第一课时正弦定理教案
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(2)
a sin
A
b sin B
c sinC
等价于
a sin
A
b sin B
,
c ห้องสมุดไป่ตู้inC
b sin B
,
a sin
A
c sinC
思考:正弦定理的基本作用是什么?
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如
a
b sin A sin B
;
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如
补例 2. 在 ABC 中,已知 a20cm,b28 cm, A400 ,解三角形(角度精确到10 ,边长 精确到 1cm)。
解:根据正弦定理,
sin
B
bsin a
A
28sin400 20
0.8999.
B 1160.
因 为 00 < B < 1800 , 所 以 B640 , 或
⑴
当 B640 时 ,
根据正弦定理,
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
;
根据正弦定理,
c
asinC sin A
42.9sin66.20 sin32.00
74.1(cm).
评述:对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
练习:在 ABC 中,已知下列条件解三角形。
(1) A 45 ,C 30 ,c 10cm , (2) A 60 , B 45 ,c 20cm
则 j AB j (AC CB )
C ∴ j AB j AC j CB
j AB cos900 A0 j CB cos900 C
A
B
∴
csin
AasinC
,即
a sin
A
c sinC
同理,过点 C 作 j BC ,可得
从上面的研探过程,可得以下定理
j
b sin
B
c sinC
,从而
a sin A
反思: 有几种方法可以判断角的个数? I、大边对大角; II、两角和是否小于 180°; III、在△ABC 中,A>B 的充要条件是 sinA>sinB。
例 2。当 A=30°,c=8,a=1 时,△ABC 有解吗?(无解)。
提出问题:能否在计算之前就得到解的个数呢?
(教师暗示:参考前面草图。)
指出:当∠A 确定时,解的个数由 a、c 的大小关系决定。
C 1800 (A B)1800 (400 640)760 ,
c
asinC sin A
20sin760 sin 400
30(cm).
⑵
当 B1160 时 , C 1800 (A B)1800 (400 1160)240 ,
c
asinC sin A
20sin 240 sin 400
13(cm).
2
应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形。 课堂练习 第 6 页练习第 1 题。
(2)在△ABC 中,已知 A 30, c 3, a 5, 求 C、B 和 b。(结果保留两位小数)
①、指导学生画出草图:
B
B
A
C1 C2
A
C
指导:如何作图 ⅰ、点 A、B、C 的位置; ⅱ、边 a 位置不定,仅有长度,如何表示? ②、解答过程:(略)
3
几个要注意的地方: I、第一小题中由精确度考虑,用正弦定理求 b 时应该用∠A=30°,而不应用∠C≈ 53.13°,以避免二次近似可能带来的误差。 II、用正弦定理求角,必须要讨论,但这里利用“大边对大角”显得更为简洁。 III、最后写答句的时候,应注意层次分明。
ABC
(3)已知A 300, B C 600,a 2,求c. 2.在ABC中 (1)已知b 3,c 1, B 60 ,求a,和A,C; (2)已知a 2 3,b 2 2, B 45 ,求A。
(3)已知a 20,b 28,a 1200,解这个三角形.
5
3、在ABC 中,已知A 450,a 2,b 2,求B。 4、在ABC 中,已知A 600,a 4,b 10 3 ,求 B.
sin A
a b
sin B
。
一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
题型一 正弦定理的简单运用
先看课本上的例 1。
补例 1.在 ABC 中,已知 A32.00 , B81.80 , a42.9 cm,解三角形。 解:根据三角形内角和定理,
C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ;
b sin B
c sinC
1
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
a sin
A
b sin B
c sinC
[理解定理]
(1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,
即存在正数 k 使a k sinA ,b k sinB ,c k sinC ;
C C
l
A
B
l
A
B
a>c:一解。 a≤c:无解。 理由:大边对大角。
练习:在△ABC 中,已知 A 30, a 5, 则当 c 在什么范围内时,b 无解?有一解?有
4
两解?
