立体几何-点线面关系

立体几何

第二节

空间点、直线、平面之间的位置关系

本节主要包括2个知识点：

1.平面的基本性质；

2.空间两直线的位置关系.

突破点(一) 平面的基本性质

1．公理1～3

2．公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

点、线、面的位置关系

1．证明点共线问题的常用方法

(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；

(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． 2．证明线共点问题的方法

先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点． 3．证明点、直线共面问题的常用方法

(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；

(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．

[典例] 已知：空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝1

3

DC .求证：

(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)三直线FH ，EG ，AC 共点． [方法技巧]

平面的基本性质的应用

公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )

2．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5

D ．大于5

3．以下四个命题中，正确命题的个数是( ) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则A ，B ，C ，D ，E 共面； ③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A ．0 B ．1 C ．2

D ．3

4.如图所示，四边形ABEF 和四边形ABCD 都是梯形，BC 綊1

2

AD ，

BE 綊12

FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．

(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？

突破点(二) 空间两直线的位置关系

1．空间中两直线的位置关系 (1)空间中两直线的位置关系

⎩⎨

⎧

共面直线⎩⎪⎨

⎪⎧

平行相交异面直线：不同在任何一个平面内

(2)公理4和等角定理

①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．异面直线所成的角

(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．

(2)范围：⎝

⎛⎦⎥⎤0，π2.

[例1] (1)下列结论正确的是( )

①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行；

③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间四条直线a ，b ，c ，d ，如果a ∥b ，c ∥d ，且a ∥d ，那么b ∥c . A ．①②③ B ．②④ C ．③④

D ．②③

(2)在图中，G ，N ，M ，H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

[方法技巧]

判断空间两直线位置关系的思路方法

(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．

(2)异面直线的判定方法

①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．

②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．

异面直线所成的角

[例2] 空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

[方法技巧]

用平移法求异面直线所成的角的步骤

(1)一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1．[考点一]下列说法正确的是( )

A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线

B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面

C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面

D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

2．[考点一]l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( ) A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

3．[考点二]如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．

4．[考点一、二]如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，

∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．

(1)求证AE与PB是异面直线；

(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值．

[全国卷5年真题集中演练——明规律]

1.(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为( )

A.

3

2

B.

2

2

C.

3

3

D.

1

3

2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

3．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)