2019上海高三数学长宁嘉定一模

上海市长宁区、嘉定区2019届高三一模数学试卷

2018.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B =

2. 已知

1

312x -=，则x =

3. 在61()x x

+的二项展开式中，常数项为 （结果用数值表示） 4. 已知向量(3,)a m =，(1,2)b =-，若向量a ∥b ，则实数m = 5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为

6. 已知幂函数()a f x x =的图像过点2

，则()f x 的定义域为 7. 已知(,)2

a π

π∈，且tan 2a =-，则sin()a π-=

8. 已知函数()log a f x x =和g()(2)x k x =-的图像如图所示，则不等式()

0()

f x

g x ≥的解集是

9. 如图，某学生社团在校园内测量远处某栋楼CD 的高度，D 为楼顶，线段AB 的长度为

600m ，在A 处测得30DAB ∠=︒，在B 处测得105DBA ∠=︒，且此时看楼顶D 的仰角 30DBC ∠=︒，已知楼底C 和A 、B 在同一水平面上，则此楼高度CD = m

（精确到1m ）

10. 若甲、乙两位同学随机地从6门课程中选修3门，则两人选修的课程中恰有1门相同的 概率为

11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11

2n n n

a a ++=

，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项 1a 取值的集合为

12. 已知1a 、2a 、3a 与1b 、2b 、3b 是6个不同的实数，若关于x 的方程

123123||||||||||||x a x a x a x b x b x b -+-+-=-+-+-的解集A 是有限集，则集合A 中

最多有 个元素

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x ≥”是“3x >”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 既非充分又非必要条件

14. 有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，下表是 不同发芽天数的种子数的记录：

统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 3.5 D. 4 15. 已知向量a 和b 夹角为

3

π

，且||2a =，||3b =，则(2)(2)a b a b -⋅+=（ ） A. 10- B. 7- C. 4- D. 1- 16. 某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数()y f x =的定义域为D ，12,x x D ∈，

① 若当12()()0f x f x +=时，都有120x x +=，则函数()y f x =是D 上的奇函数； ② 若当12()()f x f x <时，都有12x x <，则函数()y f x =是D 上的增函数. 下列判断正确的是（ ）

A. ①和②都是真命题

B. ①是真命题，②是假命题

C. ①和②都是假命题

D. ①是假命题，②是真命题

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 求下列不等式的解集： （1）|23|5x -<； （2）442120x x -⋅->

18. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四 个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢 结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）

（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.

19. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，复数1i z a b =+，

2cos icos z A B =+，（其中i 是虚数单位），且123i z z ⋅=.

（1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；

（2）判断△ABC 的形状，并求当b =A 的大小.

20. 已知函数2()1f x x mx =-++，()2sin()6

g x x πω=+

.

（1）若函数()2y f x x =+为偶函数，求实数m 的值； （2）若0ω>，2()(

)3

g x g π

≤，且函数()g x 在[0,]2π上是单调函数，求实数ω的值；

（3）若1ω=，若当1[1,2]x ∈时，总有2[0,]x π∈，使得21()()g x f x =，求实数m 的取值 范围.

21. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；

（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质

M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你

的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.