人教版第1课时 勾股定理
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解：∵梯形的面积为21(a＋b)(a＋b)＝12ab＋21ab＋12c2， ∴a2＋2ab＋b2＝ab＋ab＋c2． ∴a2＋b2＝c2．
知识点 2 利用勾股定理进行计算
3．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对应边分别是 a，b，c，若∠
B＝90°，则下列等式中成立的是(C )
A．a2＋b2＝c2
16．在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12，则△ABC 的 周长为 32或42 ．
17．如图，在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他 们的解题思路完成解答过程．
解：在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13， 设 BD＝x，则 CD＝14－x． 由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132 －(14－x)2． ∴152－x2＝132－(14－x)2．解得 x＝9． ∴AD＝12． ∴S△ABC＝21BC·AD＝21×14×12＝84．
∴CM＝ BC2－BM2＝15． 在△EFD 中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°． ∴MD＝BM＝5 3． ∴CD＝CM－MD＝15－5 3．
B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2
D．c2－a2＝b2
4．(2019·平顶山期末)在△ABC 中，∠B＝90°．若 BC＝3，AC＝5，
则 AB 等于(C )
A．2
B．3
C．4
D． 34
5．已知直角三角形中 30°角所对的直角边的长是 2 3 cm，则另一
条直角边的长是( C )
A．4 cm
值是(C )
A．3
B． 41
C．3 或 41
D．9 或 41
02 中档题
12．(本课时 T8 变式)如图，分别以 Rt△ABC 的三边为边长向外
作等边三角形．若 AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是( A )
A．8 3
B．6 3
C．18
D．12
13．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在
数学 第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理
01 基础题
知识点 1 勾股定理的证明 1．利用图 1 或图 2 两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数 学中一个十分著名的定理，这个定理称为 勾股定理 ，该定理结论的数 学表达式是 a2＋b2＝c2 ．
2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状， 请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，能得到勾股 定理吗？
8．(2019·郑州高新区期末)如图，两个较大正方形的面积分别为 225，289，则字母 A 所代表的正方形的面积为 64 ．
wenku.baidu.com
【变式】 如图，以 Rt△ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆 S1，S2，S3．若 S2＝32π，S3＝18π，则斜边上半圆的面积 S1＝ 50π ．
知识点 3 赵爽弦图 9．【关注数学文化】(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科 学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算 经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦 图”的是( B )
10．(2019·大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全 等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所 示)．如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的 两直角边长分别为 a，b，那么(a－b)2 的值是 1 ．
易错点 直角边不确定时漏解
11．(2019·洛阳期中)已知 Rt△ABC 的三边长为 a，4，5，则 a 的
一起，其中点 A′与点 A 重合，点 C′落在边 AB 上，连接 B′C．若∠ACB
＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则 B′C 的长为(A )
A．3 3
B．6
C．3 2
D． 21
14．(2019·河南)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D＝90°，
AD＝4，BC＝3．分别以点 A，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两
B．4 3 cm
C．6 cm
D．6 3 cm
6．(2019·毕节)如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上．若 EB＝1，
EC＝2，则正方形 ABCD 的面积为( B )
A． 3
B．3
C． 5
D．5
7．(2019·洛阳期中)如图，在△ABC 中，AB⊥AC，AB＝5 cm， BC＝13 cm，BD 是 AC 边上的中线，则△BCD 的面积是 15 cm2 ．
弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O．若点 O 是 AC
的中点，则 CD 的长为( A )
A．2 2
B．4
C．3
D． 10
15．(2018·荆州)为了比较 5＋1 与 10的大小，可以构造如图所示 的图进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D 在 BC 上且 BD＝AC＝1．通 过计算可得 5＋1 > 10．(填“>”“<”或“＝”)
03 综合题
18．(2019·毕节改编)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角 三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 ED 上，AB∥CF， ∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，求 CD 的长度．
