不等式解法1

例1：解不等式
| x − 5 x + 5 |< 1
2
分析：解题关键在于去绝对值，而去绝 对值的常见方法是
①直接去绝对值； ②利用平方去绝对值； ③分类讨论的方法去去绝对值。
注：一般情况解题时使用方法1，要注意“或”与 “且”关系；使用平方法解题时要注意不等式两边 数或量的符号；使用分类讨论时要注意分类的准确。
2
x − 3x + 2 − x + 2 x + 3 解： <0 2 x − 2x − 3
2 2
− x+5 ⇒ 2 <0 x − 2x − 3
x −5 ⇒ >0 ( x + 1)( x − 3)
分 不 式 解 →将 一 化 0 →数 标 式 等 的 法 另 端 为 轴 根
即( x − 1)( x − 2)( x + 1)( x − 3) < 0
2
1 5 {x | − < x < 0或 < x <3 } 2 2
练习: P : 1.(2)(3)(5) 2题 18
(3)30+7x −2x < 0
2
5 解集为{x | x < − 或x > 6} 2
(5)6x +x −2 ≤ 0
2
1 解集为{x | −2 ≤ x ≤ } 3
2(1 | x2` −48|>16解 为−∞ −8) U(−4 2,4 2) U(8,+∞ ) 集 ( , )
∴ 原不等式的解集为{x | x > 2或x < 0}
一元二次不等式ax 一元二次不等式 2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的 或 的 解集与二次函数、 解集与二次函数、二次方程的关系 △>0
二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图 的图 象
△=0
△<0
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根 的根
(2) | x −3x+1|<5解 为−14) 集 ( ,
2`
ax + b 分式不等式 < 0(> 0)的解法 cx + d
ax +b < 0(> 0) ⇔(ax +b)(cx +d) < 0(> 0) cx +d
x −1 例如： < 0 ⇔ ( x + 1)( x − 1) < 0 x +1 解集为{x | −1 < x < 1}
+
−1
o−
1
+
2
3 −o
+
∴ 原不等式的解集为 : {x | −1 < x < 1或2 < x < 3}
x2 −3x +2 练 ： 不 式 2 习 解 等 ： ≤0 {x | −1 ≤ x < 1或2 ≤ x < 3} x −2x −3
x −3x +2 练 ： 不 式 2 习 解 等 ： <1 x −2x−3
有两不等 x1,x2(x1<x2)
有两相等根 x1=x2=-b/2a
没有实根
不等式ax 不等式 2+bx+c>0(a>0) {x|x<x1或x>x2} 的解集 不等式ax 不等式 2+bx+c<0(a>0) 的解集
{x|x≠-b/2a}
R
{x|x1<x<x2}
Φ
Φ
一元二次不等式的求解步骤： 一元二次不等式的求解步骤： 1、整理为标准形式 、 2、观察能否因式分解 、 3、若不能因式分解，计算判别式 、若不能因式分解， 4、画图、找解 、画图、
∴ 二次函数 f ( x )的判别式 ∆ ≤ 0 , 即 4( a1b1 + a 2 b2 + L a n bn ) −
2 2 2 2 ⋅ ( b1 + b2 + L + bn ) ≤ 0 2 4 ( a1
+
2 a2
2 + L an )
定理 (一般形式的柯西不等式 ) 设 a1 , a 2 , a 3 , L , a n , b1 , b2 , b3 , L , bn 是实数 , 则
不等式的解法举例（1） 不等式的解法举例（
含绝对值不等式的解法： 含绝对值不等式的解法：
| f ( x) |< c, (c > 0) ⇔ −c < f ( x) < c
| f ( x) |> c, (c > 0) ⇔ f ( x) < −c或f ( x) > c
在解含有绝对值的不等式， 在解含有绝对值的不等式，其关键在于 如何去掉绝对值 去绝对值的方法有： 去绝对值的方法有： １、利用上述结论 ２、利用绝对值的代数意义 两边平方（非负时） ３、两边平方（非负时）
a > 0 1 ⇒ 1 1⇒a> 2 a或 − 2 > a或a > 2
O
x
y
练 ： 知 等 ax2 +ax −1> 0 解 是 , 习 已 不 式 的 集 Φ 求 数的 值 围 实 a 取 范 .
