的数值计算与分析
本科毕业论文（设计）题目混沌的数值计算与分析学生姓名专业名称指导教师2012 年5月9 日目录一、论文（设计）正文引言 (1)1 混沌介绍 (1)1.1混沌的定义 (1)1.2混沌的基本特征 (2)1.3混沌的数学特征 (3)1.3.1关联维数 (3)1.3.2L YAPUNOV指数 (4)2 混沌的计算与分析 (5)2.1混沌的模型：L OGISTIC映射 (5)2.2混沌的定义特征分析 (8)2.2.1混沌的定义分析 (8)2.2.2混沌最基本特征：对初值的敏感性 (10)2.2.3混沌映射的基本特征之一：分岔 (11)2.3L ORENZ系统族 (13)2.3.1L ORENZ方程组 (13)2.3.2L ORENZ系统的简单分析 (15)3 混沌本质及前景 (18)参考文献： (21)谢辞 (22)二、附录1.论文（设计）任务书 (23)2.论文（设计）结题报告 (245)3.论文（设计）成绩评定及答辩评议表 (27)4.论文（设计）答辩过程记录（附页） (29)混沌的数值计算与分析摘要：本文首先对混沌的定义和特点及判别方式做了基本的介绍，然后用数值计算与分析的方法利用MATLAB软件以Logistic映射为例对混沌的定义和特征做了编程绘图详细分析。
介绍了两个判别系统进入混沌的定量指标如Lyapunov指数等。
再以Lorenz系统为例通过数值计算分析其性质特征。
用软件绘图直观展示混沌吸引子的特征。
最后对混沌的定义加以总结，强调数值计算与分析在混沌研究中的重要性，并展望混沌研究的发展前景。
关键词：Logistic映射；Lorenz系统；奇怪吸引子；MATLAB；INumerical calculation and analysis of the chaosAbstract:This paper the definition and characteristics of chaos and the way to do the basic criterion introduced, and then the numerical calculation and analysis method of use of MATLAB software to Logistic mapping as example to the definition and characteristics of chaos made a detailed analysis of the programming drawing. Introduces two discriminant system into the chaos of the quantitative indicators such as Lyapunov index, etc. And Lorenz system for example through numerical analysis and characteristics. With the software drawing intuitive show the characteristics of chaotic attractor. At last the definition of chaos summarized, emphasize the calculation and analysis of the importance of study in chaos, the prospect of the development of the research prospect of chaos.Key words: Logistic mapping; Lorenz system; Strange attractor; MATLAB;II目录引言 (1)1 混沌介绍 (1)1.1混沌的定义 (1)1.2混沌的基本特征 (2)1.3混沌的数学特征 (3)1.3.1关联维数 (3)1.3.2L YAPUNOV指数 (4)2 混沌的计算与分析 (5)2.1混沌的模型：L OGISTIC映射 (5)2.2混沌的定义特征分析 (8)2.2.1混沌的定义分析 (8)2.2.2混沌最基本特征：对初值的敏感性 (10)2.2.3混沌映射的基本特征之一：分岔 (11)2.3L ORENZ系统族 (13)2.3.1L ORENZ方程组 (13)2.3.2L ORENZ系统的简单分析 (15)3 混沌本质及前景 (18)参考文献 (21)谢辞 (22)11引言混沌，被誉为相对论和量子力学之后的本世纪最重要的科学发现之一。
混沌Hamilton系统的统计力学模拟
混沌Hamilton系统的统计力学模拟混沌系统是指一类具有极其敏感的初始条件的动力学系统，其行为看似无序、不可预测，但实际上具有确定性。
Hamilton系统是经典力学中描述具有保守性质的系统的一种理论框架。
在混沌Hamilton系统的研究中，统计力学模拟成为了一种重要的工具，可以用来描述系统的平均行为、稳定性和相空间的统计分布等。
1. 引言混沌理论的提出和发展，为我们认识自然界中的复杂系统提供了一种新的途径。
混沌Hamilton系统作为混沌理论的重要研究对象，被广泛应用于天体力学、固体物理学、流体力学等领域。
在研究混沌Hamilton系统时，我们通常需要通过统计力学模拟来获取系统的相关信息。
2. 混沌Hamilton系统的基本方程混沌Hamilton系统通常由Hamilton函数和Hamilton方程组来描述。
Hamilton函数是系统的总能量函数，而Hamilton方程组则给出了系统中各个自由度的演化规律。
对于一个N维的混沌Hamilton系统，其Hamilton函数可以表示为：H(p, q) = Σ(p_i^2 / 2m_i) + V(q_1, q_2, ..., q_N)其中，p和q分别代表系统中的广义动量和广义坐标，m_i代表第i个质点的质量，V(q_1, q_2, ..., q_N)为系统的势能函数。
