江苏大学,大学物理13--15练习答案

O
A
2
练习 十三
(简谐振动、旋转矢量、简谐振动的合成)
一、选择题
1． 一弹簧振子，水平放置时，它作简谐振动。

若把它竖直放置或放在光滑斜面上，试判断下列情况正确的是 （C ）
（A ）竖直放置作简谐振动，在光滑斜面上不作简谐振动； （B ）竖直放置不作简谐振动，在光滑斜面上作简谐振动； （C ）两种情况都作简谐振动； （D ）两种情况都不作简谐振动。

解：(C) 竖直弹簧振子:kx mg l x k dt x d m -=++-=)(22(mg kl =),0222=+x dt x
d ω
弹簧置于光滑斜面上:kx mg l x k dt x d m -=++-=αsin )(22 (mg kl =),0222=+x dt
x
d ω
2． 两个简谐振动的振动曲线如图所示，则有 （A ） （A ）A 超前
2π； （B ）A 落后2π
；（C ）A 超前π； （D ）A 落后π。

解：(A)t A x A ωcos =,)2/cos(πω-=t A x B
3． 一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最
大位移这段路程所需要的最短时间为： （B ） （A ）
4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8
T。

解：(B)振幅矢量转过的角度6/πφ=∆,所需时间12
/26/T T t ==∆=ππωφ,
4． 分振动表式分别为)π25.0π50cos(31+=t x 和)π75.0π50cos(42+=t x （SI 制）则它们的合振动表达式为： （C ）
（A ）)π25.0π50cos(2+=t x ； （B ）)π50cos(5t x =；
（C ）π1
5cos(50πarctan )27
x t =+
+； （D ）7=x 。

解：(C)作旋转矢量图或根据下面公式计算
)cos(210202122
2
1
φφ-++=A A A A A 5)25.075.0cos(432432
2
=-⋅⋅++=ππ
7
1
2)75.0cos(4)25.0cos(3)75.0sin(4)
25.0sin(3cos cos sin sin 112021012021011
0---+=++=++=tg tg A A A A tg πππππφφφφφ
5． 两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l ∆和2l ∆，且212l l ∆=∆，则两弹簧振子的周期之比21:T T 为 （B ）
（A ）2； （B ）2； （C ）2/1； （D ）2/1。

解：(B) 弹簧振子的周期k m
T π
2=,11l m g k ∆=, 22l m g k ∆=,2212
1=∆∆=l l T T 6. 一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为m 的重物，其自由振动的周期为T ．今已知振子离开平衡位置为
x 时，其振动速度为v ，加速度为a ．则下列计算该振子劲度系数的公式中，错误的是： （B ）
(A) 2
max
2max /x m k v =； (B) x mg k /=； (C) 2
2/4T m k π=； (D) x ma k /=。

解：B
7. 两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同．第一个质点的振动表式为x 1 = A cos(ωt + α)．当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处．则第二个质
点的振动表式为 （B ） (A) )π21cos(2++=αωt A x ； (B) )π21
cos(2-+=αωt A x ； (C) )π2
3
cos(2-+=αωt A x ； (D) )cos(2π++=αωt A x 。

解：(B)作旋转矢量图
A
8. 一质点沿x 轴作简谐振动，振动表式为 )3
1
2cos(1042π+π⨯=-t x (SI 制)。

从t = 0时刻起，到质点位
置在x = -2cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为
（C ）
（A ）18s ； （B
）16s ； （C ）12s ； （D ）14s 。

解：(C)作旋转矢量图s t
2/12//min ==∆=ππωφ 二、填空题 1. 一简谐振动用余弦函数表示，其振动曲线如图所示，则此简谐振动的三个特征量为A =______；ω =______；φ
0=______。

解：由图可知m cm A 1.010
==,s T 12=,16//2-==s T ππω,
作旋转矢量得3/0πφ=
2．单摆悬线长l ，在悬点的铅直下方2/l 处有一小钉，如图所示。

则单摆的左右两方振动
周期之比21:T T 为 。

解：单摆周期g l T π2=,2
2
=
=右左右左l l T T 3．一质点沿x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点。

