备战中考数学压轴题之反比例函数(备战中考题型整理,突破提升)附答案

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k≠0）的图象交于A （﹣1，a），B（b，1）两点．

（1）求反比例函数的表达式；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标；

（3）求△PAB的面积．

【答案】（1）解：当x=﹣1时，a=x+4=3，

∴点A的坐标为（﹣1，3）．

将点A（﹣1，3）代入y= 中，

3= ，解得：k=﹣3，

∴反比例函数的表达式为y=﹣

（2）解：当y=b+4=1时，b=﹣3，

∴点B的坐标为（﹣3，1）．

作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示．

∵点B的坐标为（﹣3，1），

∴点D的坐标为（﹣3，﹣1）．

设直线AD的函数表达式为y=mx+n，

将点A（﹣1，3）、D（﹣3，﹣1）代入y=mx+n中，

，解得：，

∴直线AD的函数表达式为y=2x+5．

当y=2x+5=0时，x=﹣，

∴点P的坐标为（﹣，0）

（3）解：S△PAB=S△ABD﹣S△BDP= ×2×2﹣ ×2× =

【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合S△PAB=S△ABD﹣S△BDP，即可得出结论．

2．如图，点P（x，y1）与Q（x，y2）分别是两个函数图象C1与C2上的任一点．当a≤x≤b 时，有﹣1≤y1﹣y2≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b 上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y1）与Q （x，y2）分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点，当﹣3≤x≤﹣1时，y1﹣y2=（3x+1）﹣（2x﹣1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质，得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立，因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”．

（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；

（2）若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；

（3）若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．【答案】（1）解：是“相邻函数”，

理由如下：y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，

∵y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，

∴当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，

∴﹣1≤y1﹣y2≤1，

即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”

（2）解：y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，

∵y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），

∴顶点坐标为：（1，a﹣1），

又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，

∴当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，

∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，

∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，

∴0≤a≤1

（3）解：y1﹣y2= ﹣（﹣2x+4）= +2x﹣4，构造函数y= +2x﹣4，

∵y= +2x﹣4

∴当x=1时，函数有最小值a﹣2，

当x=2时，函数有最大值，即a﹣2≤y≤ ，

∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，

∴﹣1≤y1﹣y2≤1，即，

∴1≤a≤2；

∴a的最大值是2，a的最小值1

【解析】【分析】（1）y1﹣y2=（3x+2）﹣（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，因为y=x+1在﹣2≤x≤0，是随着x的增大而增大，所以当x=0时，函数有最大值1，当x=﹣2时，函数有最小值﹣1，即﹣1≤y≤1，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”；（2）y1﹣y2=（x2﹣x）﹣（x﹣a）=x2﹣2x+a，构造函数y=x2﹣2x+a，因为y=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+（a﹣1），所以顶点坐标为：（1，a﹣1），又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上，所以当x=1时，函数有最小值a﹣1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a﹣1≤y≤a，因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”，所以﹣1≤y1﹣y2≤1，即

0≤a≤1；（3）当x=1时，函数有最小值a﹣2，当x=2时，函数有最大值，因为函数y=与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，﹣1≤y1﹣y2≤1，即1≤a≤2，所以a的最大值是2，a 的最小值1.

3．如图，四边形OP1A1B1、A1P2A2B2、A2P3A3B3、…、A n﹣1P n A n B n都是正方形，对角线OA1、A1A2、A2A3、…、A n﹣1A n都在y轴上（n≥1的整数），点P1（x1，y1），点P2（x2，

y2），…，P n（x n， y n）在反比例函数y= （x＞0）的图象上，并已知B1（﹣1，1）．