3. 统计力学模拟方法（此处可以详细介绍几种常用的统计力学模拟方法，如Monte Carlo 模拟、分子动力学模拟等）4. 混沌Hamilton系统的统计力学模拟在进行混沌Hamilton系统的统计力学模拟时，我们通常利用数值方法来求解Hamilton方程组。
通过选取适当的初始条件和参数，可以模拟系统的演化过程，并研究系统的平均行为和统计性质。
5. 统计物理量的计算在混沌Hamilton系统的统计力学模拟中，我们通常关注的是系统的平均物理量。
通过对模拟过程中的轨迹进行时间平均或者相空间平均，可以计算出系统的平均动能、平均势能、平均总能量等物理量。
当代物理前沿专题之 混沌现象
这些都是我们在大学物理中学过的知识，后面还会再推导一次．象式（7.1）这样的方 程，它的解是完全确定的，可以写成
φ（t）＝Asin（ωt）+Bcos（ωt）
（7.3）．
两个常数A和B可以由初始条件，即t=0时的角位移φ（0）和角速
的系统，只要给定了初始条件，它今后的运动就完全确定了，任何时刻t的角位移和角速 度都可以精确地预言．如果初始条件发生小小的变化，摆的行为也变化不大，同样可以精确 预言．换句话说，摆的运动状态对于初始条件的细微变化并不敏感．
我们取静止点A的势能为0，因为势能总是相对于某个状态来测量的．式（7．13）中的g
是重力加速度，φ是前面已经提到过的角位移．质点m只能沿着半径为l的大圆运动，它的位 移是x=lφ（按弧度算），因此
写出牛顿方程
即
这里圆频率ω由摆长l决定，即
由于正弦函数可以展开成无穷级数
所以式（7.15）是一个非线性的微分方程．当角位移很小时，sin（φ）可以近似地换成 φ，得到前面的方程（7.1）．
我们首先解释一下线性运动模式这个概念．出现在单摆方程（7.1）的解（7.3）中的sin （ωt）和cos（ωt）是两种基本的运动模式，它们线性地叠加起来，组成摆的运动φ（t）． 同样的，sin（2ωt）或cos（6ωt），是另外一些基本模式，而cos2（ωt）不是基本的模式， 因为根据三角函数关系
它可以分解成1（这是ω=0的模式）和cos（2ωt）两种模式的线性组合． 对于一个遵从欧姆定律的线性电路，电压V，电流I和电阻R的关系是
这是一个参量驱动的阻尼摆，Ω是外驱动力的频率．现在它的运动不再达到静止状态（除非 初始状态是静止在原点）．在参量A的某些区域里，可以出现各种不同的振动或转动，或者两
混沌的几何特征
混沌的几何特征：•通过前面的一系列具体实例、李雅普洛夫指数和吸引子形态的分析，我们明白非线性系统的演化来自于驱动、耗散和非线性的共同作用。
•驱动使系统离开原来状态，耗散保持系统整体结构，非线性使系统具有几何与拓扑上的多样性。
•从几何学上理解混沌结构是有价值的。
•从简单例子开始：•帐篷映射：•锯齿映射：•这两类映射具有局域演变的两个特点：伸长与折叠。
•帐篷映射第一半是驱动过程，具有伸长性质；后一半是耗散反馈过程，将伸长又折叠回来。
构成局域的分叉甚至是混沌。
•几何示意图如下：•锯齿映射显得更为有趣：将x 看成角变量，映射是圆上的映射，x从0 到1 对应于旋转一周，映射前一半是圆周伸长一倍，后一半将圆周扭转成8 字型，再折叠成近似重合的一个圆：•可以看到，从几何上观察映射过程对应于系统在相空间中的伸长－扭转－折叠过程，具有明显几何构造特征。
•所以，非线性动力学系统在广域上是稳定的，在局域上是失稳的。
•对于二维及高维映射，有类似行为：•考虑折叠Baker映射：•考虑堆积Baker映射：•和折叠Baker映射的区别在于映射后上下两个半块是堆在一起，通量加倍了。
•再看Small马蹄映射：•这一过程通过伸长和折叠变成了一个马蹄。
•除了伸长、折叠、扭转之外，还有剪切过程存在，一般发生在三维情况下：•先是伸长，然后扭转，再是剪切。
•非线性系统演化是伸长、折叠、扭转、剪切，传统线性动力学只是岿然不动或者原地兜圈。
局域失稳导致分形特征：•从上述几何特征看出混沌系统首先要求局域失稳和广义稳定。
先讨论广域稳定的边界几何特征。
•非线性混沌动力学系统的奇异吸引子实际上就是其广域稳定性的表现。
很多情况下，这类广域边界是分形结构。
•从最经典的Julia和Mandelbrot迭代映射开始讨论问题。
•Julia集取名于法国数学家Gaston Julia，他在1915年开始研究简单复平面的迭代问题，在1918年发表一篇著名论文。
当时他研究的是一个复杂的多项式：z4+ z3/(z-1) + z2/(z3+ 4 z2+ 5)+ c。
具有隐藏吸引子的混沌系统的动力学分析
具有隐藏吸引子的混沌系统的动力学分析王文静; 安新磊; 于欢欢【期刊名称】《《宁夏大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(040)003【总页数】5页(P224-228)【关键词】隐藏吸引子; 周期解; Lyapunov指数; 哈密顿能量【作者】王文静; 安新磊; 于欢欢【作者单位】兰州交通大学数理学院甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O415.5吸引子理论是混沌学的重要组成部分,常见的吸引子有:Van der Pol, Belousov-Zhabotinsky, Lorenz, Rossler吸引子,以及其他混沌系统的吸引子,这些吸引子都位于不稳定的固定点的邻域,称之为自激吸引子．2010年,Kuznetsov等在经典的Chua系统中首次发现了一类特殊的混沌吸引子,这些吸引子的吸引盆不包含平衡点的邻域(特别地,没有奇点或者仅有稳定奇点的动力系统中的混沌吸引子都是隐藏的),将其称为隐藏吸引子[1—4]．