高等数学,清华大学出版社

lim f ( x) lim (5 x2 ) 5,
x0
x0
lim f ( x) lim x sin 1 0,
x0
x0
x
左极限存在, 右极限存在,
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
习题 1.4
1、2 3 (2)、(3)、(4)、(6)、(8)、(10) 5
| sin x sin a || x a | ,
因此 limsin x sin a. xa
关于limcos x cos a 的证明, 由下式即得:
xa
xa xa
| cos x cos a | 2 | sin || sin | .
2
2
1.4.3 函数的单侧极限
例如,
y y 1 x
设
f (x)
y
A
A
A
y f (x)
线y A为中心线,
宽为2的带形区域内. o
x0 x0 x0
x
显然,找到一个后, 越小越好.
例2 证明 lim C C, (C为常数). x x0
证 任给 0, 任取 0, 当0 x x0 时,
f ( x) A C C 0 成立, lim C C. x x0
下面再证 lim a x 1. 为此，令 t x, 则 x00
lim
x00
a
x
lim
t 0 0
at
1 lim at
1 1, 1
t 0 0
于是 lim ax 1 (a 0, a 1). x0
定理 1.4.6 (复合函数求极限法则)
设 lim g( x) a, 但在 x0 的某去心邻域内
1. 定义 :
定义 2 f(x)在 x0 的一个去心邻域内有定义.如果
对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在正
数,使得对于适合不等式0 x x0 的一切 x, 对应的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当 x x0时的极限,记
作
定理1.4.5 (四则运算法则)
设 lim f ( x)与 lim g( x)都存在, 则 f ( x) g( x), f ( x)g( x)
x x0
x x0
的极限都存在, 且
lim[ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x);
x x0
x x0
x x0
lim f ( x)g( x) lim f ( x). lim g( x);
只要 x x0 x0 且不取负值.取 min{ x0 , x0},
当0 x x0 时, 就有 x x0 ,
lim x x0
x
x0 .
例 根据定义证明
limsin x sin a,
xa
limcos x cos a.
xa
(1.4.2) (1.4.3)
C B
o
x
D
A
证 设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
例 证明当 a 0, a 1 时, lim a x 1. x0
证明 先设 a 1. 前面已证明 lim n a 1, n
故对任给的 0, 存在正整数 N , 使当 n N
1
时 0 n a 1 . 特别 0 a N 1 1 .
现取 1 ,
N 1
则当 0 x
时有
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关;
2.与任意给定的正数有关.
2.几何解释:
当x在x0的去心邻 域时,函数y f ( x) 图形完全落在以直
叫函数 f ( x)当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
x
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
2.另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
2
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为BD,
于是有 sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
sin x x tan x, (0 x ) 2
其次, 当 x 时, 有 sin x 1 x, 故对一切
2
x 0都有 sin x x; 而当 x 0时有 sin( x) x, 综合起来, 有不等式
| sin x || x |, (1.4.5)
其中等号仅当 x 0 时成立.
下面证明等式(1.4.2). 由三角函数性质及不等式
(1.4.5)有
| sin x sin a | 2 | cos x a | . | sin x a |
2
2
2
|
sin
x
a
|
| 2.
x
a
|
|
x
a
|,
2
2
故对任意的 0, 取 , 则当 0 | x a | 时,
1.4.1 当 x 时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
播放
问题:函数 y f ( x) 在x 的过程中, 对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
通过上面演示实验的观察: 当 x 无限增大时, f ( x) sin x 无限接近于 0.
x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
的图形的水平渐近线.
1.4.2 x x0时函数的极限
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
设 lim f ( x) A, 且 A 0(或 0), x x0
则存在 x0 的一个
去心邻域, 当 x 在该邻域内时f ( x) 0(或 0).
定理1.4.4 (极限保号性)
设在 x0
的某个去心邻域内
f
(x)
0,且
lim
x x0
f (x)
A,
则 A 0.
(注意：f ( x) 0 lim f ( x) A 0.) x x0
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
x X 表示x 的过程.
