高中数学最新课件-高三数学解三角形 精品

图形
关系 式 解的 个数 a<bsin a＝ A bsinA Bsin A<a<b a ≥b a>b a ≤b
无解
一解
两解
一解
一解
无解
3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰 角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角， 如B点的方位
角为α (如图②)．
(3) 方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东α °即由指北方向顺时针旋转α °到达目标方向． ②北偏西α °即由指北方向逆时针旋转α °到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．
(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④ ，角θ 为 坡角)． 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比)．
第七节
解三角形
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单 考 的三角形度量问题. 纲 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 点 决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 击 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进 而进行恒等变换解决问题. 2.与三角形有关的问题在考查正弦定理、余弦 定理和面积公式的同时，考查三角恒等变换， 这是高考的热点. 3.本节内容与实际生活紧密相连，是高考命题 的热点，应高度重视.
4．△ABC 的面积公式 (1)S= (ha 表示 a 边上的高)；
1 1 abc (2)S=absinC= acsinB＝ bcsinA＝ (R 为外接圆半径)； 2 2 4R 1 (3)S＝ r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)． 2
1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成
(2)因为 a2＝b2＋c2－2bccosA， 所以 49＝25＋c2－10ccos60°，解得 c＝8.
【方法点评】 1.已知两边和一边的对角解三角形时，可有两 解、一解、无解三种情况，应根据已知条件判断解的情况，主要是 根据图形或由“大边对大角”作出判断． 2．应熟练掌握余弦定理及其推论．解三角形时，有时可用正弦 定理，也可用余弦定理 ，应注意用哪一个定理更方便、简捷．
【解析】 如图，设到C点甲船追上乙船， 乙到C地用了时间t，
【答案】 北偏东30°
正弦定理、ห้องสมุดไป่ตู้弦定理的简单应用
在△ABC中， (1)若b＝，c＝1，B＝45°，求a及C的值； (2)若A＝60°，a＝7，b＝5，求边c.
【思路点拨】 (1)可直接使用正弦定理求解，注意解的 个数的判断，也可利用余弦定理求解． (2)题目条件是已知两边及一边的对角，这种情况一般用 正弦定理解，但本题不求B，并且求出sinB后发现B非特殊 角，故用正弦定理不是最佳选择，而应直接用余弦定理列 出关于c的方程求解．
【答案】
A
π 3．在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A＝ ， 3 a＝ 3，b＝1，则 c＝( A．1 C. 3－1 B．2 D. 3 )
【解析】 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA， 即3＝1＋c2－c，c2－c－2＝0，
解得c＝2或c＝－1(舍去)． 【答案】 B
等比数列，且c＝2a，则cosB等于(
1 A. 4 C. 2 4 3 B. 4 D. 2 3
)
【解析】 由已知得 b2＝ac，c＝2a， a2＋c2－b2 5a2－2a2 3 ∴cosB＝ ＝ ＝ . 2ac 4a2 4
【答案】
B
2．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别 是30°，60°，则塔高为(
热 点 提 示
定 理
正弦定理
余弦定理 a 2＝b 2＋c 2－ 2bc·cosA， b 2＝c 2＋a 2－ 2ac·cosB， c 2＝a 2＋b 2－ 2ab·cosC.
内 容
变 形 形 式
①已知两角和任一边， 求另一角和其他两条 ①已知三边，求各角； 解决的问 边． ②已知两边和它们的 题 ②已知两边和其中一 夹角，求第三边和其 2.在△ABC中，已知 a，b和A时，解的情况 边的对角，求另一边 他两个角. 和其他两角. A为钝角或直 A为锐角 角
方法二：令 AC＝b，由余弦定理得 b2＋25－49 1 cosA＝ ＝－ ， 2×5×b 2 得 b2＋5b－24＝0， ∴b＝3 或 b＝－8(舍去)， 1 3 15 ∴S＝ ×5×3× ＝ 3. 2 2 4
15 【答案】 3 4
5．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两 船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，则 甲船应取方向______才能追上乙船；追上时甲船行驶了______ 海里．
4. 如图，在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则 △ABC的面积S＝________.
【解析】
方法一：由正弦定理得
BC AB AC ＝ ＝ ， sinA sinC sinB
AB 5 3 5 3 ∴sinC＝ ·sinA＝ × ＝ ， BC 7 2 14 11 ∵A＝120°，∴C＜90°.∴cosC＝ ， 14 ∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC 3 11 1 5 3 3 3 ＝ × ＋－ × ＝ ， 2 14 2 14 14 1 3 3 15 ∴S＝ ×5×7× ＝ 3. 2 14 4
400 A. m 3 200 C. 3m 3
)
400 B. 3m 3 200 D. m 3
【解析】作出示意图如图，
由已知：在 Rt△OAC 中，OA=200，∠OAC=30°，则 OC=OA· tan∠OAC=200tan30°= 200 3 .在 Rt△ABC 中，AD＝ ， 3
200 3 200 ∠BAD＝30°， 则 BD＝AD·tan∠BAD＝ ·tan30°＝ ， ∴BC 3 3 200 400 ＝CD－BD＝200－ ＝ . 3 3
【自主探究】 方法一： 2 1 由正弦定理得 ＝ ， sin45° sinC 1 所以 sinC＝ . 2 因为 c＜b，所以 C＜B，故 C 一定是锐角， 所以 C＝30°，所以 A＝105° 1 a 所以 ＝ ， sin30° sin105° 6＋ 2 所以 a＝2sin105°＝ . 2
方法二：根据 b2＝a2＋c2－2accosB 得 2＝a2＋1－ 2a， 解得 a＝ 6＋ 2 ， 解角 C 方法同上． 2