第七章 参数估计习题

第七章 参数估计

习题十七 点估计

一、填空

1. 估计一个参数的常用估计方法是 。

2. 若X 是离散型随机变量，分布律是P{X =x}=P(x ;θ)，（θ是待估计参数），则似然函数 ，X 是连续型随机变量，概率密度是f(x ;θ)，则似然函数是 。

3. 若未知参数θ的估计量是θ

̂，若∀ε>0，有 成立，则θ̂称是θ的一致估计量，若 称θ̂是θ的无偏估计量。设θ̂1,θ̂2是未知参数θ的两个无偏估计量，若 则称θ̂1较θ

̂2有效。 4. 对任意分布的总体，样本均值X 是 的无偏估计量。

5. 设总体X ~π(λ)，其中λ>0是未知参数，X 1,…,X n 是X 的一个样本，则λ的矩估计量为 ，极大似然估计为 。

6. 设Χ1 Χ2，…，Χn 1是总体Χ∼Ν(μ1,σ12)的一个样本，、S 12分别是样本均值和方差；Y 1 Y 2，…，Y n 2是总体Y ∼Ν(μ2,σ22)的一个样本，Y 、S 22是样本均值和方差，这两个样本相

互独立，S 12/S 2

2σ1

2/σ2

2服从 ．

二、设随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0)，且二次方程y 2+4y +X =0无实根的概

率为1

2，求μ。

三、设总体X 服从几何分布，分布律为Y 1，先用矩法求p 的估计量，再求p 的极大似然估计。

四、设总体X 的概率密度为f(x ;θ)={(θ+1)x θ,0−1是未知参数，

X 1,…,X n 是来自X 的容量为n 的简单随机样本，（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的极大似然估计。

五、设总体X 的概率分布为

X

0123P

θ2

2θ(1−θ)θ2

1−2θ

，其中θ(0<θ<1

2)是未知参数，

利用总体X 的如下样本值3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估计值和最大似然估计值。

四、设总体X ~N (μ,σ2),X 1,…,X n ，都是来自X 的一个样本，试确定常数C ，使C ∑(X i+1−

n−1i=1X i )2为σ2的无偏估计。

五、设某种元件的使用寿命X 的概率密度为f(x,θ)={

2e −2(x−θ)

,x >θ0, x ≤θ

，其中θ>0是未知参数，X 1,…,X n 是来自总体X 的简单随机样本，（1）求总体X 的分布函数F(x)；（2）求θ的最大似然估计量θ̂；（3）用θ̂做θ的估计量，讨论它是否具有无偏性。

习题十八 区间估计

一．填空

1. 设总体Χ∼Ν(μ,σ2) Χ1 …，Χn 是来自Χ的一个样本，求σ2的置信区间所使用的枢轴量为Ζ= ；Ζ服从 分布．

2. 设由来自总体Χ∼Ν(μ,σ2)容量为9的简单随机样本，得样本均值Χ=5，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 ．

3. 设总体Χ∼Ν(μ,σ2) Χ1 …，Χn 是Χ的样本，则当σ2已知时，求μ的置信区间所使用的枢轴量为Ζ= ；Ζ服从 分布；当σ2未知时，求μ的置信区间所使用的枢轴量Ζ= ，Ζ服从 分布．

二、某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取10只进行寿命测试，取得数据如下（单位：小

时）：1050 1100 1080 1120 1250 1040 1130 1300 1200．设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信区间（α=0.05 S=.87.057）

三、假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布，现随机抽取此种香烟8支为一样本，测得其

尼古丁平均含量为18.6毫克，样本均方差S=2.4毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信度为0.99的置信区间．

四、设总体Χ∼Ν(μ,σ2)，已知σ=σ0，要使总体均值μ对应于置信度为1−α的置信区间长

度不大于L，问应抽取多大容量的样本？

五、某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别从两条流水线上抽取样本：X1,…,X12及

Y1,…,Y17，算出x=10.6(g),y=9.5(g),s12=2.4,s22=4.7。假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为μ1,μ2。设两总体方差σ12=σ22，求μ1−μ2置信度为的置信区间。

六、已知一批零件的长度X（单位：cm）服从正态分布N(μ,1)，从中随机地抽取16个零件，

得到长度的平均值为40（cm），则μ的置信度为0.95的置信区间为多少。

七、从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时．设电子管

寿命服从正态分布，均方差σ=40小时．以置信度0.95求出整批电子管平均寿命μ的置信区间．

第七章复习题

一．设总体X的概率密度函数f(x)={a

2

xe−a

2

λ,x>0

0, x≤0

，其中λ>0，且λ为未知参数，X1，X2，

⋯，X n是来自总体X的简单样本。１．试求常数a；２．求λ的矩估计量λ̂；３．λ̂是否是λ的无偏估计？

二．设总体X的概率密度函数f(x)={λax a−1e−λx a x>0

0 x≤0

，其中λ为未知参数，a>0为已知常数。X1，X2，⋯，X n是来自总体X的简单样本。求λ的最大似然估计。

三．设总体X服从(0,θ)上的均匀分布，θ未知(θ>0)，X1，X2，X3是来自总体X的简单样本。

１．试证：θ̂1=4

3max

1≤i≤3

X i，θ̂2=4

3

min

1≤i≤3

X i都是θ的无偏估计；２．上述两个估计中哪个更有效？

四．设样本X1，X2，⋯，X n是来自N(μ,42)，为使(X̄−1,X̄+1)是μ的置信水平为0.90的置信区间，那么样本容量n至少应该是多少？

五．设某地区110kv电网在正常情况下服从正态分布，某日内测得10个电压数据（kv）如