哈工大航天学院课程-空间飞行器动力学与控制-第3课-空间飞行器轨道动力学上

2 2

4
2 2 2 vk rk
（3-11）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
v 对于发射人造地球卫星的运载火箭，k 总是小于第 二宇宙速度，即 v k2 2 / rk ，所以 e 1 。
可见，运载火箭的自由飞行段的轨道是一个椭圆 e r 轨道。 0 时， P 为常数，这时椭圆轨道就成为圆 形轨道。
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
推力：作用方向沿运载火箭纵轴指向前方。 地球引力：指向地心，作用于火箭的质心上。 阻力：平行于火箭的运动方向，指向相反。 升力：垂直于运动方向，指向向上。阻力和升力 的作用点是在火箭的压力中心上。
图3.2 作用力和力矩
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
空间飞行器动力学与控制 第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
M

C
1 2
v Sl
2
（3-3）
式中
C
——俯仰力矩系数；
l ——火箭的特征长度。
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俯仰阻尼力矩 在俯仰方向上，还有俯仰阻尼力矩 M 。这是由 于箭体表面压力分布的变化和空气有粘性而产生了 摩擦力引起的。 其他力矩 由于空气动力和推力的作用线不与火箭的纵轴 重合，还存在着偏航力矩 M ，偏航阻尼力矩 M ， 滚转力矩 M 及滚转阻尼力矩 M 等。
通常，把火箭在空气中飞行时所产生的总空气 动力，分解为阻力 D和升力L。 气动阻力的计算公式为：
D CD 1 2
v S
2
（3-1）
式中
1 2
S ——火箭的横截面面积；
v
2
CD
——单位体积气流的动能，称为“速 度头”； ——火箭的阻力系数。
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r 1 v k rk cos
2 2 2
v k rk cos
2
2
2
k
2 2 k k 4 2
k

2
vk
2
2 rk
2
（3-8）
k
cos( 0 )

v r cos
方程（3-8）是一个圆锥曲线方程。通常写成
r P 1 e cos( 0 )
（3-9）
式中
“通径”，圆锥线的焦点参数； e —— “偏心率”； 0 —— 发射点和地心的连线与焦点轴的夹角。
dv v e dm mdt dt 1 m S e ( p e p a ) dt D m dt g sin dt
（3-6）
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积分上式，得到主动段终点的速度为：
v k v e ln m0 mk Se
tk
1 m
0
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在图3.7中，如果火 箭在 B 点，再一次点 火加速，使火箭的速 度达到航天飞行器在 该点的运行速度，它 就进入绕地球运动的 的轨道，此轨道称为 “卫星轨道”。卫星 的轨道高度和形状， 由运载火箭主动段终 点的速度矢量和空间 位置决定。
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运载火箭的飞行轨道
（1）运载火箭的发射方案
运载火箭发射航天飞行器的飞行轨道有3种方案
图3.5运载火箭的飞行弹道
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第一种方案：一次主动段就直接入轨。 这种方案比较简单易行，但消耗的能量比较多。 第二种方案：先用一段主动段，把大部分推进剂在较低 的高度上消耗掉，让火箭获得足够大的速度，而进入一 段自由飞行段（被动段）。当火箭飞行到预定轨道高度 时，再加一小段主动段，让火箭再一次加速进入预定轨 道。 火箭所携带的大部分推进剂，在地球附近就消耗掉， 比在离地球更高的地方消耗掉，可节省为提高火箭的推 进剂势能所消耗的这部分能量。第二方案就是利用这个 道理而设计的飞行轨道，所以比第一方案节省了能量。
火箭升力的计算公式为：
L CL 1 2
v S
2
（3-2）
式中
CL
CD
——火箭的升力系数。
和 C L 不但与火箭的外形有关，同时都随 速度和攻角的变化而变化。
C D ， L 与马赫数 Ma C
和攻角 的变化规律见下图。
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图3.3 C D 与马赫数 Ma 和攻角 的关系
( p e p a ) dt

tk
D m
dt
0

tk
g sin dtwk.baidu.com
0
（3-7） 式中

tk
D m
dt
0
——空气阻力引起的速度损失； ——地球引力引起的速度损失。

tk
g sin dt
0
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据大量计算统计，引力速度损失，大约在1300～ 1800m/s之间，而阻力速度损失大约在100～200m/s。 在运载火箭方案论证初期，可以依据发射航天 飞行器的速度要求，用齐氏公式计算出理想速度， 再减去约2000m/s的速度损失，进行方案估计。
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把火箭当作一个质点，K 为主动段。在主动段终 O 点 K 时，火箭所具有的速度为v k ，速度方向角为 k ， 火箭至地心的距离为 rk 。如果 v k 小于第一宇宙速度， 火箭将沿着抛物线 K B F 再入大气层。自由段的轨道 表示为：
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二、人造地球卫星轨道的坐标与时间
研究空间飞行器运动的基本目的，是确定飞行器 在给定时刻的位置与速度。 因此，应建立描述飞行器运动的坐标系与时间系 统。 本节所叙述的惯性坐标系与时间计量系统本质上 均是以地球自转为基础。前者是利用地球自转轴的 基本定向性，后者是利用地球自转角速度的高度均 匀性。
一、航天器发射轨道
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图3.1 卫星的发射轨道、运行轨道和返回轨道
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作用在运载火箭上的力与力矩
运载火箭上作用的力有： 发动机推力 P
地球对火箭的引力G
气动阻力 D 和气动升力 L
控制力等。
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（2） 地心赤道坐标系
描述天体相对运动的惯性坐标系的坐标原点取 在质量较大的天体的质心上，坐标轴的指向在绝对 空间固定不变。 在人造卫星的运动中，一般采用地心赤道为坐 标系OXYZ 。原点O 取在地心，OXY平面与地球赤道 面重合，OX轴指向某一确定时刻的春分点， OZ轴 取地球自转轴，如图3.8所示。
XOY
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把作用在火箭上所有的力， 投影到速度方向（ X 1轴）上， 推力： 重力： 阻力：
升力： 得到运动方程为：
dv dt 1 m ( P cos D ) g sin( )
（3-4）
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r 1 v k rk cos
2 2 2
v k rk cos
2
2
2
k
2 2 k k 4 2
k