1. 定义 :
定义 1 f(x)在（-∞,a）及(b,+∞)上有定义，如果对
于任意给定的正数 (不论它多么小),总存在着正数 X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函 数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) A ,那末常数 A就
x1
x1
sin1cos1 cos1sin1 0,
及 lim 2u 1, 故 u0 lim 2sin( x1) 1. x1
思考题
x
sin
1 x
,
试问函数 f ( x) 10,
5 x2 ,
x0 x0
x0
在x0
处的左、右极限是否存在？当 x 0时，f ( x)的
极限是否存在？
思考题解答
故存在 1 0,
使当 x 满足 0 | x x0 | 1 时恒有
| g( x) a | .
设在 x0 的去心邻域 U( x0 , 2 )内 g( x) a.
现取 min{1 , 2 }, 则当 0 | x x0 | 时
| g( x) a | 及 | g( x) a | 0 同时成立, 从而
1
0 ax 1 a 1 a N1 1 ,
这表明极限
lim a x 1, 其中 a 1.
x00
当 0 a 1 时，令 b 1 , 则 b 1, 这时 a
lim a x
x00
1 lim bx
1 1. 1
x00
因此当 a 0, a 1时 lim a x 1. x00
x x0
g(x)
a, 又设 lim
f (u)
A,
则
lim
f (g( x)) 存在
ua
x x0
且 lim f (g( x)) A.
x x0
证明 任给 0, 由于 lim f (u) A, 故存在 ua
0, 使当 u 满足 0 | u a | 时恒有
| f (u) A | .
对此 0, 由于 lim g( x) a, x x0
例3
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
当0 x x0 时,
f ( x) A x x0 成立,
lim x x0
x
x0 .
例4 证明 lim x2 1 2. x1 x 1
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x)
A
x2 x
f ( x0 0) A.
{ x 0 x x0 } { x x x0 0}
定理 : lim x x0
f (x)
A
f (x0
0)
f (x0
0)
A.
例6 验证 lim x 不存在. x0 x
y
证
lim
x
lim x
x x x00
x00
1
o
x
lim (1) 1
1
x00
1 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2
x1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x x0
时,
就有 x2 1 2 x1
,
lim x2 1 2. x1 x 1
例5
证明 :当x0
0时, lim x x0
x
x0 .
证 f (x) A
x x0
x x0 x x0 ,
x x0
x0
任给 0, 要使 f ( x) A ,
1 x,
x
2
1,
x0 x0
1
证明lim f ( x) 1. x0
o
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近x0 , 记作x x0 0;
x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 0;
y x2 1 x
f ( x) 当 x 趋于 x0 时的左极限: 0, 0,使当x0 x x0时,
x x0
x x0
x x0
limcf ( x) c lim f ( x), c为常数；
x x0
x x0
f (x)
如果 lim g( x) 0, 则 x x0
lim
x x0
g( x) 也存在, 且等于
lim f ( x)
x x0
.
lim g( x)
x x0
注 定理1.4.5中的 x x0 可换成 x x0 0, x x0 0, x .
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证
sin x 0 sin x
x
x
1 x
1 , X
0, 取 X 1 ,
则当 x X时恒有
sin x 0 , x
故 lim sin x 0. x x
定义 : 如果lim f ( x) c,则直线 y c是函数y f ( x) x
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
f ( x)当 x 趋于 x0 时的右极限:
0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或
x x0 0
(
x
x
0
)
注意 :{x 0 x x0 }
有 | f (g( x)) A || f (u) A | .
这就证明了 lim f (g( x)) A.
注
x x0
定理1.4.5中的x
x0
可换成 x .
例 求极限 lim 2sin( x1). x1 解 由于
limsin( x 1) lim(sin x cos1 cos x sin1)
20. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
3.几何解释:
y sin x x
A
X
X
当x X或x X时, 函数 y f ( x)图形完全落在以 直线y A为中心线, 宽为2的带形区域内.
lim
x lim
x
x x x00
x00
lim 1 1 x00
左右极限存在但不相等, lim f ( x) 不存在. x0
1.4.4 函数极限的性质
定理1.4.2 (局部有界性)
设 lim f ( x) A, x x0
则存在 x0 的一个去心邻域, 使
f(x)在该邻域内有界.
定理1.4.3 (局部保号性)