已知周期为T ，振幅为A 。

（1）若t = 0时质点过x = 0处且朝x 轴正方向运动，则振动方程为 x =＿＿＿＿＿＿＿＿。

（2）若t = 0时质点处于A x 2
1
=
处且向x 轴负方向运动，则振动方程为x =＿＿＿＿＿。

解：作旋转矢量图,由图可知(1))22cos(ππ-=t T A x ;(2))3
2cos(π
π+=t T A x
4．有两个相同的弹簧，其劲度系数均为k ，(1)把它们串联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；(2)把它们并联起来，下面挂一质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 。

解：两个相同弹簧串联, 劲度系数为
2k
,k
m T 22π=;两个相同弹簧并联,劲度系数为k 2,k m T 22π=. 5．质量为m 的物体和一轻质弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T ，当它作振幅为A 的自由简谐振动
时，其振动能量E = 。

解：弹簧振子振动周期k
m T π2=,224T
m k π=,振动能量22
22
221A T m kA E π== 6．若两个同方向、不同频率的谐振动的表达式分别为t A x π10cos 1=和t A x π12cos 2=，则它们的合振动频率为 ，拍频为 。

解：πνω2=,51=ν, 62=ν,合振动频率Hz 2
11212=+=ννν,拍频Hz 112=-=∆ννν
7．两个同方向的简谐振动曲线如图所示。

合振动的振幅为________________，合振动的振动方程为___________________。

解：作旋转矢量图12A A -; ⎪⎭⎫
⎝⎛+-=22cos )(12ππt T
A A x
三、计算题
1．质量m = 10 g 的小球按如下规律沿x 轴作简谐振动：
)3
2
8cos(1.0π+
π=t x (SI)．求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值以及振动的能量。

解：圆频率)/1(8s πω=,周期)(4/1/2s T ==ωπ,振幅m A 1.0=,初相3/20πφ= 振动速度最大值)/(5.28.081.0max s m A v ==⨯==ππω,
加速度最大值)/(634.6)8(1.02
2
2
2
max s m A a ==⨯==ππω
振动的能量J mv kA E 222max 210125.35.201.02
1
2121-⨯=⨯⨯===
2*. 边长为l 的一立方体木块浮于静水中，其浸入水中部分的深度为0h ，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使其浸入水中部分的深度为h ，然后放手任其运动。

若不计水对木块的粘滞阻力,试证明木块作简谐运
)(t A
4πO
)
0(A O
)
0(1A
动，并求振动的周期T 和振幅A 。

（水和木块的密度分别为12ρρ和）
解：木块平衡时：g l h mg 201ρ=,取液面为坐标原点，向下为x 轴正向,当木块浸入水中深度增加x 时
mg F dt x d m +-=浮22,xg l g l g h x l dt
x d l 213202122
32)(ρρρρ-=++-= x l g dt x d 212
2ρρ-=,02
022=+x dt x d ω,l g 21ρρω=,g
l T 1222ρρπωπ==, 022
020/h h v x A -=+=
ω
3.一水平放置的弹簧振子，振动物体质量为0.25kg ，弹簧的劲度系数25N m k =⋅-1。

(1) 求振动的周期T 和角频率ω； (2) 以平衡位置为坐标原点。

如果振幅A =15 cm ，t = 0时物体位于x = 7.5 cm 处，且物体沿x 轴反向运动，求振动的表达式； (3) 求振动速度的表达式。

解：(1) 角频率)/1(1025.0/25/s m k ===ω,)(2.0/2s T πωπ==
(2) 作旋转矢量图,由图可知3/0πφ=
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=310cos 15.0πt x （SI 制）, (3)⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+-=310sin 5.1πt v （SI 制）
4． 一个弹簧振子作简谐振动，振幅m 2.0=A ，如弹簧的劲度系数N/m 0.2=k ，所系物体的质量kg 50.0=m ，试求：（1）当系统动能是势能的三倍时，物体的位移是多少？（2）物体从正的最大位移处运动到动能等于势能的三倍处所需的最短时间是多少？ 解(1)由题意，3k p E E =,2
2212144kA kx E E E E p p k =⋅==+=,得224x A = , 10.12
x A m =±=± (2) 由题意知
)/1(25.0/0.2/s m k ===ω，
作旋转矢量图知：3/πφ=∆，最短时间为)(6//s t πωφ=∆=∆
5．有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表达式为：
130.05cos 10π4x t ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，210.06cos 10π4x t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（SI 制）
（1）求它们合成振动的振幅和初相。

