保角变换曲线坐标中的复势应力和位移
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列形式的复应力函数
shnζ = shnξ cos nη + ichnξ sin η chnζ = chnξ cos nη + ishnξ sin η
其中 n 为整数。另外，函数 c
2
(c)
ζ 也适合单值条件，因此也可以作为复应力函数。
4.2.2 无限大平板中椭圆孔受单向拉伸问题
无限大平板中椭圆孔，受远场均匀拉力p2作用，椭圆的长短轴各为 2a和 2b, p2与x轴夹角为 β (图 5.7.3)。该问题由Inglis(1913)推导了各种条件的应力和位移。 设坐标系ox’y’是将坐标系转动 β 角使其与拉力p2平行的直角坐标系，于是由坐标变换， σ x ' x ' + σ y ' y ' = σ xx + σ yy
(a)
图 4.2 无限大平板中椭圆 孔受单向拉伸的问题
为了和有关文献在表达上一致，这里取 χ ' ( z ) = ψ ( z ) , 柯洛索夫公式成为
σ ηη
由(4.5）, 其中
⎫ σ ξξ + σ ηη = 4 Re[ϕ ' ( z )] ⎪ 2 iδ − σ ξξ + 2iσ ξη = 2[ z ϕ " ( z ) + χ " ( z )]e ⎬ −iδ ⎪ 2 μ (uξ + iuη ) = [κϕ ( z ) − zϕ ′( z ) − χ ' ( z )]e ⎭ e 2 iδ = (c ⋅ chζ )' shζ = (c ⋅ chζ )' shζ
σ y ' y ' − σ x ' x ' + 2iτ xy = [σ yy − σ xx + 2iτ xy ]e 2iβ
边界条件为，在无穷远处
σ x ' x ' = p2
因此，在无穷远处
σ y'y' = τ x'y' = 0 σ yy − σ xx + 2iτ xy = − pe −2 iβ
wk.baidu.com39
σ xx + σ yy = p2 ，
e 2 iδ =
ω ' (ζ ) ω ' (ζ )
(4.5)
利用局部坐标变换，得到曲线坐标中各应力分量与直角坐标中应力分量的关系，
38
σ ηη
⎫ σ ξξ + σ ηη = σ xx + σ yy 2 iδ ⎪ − σ ξξ + 2iτ ξη = [σ yy − σ xx + 2iτ xy ]e ⎬ ⎪ 2μ (uξ + iuη ) = 2μ (u x + iu y )e −iδ ⎭
第四章 无限大平板含扁椭圆孔的问题
§4.1 保角变换，曲线坐标中的复势、应力和位移
如 ω (ζ ) 是解析函数，并且 ω ' (ζ ) ≠ 0 ，我们利用关系式 z = ω (ζ ) (4.1)
所作的变换即为保角变换。通过保角变换，总可以把 z 平面上形状复杂而不易求解的单连域 S(边界为 L), 通过一个正则函数，映射为 ζ 平面（数学平面）上的另一条形状较为简单的曲线， 从而使问题的求解变得简便和可能。 设 z = x + iy , ζ = ξ + iη 。在 ζ 平面上每给定一点， z 平面上必有一点 z = ω (ζ ) 跟它相对应。 这样，在 ζ 平面上每给定一根曲线, z 平面必有一根对应的曲线(图 4.1)。在相应的两曲线上各截 取相应的一小段( z , z + Δ z )和( ζ , ζ + Δ ζ ), 则有 dz Δz | Δ z | i (argΔ z −argΔ ζ ) = = lim e lim Δ ζ →0 Δ ζ Δ ζ → 0 dζ |Δ ζ |
(4.4)
J =| Δz | / | Δζ | ,
α = argΔ z − argΔ ζ
可以看出, J 和 α 的物理意义分别如下：J 是保角变换时，z 平面上微元线段变换为 ζ 平面上 线段的尺寸放大(或缩小)系数；而 δ 是表示 z 平面上微元线段变换到 ζ 平面上微元线段时旋转的 角度。J 和δ皆是点的函数，即与 ξ ,η 有关。但等于指定点 (ξ ,η ) , J 和δ是完全确定的。显然δ即为 曲线 η = const 的切线(向着 ξ 增加的方向)与 z 平面 x 轴之间的夹角(此时 arg Δ ζ = 0 )，而曲线
x = c ⋅ chξ ⋅ cos η ⎫ ⎬ y = c ⋅ shξ ⋅ sin η ⎭ 坐标 ξ 为常数，令 ξ = ξ 0 表示直角坐标系中的椭圆孔。椭圆孔的方程为
