高中数学文科立体几何证明题型

文科立体几何证明

线面、面面平行

1.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

①证明MN∥平面P AB；

②求四面体N-BCM的体积．

2．如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝1

2AD，E，F，H分别为线段AD，PC，

CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF；

(2)求证：GH∥平面P AD.

3.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：

①B，C，H，G四点共面；

②平面EF A1∥平面BCHG.

4．在本例(3)条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：(1)平面A1BD1∥平面AC1D.

(2)若点N∈AD，求证：C1N始终平行面A1BD1.

5如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)证明：平面AB1C∥平面DA1C1；

(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

6．如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.

(1)求证：BE＝DE；

(2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：DM∥平面BEC.

(3)在(2)的条件下，在线段AD上是否存在一点N，使得BN∥面DEC，并说明理由．

7.在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.

(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；

(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.

8.四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.

(1)求四面体A-BCD的体积；

(2)证明：四边形EFGH是矩形．

线线、线面、面面垂直

1，如图，三棱锥P -ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π

2，点D ，E 在线段AC 上，且

AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .

①证明：AB ⊥平面PFE ；

②若四棱锥P -DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．

2．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .

①求证：DC ⊥平面P AC ； ②求证：平面P AB ⊥平面P AC ；

③设点E 为AB 的中点．在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由．

3.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知AD＝4，BD＝43，AB＝2CD＝8.

(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面P AD；

(2)求四棱锥P-ABCD的体积．

4.(1)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，AA1＝4，D是棱AA1上的任一点，M，N分别为AB，BC1的中点．

①求证：MN∥平面DCC1；

②试确定点D的位置，使得DC1⊥平面DBC.

5.如图，已知三棱柱ABC-A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N 分别为A′B和B′C′的中点．

①证明：MN∥平面AA′C′C；

②设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．

6．如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD.四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点．

(1)求证：CD⊥平面SAD；

(2)若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并证明你的结论．

7.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1＝23，BD⊥A1A，∠BAD＝∠A1AC＝60°，点M是棱AA1的中点．

(1)求证：A1C∥平面BMD；

(2)求点C1到平面BDD1B1的距离．

8.如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.

(1)证明：平面AEC⊥平面BED；

(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为

6

3，求该三棱锥的侧面积．

9.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.

(1)证明：B1C⊥AB；

(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1的高．

10.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．

(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；

(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F-AEC的体积．

11.．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ＝PD ，∠BAD ＝60°，E 是AD 的中点，点Q 在侧棱PC 上．

(1)求证：AD ⊥平面PBE ；

(2)若Q 是PC 的中点，求证：P A ∥平面BDQ ； (3)若V P -BCDE ＝2V Q -ABCD ，试求CP

CQ 的值．

12．如图，四边形ABCD 为正方形，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝4，AE ＝2，EF ＝1.

(1)求证：BC ⊥AF ；

(2)若点M 在线段AC 上，且满足CM ＝1

4

CA ，求证：EM ∥平面FBC ；

(3)试判断直线AF 与平面EBC 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

仰望天空时，什么都比你高，你会自卑;