（2）另有一个振动300.07cos(10)x t φ=+，问0φ为何值时，
31x x +的振幅最大；0φ为何值时，32x x +的振幅最小。

解：(1)由图可知m A A A 078.022
2
1
=+=
,0108.846
5
4=+=-tg π
φ
(2) 31x x +的振幅最大时πφφ4
3
100=
=; 32x x +的振幅最小时πφφ±=-200 ,)43(,450ππϕ-=或
练习 十四 平面简谐波、波的能量
一、选择题
1．一个平面简谐波沿x 轴负方向传播，波速m/s 10=u 。

0=x 处，质点振动曲线如图所示，则该波的表达式(SI 制)为 (B ) （A ）)2π20π2πcos(2++=x t y ；（B ）)2π20π2πcos(2-+=x t y ； （C ）)2π20π2πsin(2++=x t y ；
（D ）)2π20π2πsin(2-+=x t y 。

解：(B)由图可知s T 4=,0=x 处质点振动方程⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫
⎝⎛+=22
cos 22cos 00ππφπt t T A y 波的表达式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2202cos 22102cos 222cos 2πππππππx t t x t t u x t y 2．一个平面简谐波沿x 轴正方向传播，波速为m/s 160=u ，0=t 时刻的波形图如图所示，则该波的表达
A
-
O )0(A x =0处质点在t =0
时振幅矢量.
O )
0(A x =0处质点在t =0 时振幅矢量.
式(SI 制)为 ( C )
（A ）2π4ππ40cos(3-+=x t y ；（B ）)2
π
4ππ40cos(3++=x t y ；
（C ）)2π
4ππ40cos(3--=x t y ；（D ）)2π4ππ40cos(3+-=x t y 。

解:(C)由图可知m 8=λ,s m u /160=,)/1(20/s u ==λν,)/1(402s ππνω== 设0=x 处质点振动方程为()0040cos φπ+=t A y , 0=t 时0=x 处质点位移为
零且向y 轴正向运动, 作旋转矢量图知20π
φ-=,⎪⎭⎫
⎝
⎛-=240cos 30ππt y
波的表达式⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎦⎤⎢
⎣
⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2440cos 3216040cos 3πππππx t x t y 3*. 一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t
为 ( D ) (A) ]2)(cos[π
+'-=t t b u a y ；(B) ]2
)(2cos[π-'-π=t t b u a y ； (C) 2)(cos[π+'+π=t t b u a y ；(D) ]2
)(cos[π-'-π=t t b u a y 。

解:(D) 由图可知b 2=λ,b v v 2//==λν,b v /2ππνω==
t t '=时0=x 处质点位移为零且向y 轴正向运动,∴0cos 0=φ,0sin 0>-φ,2/0πφ-=
4. 一个平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 ( C )
（A ）它的势能转化成动能； （B ）它的动能转化成势能； （C ）它从相邻的媒质质元获得能量，其能量逐渐增加；
（D ）把自己的能量传给相邻的媒质质元，其能量逐渐减小。

解：(C)质元的动能2v dE k ∝,势能()2/x y dE P ∂∂∝,质元由最大位移处回到平衡位置过程中,v 和x y ∂∂/由
↑0到最大值.
5．一平面简谐波在弹性媒质中传播时，在传播方向上某质元在某一时刻处于最大位移处，则它的 ( B )
（A ）动能为零，势能最大； （B ）动能为零，势能也为零； （C ）动能最大，势能也最大；（D ）动能最大，势能为零。

解：(B)质元的动能2v dE k ∝,势能()2/x y dE P ∂∂∝,质元在最大位移处,v 和x y ∂∂/均为0.
6．频率为 100 Hz ，传播速度为300 m/s 的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为3/π，则此两点相距 ( C ) (A) 2.86 m ； (B) 2.19 m ； (C) 0.5 m ； (D) 0.25 m 。

解:(C) 波长m u 3100/300/===νλ,φπλ∆⇔⇔x ,2，)3//(2/3ππ=x ,m x 5.0= 7．在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波强度之比是4:21=I I ，则两列波的振幅之比21:A A 为 （A ）4； （B ）2； （C ）16； （D ）0.25。