近年来,关于隐藏吸引子问题的研究已成为混沌领域的热点．隐藏吸引子不是由不稳定平衡点激发的,它与自激吸引子有着完全不同的动力学特征[5]．在实际的工程应用中,隐藏的振荡行为是不期望的动力学行为,因而对于隐藏吸引子动力学行为的研究有着重要的工程应用意义．生物个体的新陈代谢、信号传播、动力系统以及多体系协作,能量供给是非常关键的因素[6]．非线性混沌系统都伴随着一定的能量转换和迁移[7]．稳定性是非线性系统需要考虑的一个重要指标[8],通过求出系统的能量函数,我们可以将复杂系统的状态分析转移到系统的能量函数上来[8]．本文对一个具有隐藏吸引子的混沌系统进行了基本的动力学分析,基于亥姆霍兹定理计算了其哈密顿能量函数,并对系统的能量损耗进行分析．1 具有隐藏吸引子的动力系统1.1 Jafari-Sprott系统的描述Jafari和Sprott[9]提出了系统(1)所示的一个特殊三维自治系统(1)式中:x,y,z为系统状态变量;a,b为系统参数．当a=15,b=1,初始状态(x,y,z)=(0,0.5,0.5),仿真时间为t=100 s时,系统(1)生成一个混沌系统．此时吸引子在各坐标上的投影和时间序列见图1和2．1.2 平衡点与稳定性基于上述参数条件,令系统(1)的求得系统的平衡点为(0,0,z),其中z∈R,并且系统没有其他的平衡点(即z轴是该系统的线平衡)．对于平衡点的稳定性,通过其Jacobian矩阵(2)及特征多项式图1 吸引子在三个坐标平面的投影图2 仿真时间t=100 s内的时间序列f(λ)=λ3-zλ2+λ(3)计算得(4)从计算结果看,一个特征值为0,另外两个特征值分别为由图1的投影可知,z的范围为(-2,1)．当z∈(-2,0)时,λ1=0, Re λ2<0.Im λ2>0,Re λ3<0,Im λ3<0,由Routh-Hurwitz稳定判据知,此时平衡点是稳定的；当z∈[0,1)时,λ1=0,Re λ3>0,Imλ3<0,平衡点是不稳定的．1.3 隐藏吸引子定义1 如果吸引子的吸引盆不包含平衡点的邻域,则这些吸引子被称作隐藏吸引子．例如,在没有稳定点、没有不稳定的稳定点或无穷多个稳定点(如具有线平衡点)的非线性系统中,观察到的吸引子,都是隐藏吸引子．在许多实际系统中(如Chua电路),各种自激吸引子与隐藏吸引子(吸引子)共存．以下将讨论系统(1)的隐藏吸引子．通过Matlab数值仿真,可得在参数a=15,b=1条件下系统(1)的相图(图3)．在此参数下,系统吸引子是隐藏的,原因为在平衡线上有无数的不稳定点,其中只有极小的部分接触混沌吸引子的盆地．因此,平衡不能帮助找到吸引子．通过仿真,可以从图3看出,蓝色部分为此系统的隐藏吸引子,红色部分为系统的平衡点[10]．图3 系统(1)在初值(0.0,0.5,0.5)条件下的吸引子2 动力学分析2.1 Poincare映射图Poincare映射是分析复杂动力系统的有效方式,可通过观察截面上截点的分布情况,判断系统的混沌性．若运动是混沌的,则其Poincare截面上是一些成片的具有分形结构的密集点．由初值为(0,0.5,0.5),(0,-0.5,0.5)状态下的截面(图4)可知,系统为混沌系统．2.2 参数的影响为了能够研究系统(1)的复杂动力学行为,运用数值方法对系统在不同参数条件下的动力学行为进行分析(表1),得到了1周期吸引子,2周期吸引子和混沌吸引子(图5)．图6给出了不同参数值a的Lyapunov 指数谱及在固定参数b=1时系统(1)关于a的分岔图和时间序列图．图4 不同初值下的Poincare映射图表1 不同参数条件下系统(1)的动力学行为参数值吸引子Lyapunov指数相图 a=24,b=1周期1[0,-0.046 5,-0.461 7]图3a a=19,b=1周期2[0,-0.183 2,-0.314 4]图3b a=15,b=1混沌[0.071 7,0,-0.5232]图3c图5 系统(1)在不同参数下的相图表1中,固定参数b,参数a分别为24,19,15时,得到的相图分别见图5a,5b,5c.由图5可知,上述参数值下,系统(1)的运动状态分别为1周期、2周期和混沌,即系统既具有周期态也存在混沌现象．由图6和7的Lyapunov指数谱、分岔图及x(t)的时间序列图可以看出,当a∈[14,17]时,系统没有周期行为,处于混沌状态(a1=15);当越过a=17之后,系统出现周期现象,呈现典型的22周期(a2=17.3),2周期(a3=19),1周期(a4=24)．由此可以得出,系统(1)具有典型的倒倍周期现象,从分岔图和时间序列图中可以更清晰地看出,系统具有混沌向周期态发展的趋势．图6 关于参数a的Lyapunov指数谱和分岔图图7 状态变量x(t)的时间序列图3 Hamilton函数为了分析系统(1)的Hamilton能量函数,将系统(1)简记为(5)式中x∈Rn,f(x)为光滑函数．由文献[6]知,f(x)满足以下关系：f(x)=fc(x)+fd(x)，(6)式中:fc(x)为涡旋场;fd(x)为梯度场．能量的变化来自于电场的做功,H(x,y,z)作为Hamilton能量,它满足以下方程: HT·fc(·)=0，(7)(8)则,对于系统(1),可以得到(9)由(9)式可知,Hamilton能量函数H(x,y,z)服从以下偏微分方程:(10)求解(10)式,有(11)同时,可以验证其微分系数与时间的关系,即ax·(y)-(-x+yz)+(-z-axy-bxz)=axy+x-yz-x-axy-bxz=-yz-bxz=0+(-1)(yz)+(-bxz)=HT·fd.以下讨论由(11)式中定义的Hamilton能量对系统(1)的能量转移．当参数a=1.5,b=1,初始值为(0.446,0,0.5,0.5)时,系统(1)的能量仿真图如图8所示.