如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形 (及其内部)以 边所在直线为旋转轴旋转 得到的

如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点.

（Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小；

（Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.

本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，

考查空间想象能力

和推理论证能力.满分14 分.

解：（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，

AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =，

所以BE ⊥平面ABP ，

又BP ⊂平面ABP ，

所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒，

因此30CBP ∠=︒

（Ⅱ）解法一：

取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH .

因为120EBC ∠=︒，

所以四边形BEHC 为菱形，

所以AE GE AC GC =====.

取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC .

则EM AG ⊥，CM AG ⊥，

所以EMC ∠为所求二面角的平面角.

又1AM =，所以EM CM ===在BEC ∆中，由于120EBC ∠=︒，

由余弦定理得22222222cos12012EC =+-⨯⨯⨯︒=，

所以EC =EMC ∆为等边三角形，

故所求的角为60︒.

解法二：

以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E

，(1G

，(1C -，故(2,0,3)AE =-

，(1AG =，(2,0,3)CG =，

设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量.

由00

m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

可得1111230,0,x z x -=⎧⎪⎨=⎪⎩ 取12z =，可得平面AEG

的一个法向量(3,m .

设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量.

由00

n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

可得22220,230,x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 取22z =-，可得平面ACG

的一个法向量(3,2)n =-. 所以1cos ,||||2

m n m n m n ⋅<>==⋅. 因此所求的角为60︒.