( B )
解：(B)波强u A I 2221ωρ=,42
22
121==A A I I
8．在下面几种说法中，正确的是： ( C )
（A ）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的； （B ）波源振动的速度与波速相同；
（C ）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后； （D ）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相超前。

解：(C)在波传播方向上,任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后 二、填空题
1． 产生机械波的必要条件是 和 。

解：波源,介质.
2． 一平面简谐波的周期为s 0.2，在波的传播路径上有相距为cm 0.2的M 、N 两点，如果N 点的位相比
M 点位相落后
6
π
，那么该波的波长为 ，波速为 。

-)
解：φπλ∆⇔⇔x ,2， φ
πλ∆=∆2x ,cm x 2426/22=⋅=∆∆=ππ
φπλ,s cm T u /12/==λ
3． 我们 （填能或不能）利用提高频率的方法来提高波在媒质中的传播速度。

解：不能.波速由媒质的性质决定.
4． 处于原点（0=x ）的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为)cos(Cx Bt A y -=，其中A 、B 、C 皆为常数。

此波的速度为 ；波的周期为 ；波长为 ；离波源距离为l 处的质元振动相位比波源落后 ；此质元的初相位为 。

解：)(cos )/(cos )cos(u
x
t A c B x t B A Cx Bt A y -=-
=-=ω,C B u /=,B T /2/2πωπ==, C uT /2πλ==,λπφ/2/l =∆,Cl l ==∆λπφ/2,初相Cl -
5． 一平面简谐波沿x 轴正向传播，波动方程为]4
π
)(cos[+-=u x t A y ω，则1L x =处质点的振动方程
为 ，2L x -=处质点的振动和1L x =处质点的振动的位相差为=-12φφ 。

解：波方程中x 用特定值表示后即表示特定质点振动方程111cos ]4
)(cos[φπωA u L t A y =+-= 222cos ]4)(cos[φπωA u L t A y =++=,u L L )
(1212+=
-ωφφ 6．一平面简谐波（机械波）沿x 轴正方向传播，波动表达式为)2
1
cos(2.0x t y π-
π=(SI 制)，则x = -3 m 处媒质质点的振动加速度a 的表达式为____________________________。

解：)2
1cos(2.0222x t t y a ππ--=∂∂=π,t t a x πππsin 2.0)23cos(2.02
23ππ-=+-=-=
三、计算题
1．一平面简谐波，振动周期0.5T =s ，波长λ = 10m ，振幅A = 0.1m 。

当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。

若坐标原点和波源重合，且波沿x 轴正方向传播，求：(1)波源的振动表达式；(2)简谐波的波动表达式；(3) x 1 = λ /4处质点，在t 2 = T /2时刻的位移和振动速度。

解:由题意可知)/1(4/2s T ππω==,s m T u /205.0/10/===λ
(1) 设波源的振动表达式为)4cos(1.00φπ+=t y ,m y t 1.0,00== ,0,cos 1.01.000==∴φφ,t y π4cos 1.0= (2) 波动表达式)20/(4cos 1.0x t y -=π(SI 制)
(3) 将s t m x 25.0,5.221==代入波动表达式得:05.0cos 1.0)20/5.225.0(4cos 1.0==-=ππy 振动速度)20/(4sin 4.0/x t t y v --=∂∂=ππ
将s t m x 25.0,5.221==代入,)/(4.05.0sin 4.0)20/5.225.0(4sin 4.0s m v πππππ-=-=--=
2．一振幅为0.1m ，波长为2 m 的平面简谐波。

沿x 轴正向传播，波速为1m/s 。

t = 2s 时，x =1m 处的质点处于平衡位置且向正方向运动。

求：(1)原点处质点的振动表达式；(2)波的表达式；(3)在x = 1.5m 处质点的振动表达式.
解:由题意可知s m u m m A /1,2,1.0===λ, )(2/s u T ==λ,)/1(/2s T ππω== (2)设x =1m 处的质点振动表达式)cos(1.0)cos(001φπφω+=+=t t A y
因为t = 2s 时，该质点处于平衡位置且向正方向运动
所以0)2cos(1.00=+φπ,0)2sin(1.00>+-φππ,2/0πφ-=,)2/cos(1.01ππ-=t y
波的表达式为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=2cos 1.0211cos 1.0ππππx t x t y (SI 制)
(1) 令0=x 得,)2/cos(1.0ππ+=t y (SI 制)
(3) 令m x 5.1=得,()[])cos(1.02/5.1cos 1.0ππππ-=+-=t t y (SI 制)
3． 一平面简谐波在介质中以速度m/s 20=u 沿x 轴负方向传播，如图所示。

