1994中国数学奥林匹克

第九届中国数学奥林匹克(1994年)

1.设ABCD是一个梯形(AB//CD)，E是线段AB试一点，F是线段CD上一

点，线段CE与BF相交于点H，线段ED与AF相交于点G，求证：S EHFG ≦S ABCD/4。如果ABCD是一个任意的凸圆边形，同样结论是否成立？请说明理由。

2.n(n≧4)个盘子里放有总数不少于4的糖块，从任意的两个盘子各取一块

糖，放入另一个盘子中，称为一次操作，问能可经过有限次操作，将所有的糖块集中列一个盘子里去？证明你的结论。

3.求适合以下条件的所有函数f：[0, +∞)→[0, +∞)，

i.f(2x)≦2(x+1)；

ii.f(x+1) = [ f(x)2 -1]/x。

4.已知f(z)=C0z n+C1z n-1+C2z n-2+....+C n-1z+C n是一个n次复系数多项式，求证：

一定存在一个复数z0，|z0|≦1，满足|f(z0)|≧|C0|+|C n|。

5.对任何自然数n，求证：，

其中0C0=1，[(n-k)/2]表示(n-k)/2的整数部份。

6.设M为平面试坐标为(Px1994,7Px1994)的点，其中P是素数，求满足下述

条件的直角三角形的个数：

i.三角形的三个顶点都是整点，面且M是直角顶点；

ii.三角形的内心是坐标原点。