已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解(见图示)
C ba A cB
a bsin A
一解
C ba a
A BB
2
1
bsin A a b
①已知两角和任一边,求其它两边及一角;
②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角。
(3)已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解(见图示)
C ba A cB
a bsin A
一解
C ba a A BB
bsin A2 a 1 b
两解
C ba
A
B
ab
一解
C
a
b
A
B
ab
一解
四、课后练习:
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 ,求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 ,求b, S .
直观图法:
B
c aa
A
C
问题:若∠A(锐角)、边 c 确定,则 边 a 的长至少为多少,△ABC 才有解?(a≥c·sinA) 指出:边 a 的另一端点 C 在以 B 为圆心,a 为半径的圆上。 此时,圆与射线 l 相切或相交。 边 a 的长在什么范围内,△ABC 有两解?(c>a> c·sinA) 此时,圆与射线 l 有两个交点。 边 a 的长在什么范围内,△ABC 有且仅有一解?(a≥c 或 a=c·sinA) 此时,圆与射线 l 有且仅有一个交点。 边 a 的长在什么范围内,△ABC 无解?(a<c·sinA) 此时,圆与射线 l 没有交点。 再问:当∠A 为钝角或直角时情况又如何?
两解
C ba
A
B
ab
一解
C
a
b
A
B
ab
一解
三.课时小结(由学生归纳总结)
a (1)定理的表示形式: sin A
b sin B
c sinC
a b c sinA sinB sinC
k k
0
或 a k sinA ,b k sinB ,c k sinC (k 0)
(2)正弦定理的应用范围:
3
5.自我提高
(1)在 ABC 中,若 A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=(
)
A、1:2:3
B、3:2:1
C、1: 3 : 2
D、2: 3 :1
(2)在 ABC 中,若 3 a=2bsinA,则 B=( )
A、
3
B、
6
C、 或 2 33
D、
或 5
66
(3) 在ABC中,若sin 2 A sin 2 B sin 2 C,则ABC的形状是( )
题型二 正弦定理的综合运用 先看课本例 2。
补例 3 在ABC中,c 2 2,a b,C ,且有tan A tan B 6,试求 a, b 4
解:
tan A tan B tan(A B)(1 tan A tan B)
tan C(1 tan A tan B) tan (1 6) 5 4
,则
a sin
A
b sin B
,
C
同理可得
c sinC
b sin B
,
b
a
从而
a sin
A
b sin B
c sinC
A
c
B
(2)当 ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。(由学生自己推导)
思考 2:还有其方法吗?
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这问题。
(证法二):过点 A 作单位向量 j AC ,由向量的加法可得 AB AC CB
又 tan A tan B 6,且a b,则tan A tan B
tan A 3, tan B 2.
又0 B A ,b c sin B 8 5 , a c sin A 6 10
2
sin C 5
sin C 5
S ABC
1 absin C 2
24 5
思考题:1、P6 第二题。在 ABC
A、等腰三角形 C、等腰直角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
6
中,
a sin
A
b sin B
c sinC
k(k>o),这个
k 与 ABC 有
什么关系?
2、探索与研究
课堂练习:第 6 页练习 B 第 2/3 题
回过头来看课本的例一中四个小题,跟学生讨论已知两边和其中一边的对角解三角形时解 得情况:
例(1)在△ABC 中,已知 A 30, c 8, a 5, 求 C、B 和 b;(结果保留两位小数)
1.1.1 正弦定理教案
一.课题导入
如图 1.1-1,固定 ABC 的边 CB 及 B,使边 AC 绕着顶点 C 转动。
A
思考: C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系?
显然,边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来? 二.讲授新课
c
从而在直角三角形
ABC
中,
a sin
A
b sinB
c sinC
C
B
思考 1:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况:
如图 1.1-3,(1)当 ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函
数的定义,
有
CD= a sin B
b sin A
C B
[探索研究]
在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等
式关系。如图,在 Rt ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,
有
a c
sin
A
,
b c
sinB
,又 sinC
1
c c
,
A
则
a sin
A
b sinB
c sinC