2020大庆市中考数学试题(word版)及参考答案

2020大庆市中考数学试题及参考答案
一、单选题
1．－1，0，π ）
A ．－1
B ．0
C ．π
D 2．天王星围绕太阳公转的轨道半径长约为2 900 000 000km ，数字2 900 000 000用科学记数法表示为（ ）
A ．82.910⨯
B ．92.910⨯
C ．82910⨯
D ．100.2910⨯ 3．若2|2|(3)0x y ++-=，则x y -的值为（ ）
A ．－5
B ．5
C ．1
D ．－1
4．函数y =
x 的取值范围是（ ） A ．0x ≤ B ．0x ≠ C ．0x ≥ D ．12x ≥ 5．已知正比例函数1y k x =和反比例函数2k y x
=
，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合120k k ⋅>的是（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．③④ 6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．在一次青年歌手比赛中，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5，9.4，9.6，9.9，9.3，
9.7，9.0（单位：分）．若去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个
统计量是（ ）
A ．平均分
B ．方差
C ．中位数
D ．极差
8．底面半径相等的圆锥与圆柱的高的比为1：3，则圆锥与圆柱的体积的比为（ ） A ．1：1 B ．1：3 C ．1：6 D ．1：9
9．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m 和6，8，n ，且这两个直角三角形不．相似，则m n +的值为（ ）
A
．105+ B ．15 C ．10 D ．15+10．如图，在边长为2的正方形EFGH 中，M ，N 分别为EF 与GH 的中点，一个三角形ABC 沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A 恒在直线MN 上，当点A 运动到线段MN 的中点时，点E ，F 恰与AB ，AC 两边的中点重合．设点A 到EF 的距离为x ，三角形ABC 与正方形EFGH 的公共部分的面积为y ，则当52
y =时，x 的值为（ ）
A ．74或22+
B ．2或22-
C ．22±
D ．74或2
二、填空题
11．点(2，3)关于y 轴对称的点的坐标为_____．
12．分解因式：34a a -=______．
13．一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ． 14．将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置，若108AOD ∠=︒，则COB ∠=_________．
15．两个人做游戏：每个人都从－1，0，1这三个整数中随机选择一个写在纸上，则两人所
写整数的绝对值相等的概率为_________．
16．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第20个图需要黑色棋子的个数为_________．
17．已知关于x 的一元二次方程220x x a --=，有下列结论：
①当1a >-时，方程有两个不相等的实根；
②当0a >时，方程不可能有两个异号的实根；
③当1a >-时，方程的两个实根不可能都小于1；
④当3a >时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．
以上4个结论中，正确的个数为_________．
18．如图，等边ABC ∆中，3AB =，点D ，点E 分别是边BC ，CA 上的动点，
且BD CE =，连接AD 、BE 交于点F ，当点D 从点B 运动到点C 时，则点F 的运动路径的长度为_________．
三、解答题
19．计算：1
015(1)3π-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭
20．先化简，再求值：2(5)(1)(2)x x x +-+-，其中x =
21．解方程：24111
x x x -=-- 22．如图，AB ，CD 为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M ．从建筑物AB 的顶点A 测得M 点的俯角为45°，从建筑物CD 的顶点C 测得M 点的俯角为75°，测得建筑物AB 的顶点A 的俯角为30°．若已知建筑物AB 的高度为20米，求两建筑物顶
点A 、C 之间的距离（结果精确到1m 1.414≈ 1.732≈）
23．为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如下的频数直方图，图中的a ，b 满足关系式23a b =．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．
（1）求问题中的总体和样本容量;
（2）求a ，b 的值（请写出必要的计算过程）；
（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）
24．如图，在矩形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，过点O 作直线分别与矩形的边AD ，BC 交于M ，N 两点，连接CM ，AN ．
（1）求证：四边形ANCM 为平行四边形；