(a)
x2 y2 + =1 a2 b2
或写成参数方程为
x = a cosη ， 若椭圆的半径给出为 a 和 b, 则应有
y = b sin η
(4.2)
图 4.1
其中 arg Δz 和 arg Δζ 分别为 Δz 和 Δζ 的辐角的主值。由(4.1）, 有
dz = ω ' (ζ )dζ
由(4.2）,
(4.3)
ω ' (ζ ) =
式中
| Δ z | i (argΔ z −argΔ ζ ) dz = lim e = Jeiδ Δ ζ → 0 |Δ ζ | dζ
a = c ⋅ chξ 0 ⎫ (b) ⎬， b = c ⋅ sh ξ 0 ⎭ 可以求得 ξ 0 和 c。当 ξ 逐渐变大时，以 ξ 为参数所表示的椭圆也逐渐变大。当 ξ → ∞ 时所代表的
是无限大的椭圆。当参变量 η 从 x 轴正向由零到 2π 时 , 任一椭圆上一点就绕椭圆一周 ( 此时
ξ =const). 根据式(a), 任意给定一对参数 ξ 和η ，在 xoy 平面中就对应一个点，因此也称 ξ 、η 为 平面上点的椭圆坐标， 分别相当于极坐标中的 r 和 θ 。 位移和应力分量的连续性要求这些分量在η 方向是周期性的，周期为 2π ，使当η = 0 和 η = 2π 时，这些分量有相同的值。因此可能选取下
(4.6)
§4.2 无限大平板中椭圆孔受均布作用力的问题
4.2.1 椭圆坐标系
具有椭圆孔的无限域的问题由 Stevenson(1945)在椭圆坐标系中解得。应用椭圆坐标系 ξ ,η ， 定义为 z = x + iy ζ = ξ + iη 则 z = c ⋅ chζ = c ⋅ chξ cos η + ic ⋅ shξ sin η 由此得出
ξ = const 的切线(向着η 增加的方向)与 z 平面 x 轴之间的夹角为 α + π / 2 。同时对于 ξ = const 和
η = const 上的微元线段 dsξ 和 dsη 有
dsξ = Jdξ
dsη = Jdη
这样便建立了对应于 z 平面上各点的曲线坐标 (ξ ,η ) 。 由(4.4)得到 ω ' (ζ ) = Je − iδ ， 因此
shnζ = shnξ cos nη + ichnξ sin η chnζ = chnξ cos nη + ishnξ sin η
其中 n 为整数。另外，函数 c
2
(c)
ζ 也适合单值条件，因此也可以作为复应力函数。
4.2.2 无限大平板中椭圆孔受单向拉伸问题
无限大平板中椭圆孔，受远场均匀拉力p2作用，椭圆的长短轴各为 2a和 2b, p2与x轴夹角为 β (图 5.7.3)。该问题由Inglis(1913)推导了各种条件的应力和位移。 设坐标系ox’y’是将坐标系转动 β 角使其与拉力p2平行的直角坐标系，于是由坐标变换， σ x ' x ' + σ y ' y ' = σ xx + σ yy
(a)
图 4.2 无限大平板中椭圆 孔受单向拉伸的问题
为了和有关文献在表达上一致，这里取 χ ' ( z ) = ψ ( z ) , 柯洛索夫公式成为
σ ηη
由(4.5）, 其中
⎫ σ ξξ + σ ηη = 4 Re[ϕ ' ( z )] ⎪ 2 iδ − σ ξξ + 2iσ ξη = 2[ z ϕ " ( z ) + χ " ( z )]e ⎬ −iδ ⎪ 2 μ (uξ + iuη ) = [κϕ ( z ) − zϕ ′( z ) − χ ' ( z )]e ⎭ e 2 iδ = (c ⋅ chζ )' shζ = (c ⋅ chζ )' shζ
σ y ' y ' − σ x ' x ' + 2iτ xy = [σ yy − σ xx + 2iτ xy ]e 2iβ
边界条件为，在无穷远处
σ x ' x ' = p2
因此，在无穷远处
σ y'y' = τ x'y' = 0 σ yy − σ xx + 2iτ xy = − pe −2 iβ
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σ xx + σ yy = p2 ，
e 2 iδ =
ω ' (ζ ) ω ' (ζ )
(4.5)
利用局部坐标变换，得到曲线坐标中各应力分量与直角坐标中应力分量的关系，
38
σ ηη