已知a 点的振动表式为
t y π4cos 3a =（SI 制）。

（1）以a 为坐标原点写出波动表达式。

u
a
b
p
p 0 u 1m
（2）以距a 点m 5处的b 点为坐标原点，写出波动表达式。

解:(1))5
4cos(3)20(4cos 3)20(4cos 3x
t x t x t y ππππ+=+=-=(SI 制)
(2))5
4cos(3)]205(4cos[3ππππ-+=--=x t x t y (SI 制)
4．某质点作简谐振动，周期为2 s ，振幅为0.06 m ，t = 0 时刻，质点的位移为
0.03 m,且向正方向运动，求:(1) 该质点的振动表达式；(2) 此振动以速度u =2m/s 沿x 轴负方向传播时，波的表达式； (3) 该波的波长。

解:(1) 由题意可知)/1(/2,06.0s T m A ππω===,
设振动表达式为 )cos(06.00φπ+=t y ,
t = 0 时刻，质点的位移为0.03 m,且向正方向运动,∴5.0cos 0=φ,0sin 0>-φ,3/0πφ-=
)3/cos(06.0ππ-=t y
(2) 波的表达式]3/)2/(cos[06.0]3/)2/(cos[06.0ππππ-+=--=x t x t y (SI 制)
(3) 波长m uT 4==λ
5．一列沿x 正向传播的简谐波，已知01=t 和s 25.02=t 时的波形如图所示。

（假设周期s 25.0>T ）试求 （1）P 点的振动表达式；（2）此波的波动表式；
（3）写出o 点振动方程并画出o 点的振动曲线。

解:由图可知
s T 125.04=⨯=,m 6.0=λ,s m T v /6.0/==λ,)/1(2/2s T ππω==
(1)P 点振动表达式)2/2cos(2.0)cos(0ππφω-=+=t t A y P P (SI 制) (2) 波动表式]2)6.03.0(2cos[2.0ππ---=x t y ]2
)6.0(2cos[2.0ππ+-=x t (SI 制) (3)O 点振动方程)2
2cos(2.0π
π+
=t y O (SI 制)
6．一平面简谐声波，沿直径为0.14m 的圆柱形管行进，波的强度为9.0⨯10-3W/m 2，频率为300Hz ，波速
为300m/s 。

问：（1）波的平均能量密度和最大能量密度是多少？（2）每两个相邻的、相位差为π2的同相面间有多少能量？
解(1)35322100.3300/100.9/,2
1---⋅⨯=⨯====
m J u I w u w u A I ωρ,35max 100.62--⋅⨯==m J w w (2)J w d V w w s V 721062.44
1
,,-⨯====λπλ
练习 十五
知识点：波的干涉、驻波、多普勒效应
一、选择题
1．如图所示，两列波长为λ 的相干波在P 点相遇．波在S 1点振动的初相是φ 1，S 1到P 点的距离是r 1；波在S 2点的初相是φ 2，S 2到P 点的距离是r 2，以k 代表零或正、负整数，则P 点是干涉极大的条件为： ( )
(A) λk r r =-12； (B) π=-k 212φφ；
(C)
π=-π+-k r r 2/)(21212λφφ； (D) 21122()/2r r k φφλ-+-=ππ。

解:(D) 111111cos )(2cos Φ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-=A u r
t A y p φπ,222222cos )(2cos Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=A u r t A y p φπ
πλ
πφφλ
πφφk r
r r r 2222112121212=-+-=---=Φ-Φ=∆Φ
2．两个相干波源的相位相同，它们发出的波叠加后，在下列哪条线上总是加强的？ ( )
（A ）两波源连线的垂直平分线上； （B ）以两波源连线为直径的圆周上； （C ）以两波源为焦点的任意一条椭圆上；（D ）以两波源为焦点的任意一条双曲线上。