（2）若4=AD ，2AB =，且MN AC ⊥，求DM 的长
25．期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%？至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
26．如图，反比例函数k y x =与一次函数(1)y x k =--+的图象在第二象限的交点为A ，在第四象限的交点为C ，直线AO （O 为坐标原点）与函数k y x =
的图象交于另一点B ．过点A 作y 轴的平行线，过点B 作x 轴的平行线，两直线相交于点E ，AEB △的面积为6．
（1）求反比例函数k y x
=上的表达式； （2）求点A ，C 的坐标和AOC △的面积．
27．如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径
的O 交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作
DM AC ⊥，垂足为M ，AB 、MD 的延长线交于
点N ．
（1）求证：MN 是O 的切线； （2）求证：()2DN BN BN AC =⋅+；
（3）若6BC =，
3cos 5C =，求DN 的长．
28．如图，抛物线212y ax bx =++与x 轴交于A ，B 两点（B 在A 的右侧），且经过点()17C -,和点D ()5,7．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）连接AD ，经过点B 的直线l 与线段AD 交于点E ，与抛物线交于另一点F ．连接CA ，CE ，CD ，CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7．点P 为直线l 上方抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为t ．当t 为何值时，PFB △的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线212y ax bx =++上，当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤，求m n
-的取值范围．（直接写出结果即可）
2020大庆市中考数学试题参考答案
一、填空题
1．C
2．B
3．A
4．C
5．B
6．B
7．C
8．D
9．A
10．A
二、选择题
11．(﹣2，3)
12．()()22a a a +-
13．8
14．72.︒
15．59
16．440
17．①③
18 三、解答题
19．解：原式513=-+
43=+
7=．
20．解： 原式225544x x x x x =-+-+-+
221x =-
将3x =代入得：原式22(3)12315=⨯=⨯-=-．
21．解： 24111
x x x -=--， 去分母得：214x x -+=，
解得：3x =．
检验：把3x =代入1x -中，得-=-=≠13120x ，
∴3x =是分式方程的根．
22. 解：如图，过点A 作AN CM ⊥于点N
由题意得：45AMB EAM ∠=∠=︒，75FCM ∠=︒，30CAE ∠=︒，////CF AE BD 180105BMC FCM ∴∠=︒-∠=︒，60AMN BMC AMB ∠=∠-∠=︒
30ACF CAE ∠=∠=︒，45ACN FCM ACF ∠=∠-∠=︒
90,45B AMB ∠=︒∠=︒，20AB =米
Rt ABM ∴是等腰直角三角形
2202AM AB ∴==（米）
在Rt AMN △中，sin AN AMN AM ∠=，即3sin 602202
=︒= 解得106AN =（米）
在Rt ACN 中，45ACN ∠=︒
Rt ACN ∴是等腰直角三角形
2210620320 1.73234.6435AC AN ∴==⨯=≈⨯=≈（米）
答：两建筑物顶点A 、C 之间的距离为35米．
23．解：（1）总体是某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，样本容量是40 （2）设23a b m ==，则,23
m m a b ==， 根据题意可得一分钟跳绳次数在100次以上的人数有20人，
即a+b=20，
2023
m m +=，解得24m =， ∴a=12，b=8；
（3）8100020040
⨯=（人）， 答：该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．
24．解：（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形
∴//AD BC ，//AM NC
∴AMN MNC MAC ACN ∠=∠∠=∠，
在△AOM 和△CON 中
AMN MNC MAC ACN AO CO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AOM ≌△CON
∴=AM NC
又∵//AM NC
∴四边形ANCM 为平行四边形．
（2）∵四边形ANCM 为平行四边形
∵MN AC ⊥
∴平行四边形ANCM 是菱形
∴AM AN NC ==
∵4AD BC ==
设BN 的长度为x
在Rt △ABN 中，2AB =，4AN x =-
222AB BN AN +=
2222(4)x x +=-
32
x = 52AN AM ==
∴32
DM = 25．解：（1）设购买一个甲种笔记本x 元，一个乙种笔记本y 元，
由题意得：51520250x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：105x y =⎧⎨=⎩