显然,一些尖峰的出现,使系统进入准周期时轨道增长缓慢．一旦发生混沌,能量和时间响应的一些尖锐峰值同时显著地出现．但更为显著的是,振幅的较大值对应于较小的能量值,仅仅是因为剧烈的混沌振荡消耗了大量的能量．图8 状态变量x和Hamilton能量H的时间响应图从这些观测和能量守恒定律来看,当系统(1)具有复杂的振荡时,能量以大振幅振荡．例如,混沌运动比准周期运动消耗更多的能量,以平滑的幅度体现在能量函数上．研究还发现,瞬态混沌现象对能量函数的振荡有较大的变化．4 结语本文针对Jafari-Sprott系统,通过数值仿真,模拟出此系统的运动轨迹,判断了系统在一定条件下是混沌的,并分析了系统的一些更为复杂的动力学行为,包括周期吸引子,混沌吸引子以及隐藏吸引子．利用分岔图和Lyapunov指数谱等,发现了系统由混沌通向周期的现象．最后,讨论计算了系统的Hamilton能量函数进而分析系统的能量转移．参考文献：【相关文献】[1] 赵汇涛.非线性动力系统的分支周期解与隐藏吸引子[D].昆明:昆明理工大学,2014.[2] JAFARI S, SPROTT J C. Elementary quadratic chaotic flows with no equilibria[J]. Physics Letters Section A General Atomic & Solid State Physics,2013,377(9):699-702.[3] MOLAIE M, JAFARI S, SPROTT J C, et al. Simple chaotic flows with one stable equilibrium[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos,2013,23(11):7.[4] WEI Zhouchao. Dynamical behaviors of a chaotic system with no equilibria[J]. Physics Letters A,2011,376(2):102-108.[5] 包涵,包伯成,林毅,等.忆阻自激振荡系统的隐藏吸引子及其动力学特性[J].物理学报,2016,65(18):1-12.[6] 王春妮,王亚,马军.基于亥姆霍兹定理计算动力学系统的哈密顿能量函数[J].物理学报,2016,(24):30-35.[7] SONG Xinlin, JIN Wuyin, MA Jun. Energy dependence on the electric activities of a neuron[J]. Chinese Physics B,2015,24(12):1-6.[8] 徐耀群,何少平,刘健.三角函数自反馈混沌神经网络能量函数研究[C]//中国智能自动化会议,2009:58-63.[9] JAFARI S, SPROTT J C. Simple chaotic flows with a line equilibrium[J]. Chaos Solitons & Fractals,2013,57(4):79-84.[10] DUDKOWSKI D, JAFARI S, KAPITANIAK T, et al. Hidden attractors in dynamical systems[J]. Physics Reports,2016,637:8.。
哈密顿动力学
⇒
[
p
x
,
L
x
]=−
∂ Lx ∂x
=0,
同理可得
[
解：取柱坐标（ R,φ,z ），以圆柱中心为势能零点，可求得
势能 动能
V
=
k 2
r
2=
k 2
R
2
z
2
T
=
m 2
R
2
˙
2
z˙
2
=T
2
⇒
L
=
m 2
R2
˙ 2
z˙
2
−
k 2
R2
z
2
⇒
p=
∂L ∂ ˙
=mR2
˙
,
p
z
=
∂ ∂
L z˙
=
m
z˙
⇒
˙ =
p mR2
,
˙z=
pz m
(*)
哈密顿函数
H
=T
V
=
1 2m
L=T
−V
⇒
p
=
∂L ∂ q˙
反解出 q˙ =q˙ q , p , t
(3) 依定义式 H =∑ p q˙ −L 或 H =T 2−T 0V 并利用
q˙ =q˙ q , p , t 消去 H 中的 q˙ , 使 H =H q , p ,t . (4) 代入正则方程 , 得出系统的运动方程 .
根据拉格朗日方程，我们最简单的做法是取
X
=
∂L ∂ q˙
则拉格朗日方程给出
X˙
=
∂L ∂q
, 而 q˙ 可以从
反解出来
即可得到 q˙ = f q , X , t , 再代入 得到 X˙ =g q , X ,t
电子系统中混沌现象的判据与准则
电子系统中混沌现象的判据与准则郑博仁【摘要】混沌作为非线性学科的一个重要分支,混沌现象的理论和应用研究是此学科的一个基本问题.就电子系统中混沌现象判据与准则的相空间重构法、庞加莱截面法、功率谱分析法、关联级数法、Lyapunov指数法和测度熵法等6种方法做了详细的描述和发展情况介绍,为研究利用电子系统中的混沌现象选择方法提供了一定指导.【期刊名称】《现代电子技术》【年(卷),期】2007(030)014【总页数】3页(P157-159)【关键词】相空间重构法;庞加莱截面;功率谱分析;关联级数;Lyapunov指数法;测度熵【作者】郑博仁【作者单位】重庆交通大学,计算机与信息学院,四川,重庆,400074【正文语种】中文【中图分类】TN7101 引言进入20世纪90年代，随着非线性动力学中混沌理论和分岔理论的建立，使非线性科学有了可靠的理论保证，并激励着众多的自然科学、工程学和数学工作者深入地探索和研究。
混沌和分岔的应用研究比理论研究更加活跃。
电子系统中同样存在着混沌现象，要很好地利用如混沌保密通信，混沌同步等，或要很好地消除混沌现象给电子系统性能带来的危害，需要对系统中可能或需要产生的混沌现象进行详细的分析。