)
m (
(y )
s
p u
解: (A)λ
π
φφφ1
210202r r ---=∆,对相干波源,1020φφ=,在垂直平线上0,12=∆=φr r .
3．平面简谐波)π3π5sin(4y t x +=与下面哪列波干涉可形成驻波？ ( )
（A ）4sin 2π(2.5 1.5)y t x =+； （B ）4sin 2π(2.5 1.5)y t x =-； （C ）4sin 2π(2.5 1.5)x t y =+； （D ）4sin 2π(2.5 1.5)x t y =-。

解:(D)波方程)35sin(4y t x ππ+=中,x 为各质点相对平衡位置的位移,y 为质点平衡位置的坐标.
4．在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 ( ) (A) 振幅相同，相位相同； (B) 振幅不同，相位相同；
(C) 振幅相同，相位不同； (D) 振幅不同，相位不同。

解: (B) 相邻波节间各质点的振动振幅不同，相位相同。

5. 在波长为λ 的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 ( ) (A) λ /4； (B) λ /2； (C) 3λ /4； (D) λ 。

解: (B) 两个相邻波腹（波节）之间的距离为λ /2。

6*. 一机车汽笛频率为750 Hz ，机车以时速90公里远离静止的观察者．观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340 m/s ）． ( ) (A) 810 Hz ； (B) 699 Hz ； (C) 805 Hz ； (D) 695 Hz 。

解: (B)Hz u u u T u u u u 69975025
340340(=⋅+=+=+=''=
'νλν源源） 7*. 设声波在媒质中的传播速度为u ，声源的频率为S v ，若声源S 不动，而接收器R 相对于媒质以速度R υ沿S 、R 连线向着声源S 运动，则接收器R 接收到的信号频率为： ( )
（A ）S v ； （B ）
S R v u u υ+； （C ）S R v u u υ-； （D ）S R
v u u
υ-。

解: (B)观察者收到的信号频率=测得的波速与波长的比值νλνu
v u uT v u u 观
观+=+=''='
二、填空题
1．设1S 和2S 为两相干波源，相距0.25λ，1S 的相位比2S 的相位超前0.5π。

若两波在1S 与2S 连线方向上的强度相同均为0I ，且不随距离变化。

则1S 与2S 连线上在1S 外侧各点合成波的强度为＿＿＿＿＿，在2S 外侧各点合成波的强度为_______________。

解: 1S 外侧πλ
λ
ππλ
πφφφ-=--=---=∆25.025.02121020r r ,波的强度为零
2S 外侧025.025.02121020=---=---=∆λ
λ
ππλπφφφr r ，波的强度为04I
2．简谐驻波中，在同一个波节两侧距该波节的距离相同的两个媒质元的振动相位差为________。

解:
π
3． 一驻波表式为t x y 400cos π2cos 1042-⨯=（SI 制）
，在1/6(m)x =处的一质元的振幅为 ，振动速度的表式为 。

解: ()m A 221026/12cos 104--⨯=⋅⨯=π,m x 6/1=处质点振动方程为t y 400cos 1022-⨯=,质点速度的表式
t v 400sin 8-=(SI 制).
4． （a ）一列平面简谐波沿x 正方向传播，波长为λ。

若在0.5x λ=处质点的振动方程为t A y ωcos =，则该平面简谐波的表式为 。

（b ）如果在上述波的波线上L x =（0.5L λ>）处放一垂直波线的波密介质反射面，且假设反射波的振幅衰减为A '，则反射波的表式为 （L x ≤）。

解: (a )⎪⎭⎫
⎝
⎛--
=u x t A y 2/cos λω ⎪⎭
⎫
⎝⎛+-
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=πλπωωλωωx t A u u x t A 2cos 2cos (b )⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛----
'=πλωu x L u L t A y 2/cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=λπλπωL x t A 42cos
5．一驻波方程为t x A y π100cos π2cos =(SI 制)，位于m x 8/31=的质元与位于m x 8/52=处的质元的振动位相差为 。