， 答：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元．
（2）设需要购买a 个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为w ， 调价之后，甲种笔记本的单价为：10-2=8（元），
乙种笔记本的单价为：5×0.8=4（元），
8a+4（35-a ）≤250×90%， 解得：854
a ≤， 至多需要购买21个甲种笔记本，
()84354140w a a a =+-=+，
当a=21时，w=224，
答：购买两种笔记本总费用的最大值为224元．
26．解：（1）由题意得：()1k y x y x k ⎧=⎪⎨⎪=--+⎩
()1,k x k x
∴=--+ ()210,x k x k ∴+++=
()()10,x k x ∴++=
12,1,x k x =-=-
当11,1,x k y =-=-
当221,,x y k =-=-
经检验：符合题意． k ＜0,
()()1,,,1,A k C k ∴----
,A B 为OA 与k y x
=的交点，
()1,,B k ∴
//AE y 轴，//BE x 轴，
()1,,E k ∴-
()2,112,AE k k k BE ∴=--=-=--= AEB 的面积为6． 16,2AE BE ∴•=
()1
226,2k ∴⨯⨯-=
3,k ∴=-
∴ 反比例函数为：3
.y x =-
（2）()()1,,,1,A k C k ----3,k =-
()()1,3,3,1,A C ∴-- 直线AC 为2y x =-+，
记AC 与x 轴的交点为D ，
令0,y = 则20,x -+=
2,x ∴=
()2,0,D ∴
AOC AOD DOC S S S ∴=+
1
1
2321 4.22=⨯⨯+⨯⨯=
27．证明：（1）如图，连接OD ，
∵AB 为O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC ，
∴BD=CD ，点D 为BC 的中点，
又∵AO=BO ，
∴OD 为△ABC 的中位线，
∴OD ∥AC ，
∵DM AC ⊥，
∴OD ⊥MN ，
故MN 是O 的切线．
（2）∵∠ADB=90°，
∠1+∠3=90°，
∵DM AC ⊥，
∴∠3+∠5=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠5，
∵AB=AC ，AD ⊥BC ，
∴∠4=∠5，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠4，
∵∠N=∠N ，
∴△BND ∽△DNA ， ∴BN DN DN AN =， ∵AB=AC ， ∴BN
DN
DN
DN BN AB BN AC ==++，
∴()2DN BN BN AC =⋅+
（3）∵6BC =，
∴BD=CD=3，
∵3
cos 5C =，
∴AC=5cos CD
C =，
∴AB=5，
由勾股定理可得AD=4，,
由（2）可得，△BND ∽△DNA ，
∴3
4BN DN BD
DN AN AD ===
∴3
4BD DN =，
∵34
DN AN =， ∴34DN AB BN =+，即33454
DN DN =+， 解得：607
DN =． 28．解：（1）把()17
C -,和点()5,7代入：212y ax bx =++， 127255127a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩ 解得：1,4
a b =-⎧⎨=⎩ 所以：抛物线为：2412y x x =-++，
（2）2412y x x =-++,
令0,y = 则24120,x x -++=
解得：122,6,x x =-=
()()2,0,6,0,A B ∴-
过D 作DQ x ⊥轴于,Q 过E 作EH x ⊥于H ，则//,DQ EH ()5,7,D
7,QA QD ∴== 45,DAQ ∠=︒
CED 的面积与CAD 的面积之比为1：7，
1,7
DE DA ∴= //,DQ EH
1,7
DE HQ DA AQ ∴== 1,6,HQ AH ∴==
4,OH ∴=
45,DAQ ∠=︒
6,EH AH ∴==
()4,6,E ∴
设BE 为：,y kx b =+
4660k b k b +=⎧∴⎨+=⎩ 解得：3,18k b =-⎧⎨=⎩
BE ∴为：318,y x =-+
2318,412y x y x x =-+⎧∴⎨=-++⎩ 解得：121216,,150
x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ()1,15,F ∴
过P 作PG x ⊥轴于G ，交BF 于,M
设()
2,412,P t t t -++
则(),318,M t t -+ ()2241231876,PM t t t t t ∴=-++--+=-+-
()15,22BPF B F S PM x x PM =•-= 当PM 最大，则PFB △的面积最大，
所以：当()772212
b t a =-=-=⨯-时，4949256,424
PM =-
+-=最大 所以PFB △的最大面积＝525125.248⨯=
（3）2412,y x x =-++
令0,12,x y ==
记抛物线与y 轴的交点为,N 过N 作//NK x 轴交抛物线于K ， ()0,12,N ∴
令12,y = 则241212,x x -++= 解得：120,4,x x ==
()4,12,K ∴
()22412216,y x x x =-++=--+ ∴抛物线的顶点()2,16, 当1216y ≤≤时，
04,x ∴≤≤
当m x n ≤≤时，y 的取值范围是1216y ≤≤， 02,24,m n ∴≤≤≤≤ 42,m n ∴-≤-≤-。