混沌运动是存在自然界的一种普遍运动形式，要研究和应用他必须知道和观测到他的行动。
虽然可以直接观察状态变量随时间的变化和在相空间中观察轨迹，但是很明显，混沌运动是很复杂的，有时观察状态随时间变化就是时间很长也不一定能看出头绪，不对他进行加工分析，是不容易了解混沌运动的性质和有关频谱成分等方面的信息。
必须借助其他辅助手段来判定和分析混沌的发生及其运动规律，才能很好地应用或规避其反作用。
目前国内外普遍采用的方法有相空间重构、庞加莱截面法、功率谱分析、关联级数、Lyapunov指数和测度熵等方法来判断、分析混沌现象。
文章就目前这些方法的最新进展和具体使用规则做详细的介绍和比较，为研究、分析和应用电子系统中的混沌时选择方法提供指导，使分析者找到一种有效的分析工具以及验证分析的结果。
基于相图分割的Duffing混沌系统状态判定方法
基于相图分割的Duffing混沌系统状态判定方法高振斌;孙月明;李景春【摘要】判别Duffing混沌系统所处的状态是采用Duffing混沌振子进行微弱周期信号检测的关键问题.本文针对系统在混沌和大周期两种状态相图的明显区别,提出了一种基于相图分割的系统状态判定方法.该方法首先在相图中做一简单闭合区域,进而通过统计相轨迹点处于区域外的数量来识别系统的状态.给出了实现该方法的主要步骤,并从微弱信号检测成功率和运算复杂度的角度进行了分析.实验结果表明该方法可用于-30 dB信噪比下弱正弦信号的检测,并且硬件实现简单.【期刊名称】《河北工业大学学报》【年(卷),期】2015(044)001【总页数】5页(P23-27)【关键词】微弱信号检测;混沌;Duffing振子;相图分割;信噪比【作者】高振斌;孙月明;李景春【作者单位】河北工业大学电子信息工程学院,天津300401;河北工业大学电子信息工程学院,天津300401;国家无线电监测中心,北京100037【正文语种】中文【中图分类】TN911.23由于混沌系统具有对微弱信号敏感而对噪声免疫的特性，它在微弱信号检测领域得到了广泛的关注，开辟了新的应用空间．自1992年BrownR等人[1]首次提出了运用Duffing振子对初值敏感这一特性设计传感器的方法以来，混沌理论不断得到改进和发展．1997年，王冠宇等人[2-3]研究了Duffing振子在微弱信号检测方面的应用，实现已知频率下信号幅度的测量，并把可以检测的信噪比范围延伸到为26dB，对这一领域的发展起到了推动作用．之后，哈尔滨工业大学的聂春燕[4]又对Duffing振子阵列扫描的方法进行了研究，以此测量微弱正弦信号的幅值、相位、频率等参数，获得较好的效果．由此可知，Duffing混沌系统在微弱信号检测中领域具有很大优势，提供了与传统检测方法不同的检测途径．实际应用中，混沌系统状态的准确判定是Duffing振子成功用于微弱信号检测的关键．传统的时序图法不利于计算机自动处理，而Lyapunov指数法又易于受到噪声的影响．本文利用Duffing振子系统在状态变化前后相轨迹的明显差别，提出了一种基于相图分割的微弱信号检测方法，并通过计算说明其可行性．1.1 Duffing振子信号检测原理根据已有的研究成果，本文采用和文献[5]相同的Duffing振子检测系统模型[5] 其中：k是阻尼比；χt+χ3t是非线性恢复力；cos0t是周期性策动力；χit为待测信号．由混沌理论可知，没有待测信号χit时（χit=0），在k固定的情况下，从0逐渐增大的过程中，方程的解所形成的相空间轨迹会依次表现为同宿轨道、倍周期分岔轨道和混沌状态[4]．且当增大到由混沌转向大周期的临界值d时，轨迹会突然发生变化，从混沌状态转向大周期状态，如图1所示．依据这个特点，可以得到使用混沌系统检测微弱正弦信号的原理：如果把系统的策动力的幅值设为略小于临界值d，使混沌系统处于临界状态．然后将待测信号χit 输入系统，如果系统的相轨迹从混沌状态变为大尺度周期状态，就说明待测信号中包含有与内策动力信号频率相同的正弦信号．基于这一原理检测微弱正弦信号时，需要解决的关键问题是如何区分系统是处于混沌状态还是大周期状态．由于待测信号中存在噪声，相图中的轨迹曲线变得模糊．直接观察系统相轨迹图判别系统状态的传统方式，虽然简洁直观，但不宜于在计算机上或电路上实现自动判断．时序图法可通过示波器一次输出多个信号状态，而混沌状态和大周期状态所对应的时序波形不同，比较即可区分，效率确实得到了提高，但由于系统在临界状态下时序波形多样，难以分辨，检测效果仍不理想．相对而言准确性高的Lyapunov指数法经过数值计算，以定量指标作为标准，分析轨迹趋势，判断运动状态，但原理与计算方法都较为复杂，并且受噪声影响较大．针对这一问题，本文采用相图分割的方法判别系统状态，以实现微弱信号检测目的．1.2 基于相图分割的系统状态判别方法由于Duffing振子系统在混沌状态和大周期状态时系统相图截然不同，如果在其相对规则的环状轨道内设置一个尽可能大的封闭区域，那么大周期状态下轨迹点主要集中在区域外，混沌状态下部分轨迹点落在区域内．通过统计相轨迹点处于区域外的数量，就可以判定相系统的状态．注意到Duffing振子的相图特征，相图分割法的基本思路是：在Duffing振子的二维相图中做出一封闭区域，把相轨迹图中所有点分为域内点和域外点2部分，域外点占总轨迹点数的比例越大，说明系统越接近大周期状态．具体实现步骤为：1）在Duffing振子的规则环状轨道内建立一尽可能大的不与该轨道相交的封闭区域，并且边界线方程要取的尽量简单些．2）统计相轨迹在区域内和区域外的点，并求出区域外的点数No占总点数Nt的比值Nr=No/Nt．3）对输出结果的解释是：比值足够大，说明点主要集中在区域外，符合大周期状态特点，判定输入中存在正弦信号．