第一课时正弦定理教案

（2）
a sin
A
b sin B
c sinC
等价于
a sin
A
b sin B
，
c ห้องสมุดไป่ตู้inC
b sin B
，
a sin
A
c sinC
思考：正弦定理的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如
a
b sin A sin B
；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
补例 2． 在 ABC 中，已知 a20cm，b28 cm， A400 ，解三角形（角度精确到10 ，边长 精确到 1cm）。
解：根据正弦定理，
sin
B
bsin a
A
28sin400 20
0.8999.
B 1160.
因 为 00 ＜ B ＜ 1800 ， 所 以 B640 ， 或
⑴
当 B640 时 ，
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin66.20 sin32.00
74.1(cm).
评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。
练习：在 ABC 中，已知下列条件解三角形。
（1） A 45 ，C 30 ，c 10cm ， （2） A 60 ， B 45 ，c 20cm
则 j AB j (AC CB )
C ∴ j AB j AC j CB
j AB cos900 A0 j CB cos900 C
A
B
∴
csin
AasinC
，即
a sin
A
c sinC
同理，过点 C 作 j BC ，可得
从上面的研探过程，可得以下定理
j
b sin
B
c sinC
，从而
a sin A
反思： 有几种方法可以判断角的个数？ I、大边对大角； II、两角和是否小于 180°； III、在△ABC 中，A＞B 的充要条件是 sinA＞sinB。
例 2。当 A=30°，c=8，a=1 时，△ABC 有解吗？（无解）。
提出问题：能否在计算之前就得到解的个数呢？
（教师暗示：参考前面草图。）
指出：当∠A 确定时，解的个数由 a、c 的大小关系决定。
C 1800 (A B)1800 (400 640)760 ，
c
asinC sin A
20sin760 sin 400
30(cm).
⑵
当 B1160 时 ， C 1800 (A B)1800 (400 1160)240 ，
c
asinC sin A
20sin 240 sin 400
13(cm).
2
应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 课堂练习 第 6 页练习第 1 题。
（2）在△ABC 中，已知 A 30, c 3, a 5, 求 C、B 和 b。（结果保留两位小数）
①、指导学生画出草图：
B
B
A
C1 C2
A
C
指导：如何作图 ⅰ、点 A、B、C 的位置； ⅱ、边 a 位置不定，仅有长度，如何表示？ ②、解答过程：（略）
3
几个要注意的地方： I、第一小题中由精确度考虑，用正弦定理求 b 时应该用∠A=30°，而不应用∠C≈ 53.13°，以避免二次近似可能带来的误差。 II、用正弦定理求角，必须要讨论，但这里利用“大边对大角”显得更为简洁。 III、最后写答句的时候，应注意层次分明。
ABC
(3)已知A 300, B C 600,a 2,求c. 2.在ABC中 (1)已知b 3,c 1, B 60 ,求a,和A，C; (2)已知a 2 3,b 2 2, B 45 ,求A。
(3)已知a 20,b 28,a 1200,解这个三角形.
5
3、在ABC 中，已知A 450，a 2，b 2,求B。 4、在ABC 中，已知A 600，a 4，b 10 3 ,求 B.
sin A
a b
sin B
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
[例题分析]
题型一 正弦定理的简单运用
先看课本上的例 1。
补例 1．在 ABC 中，已知 A32.00 ， B81.80 ， a42.9 cm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，
C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
b sin B
c sinC
1
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a sin
A
b sin B
c sinC
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，
即存在正数 k 使a k sinA ，b k sinB ，c k sinC ；
C C
l
A
B
l
A
B
a>c：一解。 a≤c：无解。 理由：大边对大角。
练习：在△ABC 中，已知 A 30, a 5, 则当 c 在什么范围内时，b 无解？有一解？有
4
两解？
已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）
C ba A cB
a bsin A
一解
C ba a
A BB
2
1
bsin A a b
①已知两角和任一边，求其它两边及一角；
②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。
（3）已知两边和其中一边对角解斜三角形有两解或一解（见图示）
C ba A cB
a bsin A
一解
C ba a A BB
bsin A2 a 1 b
两解
C ba
A
B
ab
一解
C
a
b
A
B
ab
一解
四、课后练习：
1.在ABC中 (1)已知b 12, A 300 , B 120 ,求a; (2)已知c 10, A 45 ,C 30 ,求b, S .