解：过点 B 作 BM⊥FD 于点 M， 在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°． ∴AB＝2AC＝20，BC＝ AB2－AC2＝10 3． ∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°． ∴BM＝21BC＝12×10 3＝5 3．
知识点 2 利用勾股定理进行计算
3．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对应边分别是 a，b，c，若∠
B＝90°，则下列等式中成立的是(C )
A．a2＋b2＝c2
16．在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高 AD＝12，则△ABC 的 周长为 32或42 ．
17．如图，在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他 们的解题思路完成解答过程．
解：在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13， 设 BD＝x，则 CD＝14－x． 由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132 －(14－x)2． ∴152－x2＝132－(14－x)2．解得 x＝9． ∴AD＝12． ∴S△ABC＝21BC·AD＝21×14×12＝84．
∴CM＝ BC2－BM2＝15． 在△EFD 中，∠F＝90°，∠E＝45°， ∴∠EDF＝45°． ∴MD＝BM＝5 3． ∴CD＝CM－MD＝15－5 3．
B．b2＋c2＝a2
C．a2＋c2＝b2
D．c2－a2＝b2
4．(2019·平顶山期末)在△ABC 中，∠B＝90°．若 BC＝3，AC＝5，
则 AB 等于(C )
A．2
B．3
C．4
D． 34
5．已知直角三角形中 30°角所对的直角边的长是 2 3 cm，则另一
条直角边的长是( C )
A．4 cm
值是(C )
A．3
B． 41
C．3 或 41
D．9 或 41
02 中档题
12．(本课时 T8 变式)如图，分别以 Rt△ABC 的三边为边长向外
作等边三角形．若 AB＝4，则三个等边三角形的面积之和是( A )
A．8 3
B．6 3
C．18
D．12
13．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC 和△A′B′C′拼在
数学 第十七章 勾股定理
17．1 勾股定理 第1课时 勾股定理
01 基础题
知识点 1 勾股定理的证明 1．利用图 1 或图 2 两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数 学中一个十分著名的定理，这个定理称为 勾股定理 ，该定理结论的数 学表达式是 a2＋b2＝c2 ．
2．在一张纸上画两个全等的直角三角形，并把它们拼成如图形状， 请用两种方法表示这个梯形的面积．利用你的表示方法，能得到勾股 定理吗？
8．(2019·郑州高新区期末)如图，两个较大正方形的面积分别为 225，289，则字母 A 所代表的正方形的面积为 64 ．
wenku.baidu.com
【变式】 如图，以 Rt△ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆 S1，S2，S3．若 S2＝32π，S3＝18π，则斜边上半圆的面积 S1＝ 50π ．
知识点 3 赵爽弦图 9．【关注数学文化】(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科 学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算 经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦 图”的是( B )
10．(2019·大庆)我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全 等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所 示)．如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是 1，直角三角形的 两直角边长分别为 a，b，那么(a－b)2 的值是 1 ．
易错点 直角边不确定时漏解
11．(2019·洛阳期中)已知 Rt△ABC 的三边长为 a，4，5，则 a 的
一起，其中点 A′与点 A 重合，点 C′落在边 AB 上，连接 B′C．若∠ACB
＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则 B′C 的长为(A )
A．3 3
B．6
C．3 2
D． 21
14．(2019·河南)如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D＝90°，
AD＝4，BC＝3．分别以点 A，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两
B．4 3 cm
C．6 cm
D．6 3 cm
6．(2019·毕节)如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上．若 EB＝1，
EC＝2，则正方形 ABCD 的面积为( B )
A． 3
B．3
C． 5
D．5
7．(2019·洛阳期中)如图，在△ABC 中，AB⊥AC，AB＝5 cm， BC＝13 cm，BD 是 AC 边上的中线，则△BCD 的面积是 15 cm2 ．
弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 O．若点 O 是 AC
的中点，则 CD 的长为( A )
A．2 2
B．4
C．3
D． 10
15．(2018·荆州)为了比较 5＋1 与 10的大小，可以构造如图所示 的图进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，D 在 BC 上且 BD＝AC＝1．通 过计算可得 5＋1 > 10．(填“>”“<”或“＝”)
03 综合题
18．(2019·毕节改编)三角板是我们学习数学的好帮手．将一对直角 三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 ED 上，AB∥CF， ∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，求 CD 的长度．
解：过点 B 作 BM⊥FD 于点 M， 在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10， ∴∠ABC＝30°． ∴AB＝2AC＝20，BC＝ AB2－AC2＝10 3． ∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝30°． ∴BM＝21BC＝12×10 3＝5 3．