⎫ σ ξξ + σ ηη = σ xx + σ yy 2 iδ ⎪ − σ ξξ + 2iτ ξη = [σ yy − σ xx + 2iτ xy ]e ⎬ ⎪ 2μ (uξ + iuη ) = 2μ (u x + iu y )e −iδ ⎭
第四章 无限大平板含扁椭圆孔的问题
§4.1 保角变换，曲线坐标中的复势、应力和位移
如 ω (ζ ) 是解析函数，并且 ω ' (ζ ) ≠ 0 ，我们利用关系式 z = ω (ζ ) (4.1)
所作的变换即为保角变换。通过保角变换，总可以把 z 平面上形状复杂而不易求解的单连域 S(边界为 L), 通过一个正则函数，映射为 ζ 平面（数学平面）上的另一条形状较为简单的曲线， 从而使问题的求解变得简便和可能。 设 z = x + iy , ζ = ξ + iη 。在 ζ 平面上每给定一点， z 平面上必有一点 z = ω (ζ ) 跟它相对应。 这样，在 ζ 平面上每给定一根曲线, z 平面必有一根对应的曲线(图 4.1)。在相应的两曲线上各截 取相应的一小段( z , z + Δ z )和( ζ , ζ + Δ ζ ), 则有 dz Δz | Δ z | i (argΔ z −argΔ ζ ) = = lim e lim Δ ζ →0 Δ ζ Δ ζ → 0 dζ |Δ ζ |
(4.4)
J =| Δz | / | Δζ | ,
α = argΔ z − argΔ ζ
可以看出, J 和 α 的物理意义分别如下：J 是保角变换时，z 平面上微元线段变换为 ζ 平面上 线段的尺寸放大(或缩小)系数；而 δ 是表示 z 平面上微元线段变换到 ζ 平面上微元线段时旋转的 角度。J 和δ皆是点的函数，即与 ξ ,η 有关。但等于指定点 (ξ ,η ) , J 和δ是完全确定的。显然δ即为 曲线 η = const 的切线(向着 ξ 增加的方向)与 z 平面 x 轴之间的夹角(此时 arg Δ ζ = 0 )，而曲线
x = c ⋅ chξ ⋅ cos η ⎫ ⎬ y = c ⋅ shξ ⋅ sin η ⎭ 坐标 ξ 为常数，令 ξ = ξ 0 表示直角坐标系中的椭圆孔。椭圆孔的方程为
(a)
x2 y2 + =1 a2 b2
或写成参数方程为
x = a cosη ， 若椭圆的半径给出为 a 和 b, 则应有
y = b sin η
(4.2)
图 4.1
其中 arg Δz 和 arg Δζ 分别为 Δz 和 Δζ 的辐角的主值。由(4.1）, 有
dz = ω ' (ζ )dζ
由(4.2）,
(4.3)
ω ' (ζ ) =
式中
| Δ z | i (argΔ z −argΔ ζ ) dz = lim e = Jeiδ Δ ζ → 0 |Δ ζ | dζ
a = c ⋅ chξ 0 ⎫ (b) ⎬， b = c ⋅ sh ξ 0 ⎭ 可以求得 ξ 0 和 c。当 ξ 逐渐变大时，以 ξ 为参数所表示的椭圆也逐渐变大。当 ξ → ∞ 时所代表的
是无限大的椭圆。当参变量 η 从 x 轴正向由零到 2π 时 , 任一椭圆上一点就绕椭圆一周 ( 此时
ξ =const). 根据式(a), 任意给定一对参数 ξ 和η ，在 xoy 平面中就对应一个点，因此也称 ξ 、η 为 平面上点的椭圆坐标， 分别相当于极坐标中的 r 和 θ 。 位移和应力分量的连续性要求这些分量在η 方向是周期性的，周期为 2π ，使当η = 0 和 η = 2π 时，这些分量有相同的值。因此可能选取下
(4.6)
§4.2 无限大平板中椭圆孔受均布作用力的问题
4.2.1 椭圆坐标系
具有椭圆孔的无限域的问题由 Stevenson(1945)在椭圆坐标系中解得。应用椭圆坐标系 ξ ,η ， 定义为 z = x + iy ζ = ξ + iη 则 z = c ⋅ chζ = c ⋅ chξ cos η + ic ⋅ shξ sin η 由此得出
ξ = const 的切线(向着η 增加的方向)与 z 平面 x 轴之间的夹角为 α + π / 2 。同时对于 ξ = const 和
η = const 上的微元线段 dsξ 和 dsη 有
dsξ = Jdξ
dsη = Jdη
这样便建立了对应于 z 平面上各点的曲线坐标 (ξ ,η ) 。 由(4.4)得到 ω ' (ζ ) = Je − iδ ， 因此