西南大学(0917)《高等数学》期末考试

西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷

类别：网教 专业：机电一体化技术、车辆工程、电力系统自动化技术、软件工程 2016年12月 课程名称【编号】： 高等数学 【0917】 A 卷 大作业 满分：100 分

（一）计算题

1、求错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。.

解：

2、求不定积分错误!未找到引用源。. 解：

3、求定积分错误!未找到引用源。. 解：⎰⎰---=1

1

x x

xde dx xe

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛--=⎰--1

01

dx e xe

x x ()()⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡-+--=⎰--1

01

0x d e e

x

⎪⎭⎫ ⎝

⎛+-=--101x e e

()[

]

111

-+-=--e e

1

21--=e

4、求函数错误!未找到引用源。的微分.

解：因为

'

23'

)(x e x y =x x e x e x 232223+=)23(22x e x x += 所以 dx x e x dx y dy x )23(22'+==

5、 求函数错误!未找到引用源。的极值.

解：f （x ）=（x 2-1）3+1

f`(x) =3(x 2-1)2 2x=6x(x+1)2(x-1)2 令f`(x) =0

得x=0，-1，1

而x<-1,f'(x)<0,函数单调递减 -10,函数单调递增 x>1,f'(x)>0,函数单调递增

所以函数在x=0处取得极小值为f(0)=0

6、计算抛物线错误!未找到引用源。与直线错误!未找到引用源。所围图形的面积. 解：

面积微元:

所求面积:

7、求函数错误!未找到引用源。的全微分.

解：

8、求三元函数错误!未找到引用源。的偏导数错误!未找到引用源。.

解：

把y和z看作常数,对x求导得

把x和z看作常数,对y求导得

把x和y看作常数,对z 求导得

9、求解微分方程

解：

原方程变形为（齐次方程）

令则故原方程变为即

分离变量得两边积分得或

回代便得所给方程的通解为

（二）证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）

证：证明方程有且仅有一个小于1的正实根.

设()1

5

5+

-

=x

x

x

f，则()x f在[0,1]上连续，且()1

0=

f，()3

1-

=

f，由介值定理，存在()1,0

∈

x

使()0

=

x

f，即为方程的小于1的正实根.

设另有()1,0

1

∈

x，

1

x

x≠，使()0

1

=

x

f

因为()x f在0

1

,x

x之间满足罗尔定理的条件，所以至少存在一点ξ（在

1

,x

x之间），使得

()0

'=

ξ

f，但()()()

()1,0

1

5

'4∈

<

-

=x

x

x

f，导致矛盾，故

x为唯一实根.