直观图法：
B
c aa
A
C
问题：若∠A（锐角）、边 c 确定，则 边 a 的长至少为多少，△ABC 才有解？（a≥c·sinA） 指出：边 a 的另一端点 C 在以 B 为圆心，a 为半径的圆上。 此时，圆与射线 l 相切或相交。 边 a 的长在什么范围内，△ABC 有两解？（c>a> c·sinA） 此时，圆与射线 l 有两个交点。 边 a 的长在什么范围内，△ABC 有且仅有一解？(a≥c 或 a=c·sinA) 此时，圆与射线 l 有且仅有一个交点。 边 a 的长在什么范围内，△ABC 无解？（a<c·sinA） 此时，圆与射线 l 没有交点。 再问：当∠A 为钝角或直角时情况又如何？
两解
C ba
A
B
ab
一解
C
a
b
A
B
ab
一解
三.课时小结（由学生归纳总结）
a （1）定理的表示形式： sin A
b sin B
c sinC
a b c sinA sinB sinC
k k
0
或 a k sinA ，b k sinB ，c k sinC (k 0)
（2）正弦定理的应用范围：
3
5．自我提高
(1)在 ABC 中，若 A：B：C=1：2：3，则 a:b:c＝(
)
A、1:2:3
B、3:2:1
C、1: 3 : 2
D、2: 3 :1
(2)在 ABC 中，若 3 a=2bsinA，则 B＝( )
A、
3
B、
6
C、 或 2 33
D、
或 5
66
(3) 在ABC中,若sin 2 A sin 2 B sin 2 C,则ABC的形状是( )
题型二 正弦定理的综合运用 先看课本例 2。
补例 3 在ABC中，c 2 2，a b,C ,且有tan A tan B 6，试求 a, b 4
解：
tan A tan B tan(A B)(1 tan A tan B)
tan C(1 tan A tan B) tan (1 6) 5 4
,则
a sin
A
b sin B
，
C
同理可得
c sinC
b sin B
，
b
a
从而
a sin
A
b sin B
c sinC
A
c
B
（2）当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生自己推导）
思考 2：还有其方法吗？
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。
（证法二）：过点 A 作单位向量 j AC ，由向量的加法可得 AB AC CB
又 tan A tan B 6,且a b，则tan A tan B
tan A 3, tan B 2.
又0 B A ,b c sin B 8 5 , a c sin A 6 10
2
sin C 5
sin C 5
S ABC
1 absin C 2
24 5
思考题：1、P6 第二题。在 ABC
A、等腰三角形 C、等腰直角三角形
B、直角三角形 D、不能确定
6
中，
a sin
A
b sin B
c sinC
k(k>o)，这个
k 与 ABC 有
什么关系？
2、探索与研究
课堂练习：第 6 页练习 B 第 2/3 题
回过头来看课本的例一中四个小题，跟学生讨论已知两边和其中一边的对角解三角形时解 得情况：
例（1）在△ABC 中，已知 A 30, c 8, a 5, 求 C、B 和 b；（结果保留两位小数）
1.1.1 正弦定理教案
一.课题导入
如图 1．1-1，固定 ABC 的边 CB 及 B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。
A
思考： C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？
显然，边 AB 的长度随着其对角 C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课
c
从而在直角三角形
ABC
中，
a sin
A
b sinB
c sinC
C
B
思考 1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图 1．1-3，（1）当 ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函
数的定义，
有
CD= a sin B
b sin A
C B
[探索研究]
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等
式关系。如图，在 Rt ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有
a c
sin
A
，
b c
sinB
，又 sinC
1
c c
,
A
则
a sin
A
b sinB
c sinC