根据实现步骤，本文选择方形区域这种非常容易实现的方式，即方域分割，边界线如图2所示，边界线方程为式中：R为方形区域的边长，其选取应满足不与环形轨迹相交并且要使得方形区域尽可能大．2.1 可行性实验研究由于Duffing方程为非线性方程,它不存在解析解,故只能依靠计算机数值计算来求出它的解．计算中采用定步长四阶龙格-库塔方法对Duffing方程进行求解．对于Duffing方程(1)，取k=0.5，=0.8075，初值χ0,y 0=1,1使系统处于混沌临界状态．待测信号χit=s t+n t，其中s t为正弦信号s t=0.02cosit，i=20，n t 为不同强度的高斯白噪声．将待测信号χit送入方域分割Duffing振子检测系统．使用四阶龙格-库塔方法求解，计算步长h=0.005，方域边长R=1．在系统输入信噪比为SNR=0dB，10dB，20dB，27dB，30dB，37dB的条件下，分别令系统周期性策动力的角频率0=15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25进行计算．根据混沌系统信号检测理论，当周期策动力的频率与待测信号中正弦信号的频率相同，即0=20时，系统由混沌状态转为大周期状态，此时，区域外的点数No占总点数Nt的比值Nr取最大值．不同信噪比下计算的结果如图3所示．图中横坐标为信号搜索使用的系统周期策动力角频率0，纵坐标为该频率下相轨迹中方域外的点占总的相轨迹点数的比值Nr．图3a）、图3b）给出了信噪比为10dB和20 dB的条件下的结果．可以看出，比值Nr最大时对应的0与待测信号中正弦信号频率相同，符合理论预测；图3c）、图3d）都是信噪比为30dB时得到的计算结果，但图3c）所示跟理论预测相符，能检测到信号，图3d）所示不符合理论预测，检测失败．这是因为在仿真计算过程中，噪声是随机产生的．由于噪声的随机性，相同信噪比条件下的噪声信号也会有所不同，单次检测结果出现偶然性．为了使检测结果正确可靠，在同一信噪比下重复上述过程，进行多次实验，再统计各个搜索频率下得到最大Nr的次数Pi，Pi=第i频率下Nri大于其他各频率下Nr的次数/总试验次数Pi即判定输入中有该频率正弦信号的概率．如果某一频率下的概率值Pi明显大于其他频率点，则可以认为输入中有该频率的正弦信号，具体方法如下．取实验次数为500，方域分割检测微弱信号的实现步骤为：1）根据设定的参数，依次选取0dB到37dB信噪比的待测信号输入到检测系统，统计方域内、外点数，得到0=15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25的11个频率点下，相应相轨迹图中方域外的轨迹点占总轨迹点数的比值Nri．2）求取Nri最大值对应的0．将该频率点得到最大Nri的次数Ci加1．3）重复上述过程500次，求各频点下得到最大百分比的次数Ci，除以总实验次数500，得到被判定输入中包含该频率正弦信号的概率Pi．实验结果如图4所示．图中横坐标为系统搜索使用的频率点0，纵坐标为该频率下，500次计算后相轨迹图中Nri最大的概率Pi，也就是判定输入中包含该频率信号的概率．从图4来看，信噪比逐渐降低的过程中，检测成功率也不断下降，如表1所示．由表1可以看出，在信噪比取值为0dB，10dB，20dB时，Nri最大值对应的0全部与待检信号频率i相同，即单次检测成功的概率为100%，说明信噪比较高的情况下方域分割法的检测性能很好．降低待测信号信噪比至27dB，虽然Nri最大值对应频率0i的次数不为0，但其仅为总次数的1.8%，但检测效力依然较高．进一步降低信噪比至30dB，从图4c）中可以看到0i时Pi较之前波动的幅度增大，最大达到了5.52%．当信噪比降为37dB时，0=15，16，……，25各频率点对应的Pi分别为12.4%，12.4%，10.4%，7%，6.4%，25.4%，5.8%，6.8%，5.8%，3.2%，4.4%，但在0=i时Pi=25.4%，大于其他频率下Pi的取值，而且区别比较明显，可以认为输入中含有该频率的正弦信号．因此，方域分割法能用于信噪比大于30dB时信号检测．在信噪比更低时，检测性能逐渐变差，但通过多次检验仍可以推断出输入中可能含有某频率分量的信号．2.2 可实现性分析在使用数字电路实现基于混沌振子的信号检测系统中，为了节省资源，一般使用归一化定点数进行运算．为了统计方域外的轨迹点数，需要把轨迹点坐标（x,y）中x和y的值与阈值进行比较，x、y中任何一个大于阈值则说明此轨迹点在方域外．对方域外轨迹点的个数进行记数即可判定系统状态．方域分割的实现结构如图5．判别流程具体为：1）将算法实现过程中求解所得到的轨迹点的坐标（x,y）分别与设定的阈值进行比较，当x,y的绝对值大于阈值时，比较器输出为'1'．2）两个比较器的输出经过或门给到计数器A的计数使能端，当使能端为'1'时计数器A计数．3）计数器A记录方域为轨迹点的个数，计数器B记录所有轨迹点的个数．4）计数得到的值通过除法器，得到的即为方域外点所占百分比．需要说明的是，在使用定点数运算时可以简化比较器电路，只对部分有效位进行比较．比如可以只比较整数部分是否大于1，或只判断其中某一位为'1'即可．另外，在每次循环计算的输入数据个数一定时，计数器B可以省略，而且也不需要再进行除法运算．因此，方域分割法判定系统混沌状态的实现电路较为简单．本文根据Duffing振子混沌系统在混沌状态和大周期状态下相轨迹的明显差别，提出了基于相图分割的微弱正弦信号检测方法．在输入信噪比优于20dB时，通过一次检测即可判定输入信号的频率，检测效果良好．在输入信噪比更低时，可通过多次检测求概率的方法判定输入中含有某频率成分的信号．从硬件实现的角度来看，方域分割法判定系统状态仅需要比较器、计数器和除法器，且比较器可简化，除法器可省略，比较易于工程实现．