解: t A t A y
x πππ100cos 2
2100cos 43cos
1
-==, t A t A y
x πππ100cos 2
2100cos 85cos
2
-==；位相差为0 6*
. 一汽笛发出频率为Hz 700的声音，并且以15m/s 的速度接近悬崖。

由正前方反射回来的声波的波长为（已知空气中的声速为m/s 330） 。

解:m u u T u u 45.0700/315/((==-=-='νλ））源源
三、计算题
1．波速为1
0.20m s u -=⋅的两列平面简谐相干波在P 点处相遇，两个波源S 1和S 2的振动表式分别为
100.1cos 2y t π=（SI 制）和200.1cos(2)y t π=+π（SI 制）。

已知1PS 0.40m =，2PS 0.50m =，求： （1）两列波的波函数；（2）两列波传播到P 点的位相差；（3）干涉后P 点的振动是加强还是减弱，以及P
点合振幅。

解:（1）设1r 为空间某点到波源S 1的距离, 2r 为空间某点到波源S 1的距离,则
)102cos(1.0)2.0/(2cos 1.0111r t r t y πππ-=-=（SI 制）
， )102cos(1.0])2.0/(2cos[1.0222πππππ+-=+-=r t r t y （SI 制） （2）在两波相遇处02
.040
.050.0221
21020=--=---=∆π
πλ
π
φφφr r
（3）0=∆φ,P 点的振动加强，合振幅为m 2.0
2. 在弹性媒质中有一沿x 轴正向传播的平面波，其表达式为)2/4cos(01.0ππ--=x t y (SI 制)。

若在x = 5.00 m 处发生固定端反射，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式。

解: 入射波引起分界面处质点的振动方程
)5.54cos(01.0)2/54cos(01.0πππ-=--=t t y
设反射波的表达式为)4cos(01.00φ++=x t y π
反射波引起分界面处质点的振动方程)54cos(01.00φπ++=t y ,反射波比入射波在分界面处引起质点的分振动相位落后π
ππφπ-=--++)5.54(540t t
πφ5.110-=
)2/4cos(01.0)5.114cos(01.0ππ++=-+=x t x t y ππ
3．设入射波的表达式为 )(2cos 1T
t
x A y +π=λ，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端。

设反射时无
能量损失，求：(1) 反射波的表达式；(2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置。

解: （1）入射波引起分界面处(x =0)质点的振动方程T t A y /2cos 10π=
反射波比入射波在x =0处引起质点的分振动相位落后π 反射波引起x =0处质点的振动方程[]π-=T t A y /2cos 20π
反射波的表达式为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-⎪⎭⎫
⎝⎛-=πλx T t A y π2cos 2
（2）⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=+=22cos 22cos 221πππλπT t x A y y y
（3）波节 2,1,02==k k x λ；波腹 2,1,04
)12(=+=k k x λ
4*． 一声源的频率为Hz 1080，相对于地以m/s 30的速率向右运动。

在其右方有一反射面相对于地以5m/s 6的速率向左运动。

设空气中的声速为m/s 331。

求
（1）声源前方空气中声波的波长； （2）每秒钟到达反射面的波数； （3）反射波的速率。

解:（1）m u u T u u 279.01080/301/((==-=-='νλ））源源
（2）Hz T v u v u u 1421108030
33165
331)(=⋅-+=-+=''=
'源观λν （3）反射波的速率为m/s 331。

5*． 如图所示，试计算：
（1）波源S 频率为Hz 2040，以速度S υ向一反射面接近，观察者在A 点听得拍音的频率为Hz 3=∆v ，求波源移动的速度大小S υ。

设声速为m/s 340。

（2）若（1）中波源没有运动，而反射面以速度m/s 20.0=υ向观察者A 接近。

观察者在A 点所听得的拍音频率为Hz 4=∆v ，求波源的频率。

解: （1）2040340340)(1⋅+=+=''=
'=S s v T v u u u λνν 2040340340
)(2⋅-=-=''='=S
s v T v u u u λνν
3204034034022040340340
20403403402
212=⋅-⋅⋅=⋅+-⋅-=-=∆s s S S v v v v ννν
s m v S /25.0≈
（2）20401=ν,νλνν⋅-+=-+=''=
'=2
.03402
.0340)(2T v u v u u 48
.3392
.34012=-⋅=
-=∆ννννν,Hz 3398=ν。