O
x
a < 0 a = 0或 ∆ ≤ 0
作业： 习题6.4 1 − − − 4题
解集为(−∞,1) U (2,3) U (4,+∞)
(2)x(x −3)(x +1 x −2) < 0 )(
解集为(−1,0) U (2,3)
小 ： 结
x +1 < 0
( x + 1)( x − 1) < 0 ( x + 1)( x − 1)( x − 2) < 0
x −3x +2 ≤0 2 x −2x −3
( x + 1)( x − 1) < 0 ( x + 1)( x − 1)( x − 2) < 0
−1
−
1
1
+
2
+
−
+
x −3x +2 练 ： 不 式 2 习 解 等 ： <0 x −2x −3
2
解：原不等式等价于： − 3x + 2)( x − 2 x − 3) < 0 (x
2 2
即( x − 1)( x − 2)( x + 1)( x − 3) < 0
(3) | 2 x − 1 |>| x + 1 |
解：原不等式 ⇔ (2 x − 1) 2 > ( x + 1) 2 ⇔ 4x2 − 4x +1 > x2 + 2x +1
⇔ 3x 2 − 6 x > 0 ⇔ 3x( x − 2) > 0 ⇔ x < 0或x > 2
∴ 原不等式的解集为{x | x < 0或x > 2}
解法二：| x − 5 x + 5 |< 1
2
∴原不等式的解集为
⇔ ( x − 5 x + 5) < 1 2 2 ⇔ ( x − 5 x + 5) − 1 < 0 2 2 ⇔(x −5x +5−1)(x −5x +5+1) < 0 ⇔ ( x − 1)( x − 4)( x − 2)(x − 3) < 0 ⇔ 1 < x < 2或3 < x < 4
柯西不等式的一般形式
2 2 2 (a1 +a2 +L an )(b2 +b2 +L n ) ≥ (a1b +a2b2 +L nbb )2 b2 a + 2 1 1
2 2 2 分析： 分析： A = a1 + a 2 + L + a n，B = a b + a b + L a b 设 1 1 2 2 n n
5− 5 5+ 5 {x |1 < x ≤ 或 ≤x<4 } 2 2 5+ 5 5− 5 U {x |3 < x < 或 <x<2 } 2 2
= {x | 1 < x < 2或3 < x < 4}
例、 不 式| x2 −5x +5|<1 1 解 等
解 : 原不等式等价于： 1 < x 2 − 5 x + 5 < 1 −
2
有 不 式 理 等
数 标 法 轴 根
1将 等 另 端 化 0 . 不 式 一 转 为 2.最 次 数 为 高 系 化 正 3.根 取 的 舍
练 ： 知 等 ax2－ +a > 0 解 是 , y 习 已 不 式 x 的 集 R 求 数的 值 围 实 a 取 范 . a > 0 a > 0 ⇒ 1 − 4a 2 < 0 ∆ < 0
2 2 (a1 +a2 +L an )(b2 +b2 +L n ) ≥ (a1b +a2b2 +L nbb )2 b2 a + 2 1 2 1
当且仅当 b1 = b2 = L L = bn = 0 (或 a1 = a 2 = L L = a n = 0 )或存在一个数 k , 使得 a i = kbi (i = 1, 2, L , n )时 , 等号成立 。
2 2
{x | 1 < x < 2或3 < x < 4}
解法三：原不等式等价于
x 2 − 5x + 5 ≥ 0 x 2 − 5x + 5 < 0 或（2） 2 (1) 2 x − 5x + 5 < 1 x − 5 x + 5 > −1
∴原不等式的解集为
5− 5 5+ 5 由(1)得 1 < x ≤ 或 ≤x<4 2 2 由(2)得 3 < x < 5 + 5 或 5 − 5 < x < 2 2 2
解法一：原不等式等价于
由①得 1 < x < 4 由②得 x > 3或x < 2 ∴原不等式的解集为
x − 5x + 5 < 1 即 2 x − 5 x + 5 > −1
2
− 1 < x − 5x + 5 < 1
2
① ②
= {x | 1 < x < 2或3 < x < 4}
{x | 1 < x < 4}I {x | x > 3或x < 2}
C = b + b + L + b ， 则不等式就是 AC ≥ B
2 1 2 2 2 n
2
构造二次函数
2 2 2 f ( x ) = (a1 + a 2 + L + a n ) x 2 + 2( a1b1 + a 2 b2 + L a n bn ) x 2 2 + (b12 + b2 + L bn ) 又f ( x ) = (a1 x + b1 ) 2 + (a 2 x + b2 ) 2 + L + (a n x + bn ) 2 ≥ 0
即( x − 1) 2 ( x − 2)( x + 1)( x − 3) < 0
x −1 ≠ 0 ⇒ ( x − 2)( x + 1)( x − 3) < 0
( x − 1) 2 < 0
+
1
−1
+
1
−
+
+2
{x | x < −1或2 < x < 3}
−
3
+
练习： 练习： P19
2
1, 2
x −3x +2 >0 (1 2 ) x −7x +12
ax +b ≤ 0(≥ 0) ⇔(ax +b)(cx +d) ≤ 0(≥ 0) cx +d
?
注：先求定义域
(x −2)(x −1 ) 2 <0 数 标 法 例： 轴 根 x +1 解 : 原不等式等价于： x + 1)( x − 2)( x − 1) < 0 (
x +1 < 0
− + −
−1
−1
+
x 2 − 5 x + 5 > −1 即 2 x − 5x + 5 < 1
解不等式(2)得：< x < 4 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（） 1 （2）
解不等式(1)得：x < 2或x > 3
1
2 3
4
∴ 原不等式的解集为{x | 1 < x < 2或3 < x < 4}
练 ： x −10x −3|<3 习|4
练 ： 下 不 式 习 解 列 等 x −1 (1 | ) +4|>3 (2) | 2 x − 1 |> x + 1 (3) | 2 x − 1 |>| x + 1 | 2 解 : (1)原不等式等价于 | x − 1 + 8 |> 6 ⇔| x + 7 |> 6 ⇔ x + 7 > 6或x + 7 < −6 ⇔ x > −1或x < −13 ∴ 原不等式的解集为{x | x > −1或x < −13} 1 (2)当2 x − 1 ≥ 0，即x ≥ 时 2 原不等式等价于2 x − 1 > x + 1 ⇔ x > 2 ∴ 此时x > 2 1 当2 x − 1 < 0，即x < 时 2 ∴ 此时x < 0 原不等式等价于1 − 2 x > x + 1 ⇔ x < 0