在工程实际中，可以根据具体条件，选择合适的实施方案．【相关文献】[1]BrownR，ChuaL，PoppB．Issensitivedependenceoninitialconditionsnature'ssen-sorydevice[J]．InternationalJournalofBifurcationandChaos，1992，2（1）：193-199．[2]王冠宇，陶国良，陈行，等．混沌振子在强噪声背景信号检测中的应用[J]．仪器仪表学报，1997，18（2）：209-212．[3]王冠宇，陈大军，林建亚，等．Duffing振子微弱信号检测方法的统计特性研究[J]．电子学报，1998，26（10）：38-44．[4]聂春燕，石要武，刘振泽．混沌系统测量nV级正弦信号方法的研究[J]．电工技术学报，2002，17（5）：87-90．[5]王雅曼．弱信号检测技术研究[J]．科技创新导报，2011（7）：13-14．。
哈密顿系统中混沌的几何判据
哈密顿系统中混沌的几何判据【摘要】：用几何方法研究哈密顿系统的混沌是近二十年来出现的新领域。
本论文研究了几类典型的哈密顿系统,并给出了一系列哈密顿系统混沌的几何判据,揭示了哈密顿系统内在的几何性质与其混沌行为的本质联系。
第二章我们推广了L.Horwitz等人在2007年提出的判断混沌的几何方法,使得该方法不仅适用于标准哈密顿系统,还适用于势能与动量弱耦合的情况。
提出了平均不稳定比(MUR)的概念,并对Dicke模型的经典系统做了计算。
推广的方法MUR不仅和Poincare 截面方法的结果吻合得很好,而且在数值稳定性上优于人们熟知的最大李雅普诺夫指数方法。
第三章主要研究了二维哈密顿系统势能面、等势线与混沌之间的关系。
我们发现势能面的凹陷区域是稳定区域,凸起区域和既不凸也不凹的区域都是不稳定的。
另外还证明了如果系统的等势线有凹向平衡点的部分,系统将是不稳定的。
以此为依据我们提出了判断二维哈密顿系统混沌的平均凸指标(MCI)和凹比率(CR)。
我们对典型的混沌模型进行数值计算后,发现MCI、CR和Poincare截面、L.Horwitz等人的新几何方法的数值结果完全一致。
MCI和CR直观简洁,为混沌的几何研究方法提供了新观点和新内容。
第四章研究了Dicke模型中混沌与几何相位之间的联系。
当光场和原子的耦合强度增大至临界点时,Dicke系统的能级间距概率分布从泊松分布变为Wigner分布,而Wigner分布被视为量子混沌的标志,这说明Dicke量子系统在临界点开始出现量子混沌；与Dicke量子系统对应的经典系统在临界点也从规则运动变为混沌运动。
在临界点处Dicke量子系统基态的几何相位即Berry相位也发生了剧烈的变化。
我们引入了几何相位阶数的概念,Dicke系统几何相位的阶数在临界点从有限值跃变为∞。
我们把Dicke量子系统基态几何相位阶数的跃变作为量子混沌出现的标志。
【关键词】：哈密顿系统混沌量子混沌几何方法几何相位【学位授予单位】：山西大学【学位级别】：博士【学位授予年份】：2011【分类号】：O415.5【目录】：中文摘要8-10ABSTRACT10-12第一章绪论12-341.1混沌研究简史12-141.2混沌的基本特征14-171.3哈密顿系统中的混沌17-241.3.1哈密顿力学17-201.3.2KAM定理20-241.4混沌研究的常用方法24-31参考文献31-34第二章混沌研究的几何方法34-502.1混沌研究的几何方法34-372.2混沌的新几何判断方法37-422.3推广的新几何判断方法42-462.4小结46-47参考文献47-50第三章二维哈密顿系统中的势能面、等势线与混沌50-683.1二维哈密顿系统的不稳定判据50-523.2二维哈密顿系统中的势能面与混沌52-573.3二维哈密顿系统中的等势线与混沌57-653.4小结65-66参考文献66-68第四章混沌与几何相位68-904.1量子混沌68-764.1.1能谱的统计描述68-714.1.2无规矩阵理论71-744.1.3量子混沌的特征74-764.2几何相位76-794.3Dicke模型中的混沌与几何相位79-854.3.1Dicke模型中的混沌79-834.3.2Dicke模型中的几何相位83-854.4小结85-86参考文献86-90总结与展望90-92附录数值计算中的辛算法92-95参考文献95-96研究成果96-98致谢98-102 本论文购买请联系页眉网站。
经典混沌量子力学
经典混沌量子力学经典混沌理论是一种描述非线性动力学系统的方法，它探讨系统中微小差异对结果影响的情况。
量子力学则是一种研究微观粒子行为的理论，这两个领域之间的结合体——混沌量子力学则是将两者相结合的一种新的研究方向。
混沌量子力学探讨了原子及分子系统中的非线性动力学行为。
在这个领域中，研究者们发现，量子系统的非线性动力学行为比经典系统更加难以预测和理解，这也反映了量子系统的本质。
虽然混沌量子力学的研究仍然处于初级阶段，但它已经为科学家们探索新的物理学领域打开了一扇大门。
混沌现象是一种难以预测的极其复杂的现象。
这种现象在混沌量子力学中被描述为量子系统中的微幺正推动，即量子系统的微观状态发生微小变化后，整个系统的宏观行为便难以预测。
导致混沌现象的一个主要因素是量子反馈，即微观粒子状态的变化会影响系统中其他粒子的状态。
这种反馈是量子系统中的一种内在关系，导致量子系统的复杂性增加。
在混沌量子力学中，经典的拉普拉斯算符被量子力学中的哈密顿量取代。
哈密顿量描述了系统中各个粒子的能量和位置，并指导系统在时间尺度上的演化。
混沌量子力学的研究着重于分析系统中微小扰动对整个系统的影响。
通过将量子哈密顿量表示为算符的形式，混沌量子力学可以将系统中微观粒子状态的微小变化转化为整个系统在时间上的变化。
混沌量子力学研究中的一个重要概念是正则形式。