2
vk
2
2 rk
3 2
2
（3-8）
k
cos( 0 )

v r cos
式中，
3 . 896 10
14
m /s
称为地球引力常数。
可见，自由飞行段的轨道方程，完全取决于主动段终点的 速度 ，速度方向角和径向距离。
P ——
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P
v k rk cos k
2 2 2

2
（3-10）
v k rk co s k
2 2 2
e

2
2
2 2 2 vk 2 2 2 v k rk co s k rk

4
1
v k rk co s k
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图3.4 C L 与马赫数 Ma 和攻角 的关系
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“俯仰力矩”的产生 火箭发动机工作时，推进剂在不断消耗，所以火 箭质心位置随时在变。 同时，气动阻力和升力也随飞行速度和大气条件 而变化，所以压心也随之变化。 因此，火箭的压心和质心很少重合在一个点上， 阻力和升力对质心必然要产生一个力矩 M 。使火箭 绕横轴 O 1 Z 1 转动的力矩称为“俯仰力矩”，以 M 表 示， 其表达式为：
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第三课 空间飞行器轨道动力学（上）
一、航天器发射轨道
二、人造地球卫星轨道的坐标与时间
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航天器的轨道是指航天器的飞行轨迹。包括发射 轨道、运行轨道和返回轨道。以人造地球卫星为例， 发射轨道： 运载器从地面起飞到航天飞行器入轨。 主动段：火箭发动机的工作段； 自由飞行段：从火箭发动机停机到航天飞行器入轨。 运行轨道： 人造地球卫星进入所设计好的轨道执行任务。 返回轨道： 从人造地球卫星制动火箭点火，到再入舱降落到 地球表面的飞行轨迹
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（2）运载火箭的 主动段轨道
在主动段飞行时，作用 在火箭上的力和力矩 如图3.6所示
图3.6 在主动段作用于火箭上的力系
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为发射平面坐标， X 1 O 1Y 1为速度坐标。图中 为地心角， 为俯仰角， 为 速度方向角， 为火箭飞行 攻角。
坐标系
（1）天球
优点： 可将空间的不同矢量平移通过同一天球中心， 从而用球面上对应的点表示这些矢量的指向，用连 接这些点的大圆弧表示矢量间的夹角，以建立一个 便于分析空间问题的几何模型，且能应用球面三角 公式解决问题。
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春分点：黄道与天赤道的一 个交点。 黄道：地球绕太阳公转的轨 道面（黄道面）与以地心为球心 的天球相交的大圆。 “黄赤交角”：黄道面与赤 道面约相交成23°27′。 太阳的周年视运动：由于地 球公转观测到太阳在恒星间移动， 周期为1年。 黄道就是天球上的太阳周年 视运动轨迹。太阳由南向北过天 赤道的交点叫“春分点”，另一 个交点是秋分点。
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第三种方案：与第二方案基本相同，只是要求自由飞行 段要绕地球半圈，即自由飞行段起点和终点正好在地心 的连线上。 这种发射方案所消耗的能量最省，所以称为“最佳 轨道”也叫做“霍尔曼轨道”。
在制定火箭发射方案时，要受到发射场区的位置、 测控台站的布局、航区和落点的安全等因素的限制，不 一定采用自由飞行段很长的理想发射方案，而可能会采 用多消耗一些能量，甚至经常采用一次主动段就把卫星 送入轨道的发射方案。
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dv dt

1 m
( P cos D ) g sin( )
火箭在主动段飞行时，通常攻角都很小，所飞 越的地心角也很小，若略去不计，即得：
dv dt P m D m g sin
（3-5）
其中火箭的推力
P
为
P mve ( pe pa )Se
代入式（3-5）得到
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（3）运载火箭的自由飞行段轨道
运载火箭的自由飞行段，都在大气层以外，空 气阻力可以忽略不计。因此，火箭的自由飞行段的 运动，实际上是质点在地心引力场中的运动。如图 3.7所示
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图3.7 火箭被动段的弹道
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坐标系
（1）天球
基本概念：
为研究天体运动而引进的一个假想的圆球。 球心为坐标原点，视所研究问题的需要，取在 适当位置，如地心、飞行器质心、观测点等。 天球半径可认为是一个单位长度，从而使球面 上的大圆弧与所张球心角在量值上相等。
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