在正则形式下，哈密顿量被表示为位置和动量的函数，并且动量被定义为哈密顿量对位置的导数。
通过正则形式，混沌量子力学可以考虑到系统中各个粒子之间的相互作用，并将这些相互作用的效应整合到量子算符中。
混沌量子力学的研究有助于科学家们深入了解粒子物理学中的混沌现象，解决一些经典物理学中的漏洞。
特别是在复杂系统的研究中，混沌量子力学的概念被广泛应用。
此外，在量子信息学和量子计算中，混沌量子力学也发挥着重要的作用。
总之，混沌量子力学是传统量子力学的拓展，它属于一个新的物理学门类，并为当前和未来的物理学研究提供了新的方向。
nl08
周济林
1、二自由度哈密顿系统Poincare截面
根据Liouville定理，对于可积哈密顿系统：存在一 组正则共扼坐标(J,θ)，使得哈密顿函数仅含J。故哈 密顿系统的解为：
& & J i = 0, θ i =
∂H ∂J i
= ω ( J1 , J 2 ,...J n )
例子：
说明：下述三图由黎健提供
小结：动力系统解的形式（保守或耗散）
1、不动点 2、周期解 3、拟周期解 4、混沌运动 混沌＝初值敏感性＝随机性 混沌：数学上：一定条件下轨道唯一确定 (解的存在唯一性定理) 物理上：解有误差，误差随时间指数增长
θ i = ωi ( J1 , J 2 ,...J n )t + β i
考察二自由度可积哈密顿系统 其解为：
作Poincare截面：
2、近可积哈密顿系统的解的特点
采用生成函数
生成的近恒 等变换：
此变换下新的哈密顿函数为：
故：
得：Biblioteka Diophantinedet(
∂ H0 ∂J i J k
2
)≠0
受摄扭转映射在作用量的一个环域内一定存在2n个不 动点，其中n个为椭圆点，另外n个为双曲点，且椭圆 点与双曲点相间。
由KAM理论和Birkhoff定理给出的两自由度哈密顿 系统截面或2维保面积映射的典型图象
混沌
不变环面存在的意义：
在二自由度系统中，2维不变环面的存在可以保证 环面内轨道的稳定性，但对于N自由度(N>2)，N维 环面不能分割2N-1维运动流形，故轨道仍可以扩散。 这就是Arnold扩散。
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哈密顿系统中混沌的几何判据
【摘要】：用几何方法研究哈密顿系统的混沌是近二十年来出现的新领域。
本论文研究了几类典型的哈密顿系统,并给出了一系列哈密顿系统混沌的几何判据,揭示了哈密顿系统内在的几何性质与其混沌行为的本质联系。
第二章我们推广了L.Horwitz等人在2007年提出的判断混沌的几何方法,使得该方法不仅适用于标准哈密顿系统,还适用于势能与动量弱耦合的情况。
提出了平均不稳定比(MUR)的概念,并对Dicke模型的经典系统做了计算。
推广的方法MUR不仅和Poincare 截面方法的结果吻合得很好,而且在数值稳定性上优于人们熟知的最大李雅普诺夫指数方法。
第三章主要研究了二维哈密顿系统势能面、等势线与混沌之间的关系。
我们发现势能面的凹陷区域是稳定区域,凸起区域和既不凸也不凹的区域都是不稳定的。
另外还证明了如果系统的等势线有凹向平衡点的部分,系统将是不稳定的。
以此为依据我们提出了判断二维哈密顿系统混沌的平均凸指标(MCI)和凹比率(CR)。
我们对典型的混沌模型进行数值计算后,发现MCI、CR和Poincare截面、L.Horwitz等人的新几何方法的数值结果完全一致。
MCI和CR直观简洁,为混沌的几何研究方法提供了新观点和新内容。
第四章研究了Dicke模型中混沌与几何相位之间的联系。
当光场和原子的耦合强度增大至临界点时,Dicke系统的能级间距概率分布从泊松分布变为Wigner分布,而Wigner分布被视为量子混沌的标志,这说明Dicke量子系统在临界点开始出现量子混沌；与Dicke量子系统对
应的经典系统在临界点也从规则运动变为混沌运动。
在临界点处Dicke量子系统基态的几何相位即Berry相位也发生了剧烈的变化。
我们引入了几何相位阶数的概念,Dicke系统几何相位的阶数在临界点从有限值跃变为∞。
我们把Dicke量子系统基态几何相位阶数的跃变作为量子混沌出现的标志。
【关键词】：哈密顿系统混沌量子混沌几何方法几何相位
【学位授予单位】：山西大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2011
【分类号】：O415.5
【目录】：中文摘要8-10ABSTRACT10-12第一章绪论12-341.1混沌研究简史12-141.2混沌的基本特征14-171.3哈密顿系统中的混沌17-241.3.1哈密顿力学17-201.3.2KAM定理20-241.4混沌研究的常用方法24-31参考文献31-34第二章混沌研究的几何方法34-502.1混沌研究的几何方法34-372.2混沌的新几何判断方法37-422.3推广的新几何判断方法42-462.4小结46-47参考文献47-50第三章二维哈密顿系统中的势能面、等势线与混沌50-683.1二维哈密顿系统的不稳定判据50-523.2二维哈密顿系统中的势能面与混沌52-573.3二维哈密顿系统中的等势线与混沌57-653.4小结65-66参考文献66-68第四章混
沌与几何相位68-904.1量子混沌68-764.1.1能谱的统计描述68-714.1.2无规矩阵理论71-744.1.3量子混沌的特征74-764.2几何相位76-794.3Dicke模型中的混沌与几何相位79-854.3.1Dicke模型中的混沌79-834.3.2Dicke模型中的几何相位83-854.4小结85-86参考文献86-90总结与展望90-92附录数值计算中的辛算法92-95参考文献95-96研究成果96-98致谢98-102 本论文购买请联系页眉网站。