高三数学 解斜三角形

5.4 解斜三角形
●知识梳理
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
A a
sin =B
b sin =
C
c sin .
利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角）
2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a 2=
b 2+
c 2－2bc cos A ；
①
b 2=
c 2+a 2－2ca cos B ；
②
c 2=a 2+b 2－2ab cos C .
③
在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得
cos A =
bc a c b 22
22-+； cos B =
ca
b a
c 22
22-+；
cos C =
ab
c b a 22
22-+.
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
特别提示
两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.
●点击双基
1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形
D.等边三角形 解析：由2cos B sin A =sin C 得
ac
b c a 2
22-+×a =c ，∴a =b .
答案：C
2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是 A.sin A +cos A =5
1
B.·BC ＞0
C.tan A +tan B +tan C ＞0
D.b =3，c =3
3
，B =30°
解析：由sin A +cos A =5
1
得2sin A cos A =－25
24＜0，∴A 为钝角.
由·＞0，得·＜0，∴cos 〈，〉＜0.∴B 为钝
角.
由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0.
∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由
B
b
sin =
C
c sin ，得sin C =
2
3，∴C =3
π或3
π2.
答案：C
3.△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为2
3，那么b 等于
A.231+
B.1+3
C.2
3
2+
D.2+
3
解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为2
3，且∠B =30°，故由S △ABC =2
1ac sin B =2
1ac sin30°
=
4
1
ac =
2
3，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得
cos B =
ac
b c a 22
22-+=
6
212422⨯--b b =
4
42-b =
2
3，解得b 2=4+2
3
.又b 为边长，
∴b =1+
3
.
答案：B
4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______. 解析：由已知得（b +c ）2
－a 2
=3bc ，∴b 2
+c 2
－a 2
=bc .∴
bc
a c
b 22
22-+=2
1.
∴∠A =3
π.
答案：3
π
5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.
解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴
ab
c b a 22
22-+＞0，∴c ＜
5
.又
c ＞b －a =1， ∴1＜c ＜
5
.
答案：（1，5
）
●典例剖析
【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B .
剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.
证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C
⇒22cos 1A
-－2
2cos 1B -=sin B sin （A +B ）
⇒
2
1
（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=sin B sin （A +B ），
因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .
评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.
思考讨论
（1）该题若用余弦定理如何解决? 解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A =
bc
a c
b 22
22-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b
b
c 2-，cos2B =2cos 2B －1=2
（
ac
b c a 2222-+）2
－1=
2
2
22c c b b c
c b ）（）（++－1=b
b c 2-.
所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B . （2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?
解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a
+=a
b
①，
作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DC
BC =BC
AC ，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .
A B
C
D
a
b c 21
又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2. 因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1， 所以A =2B .
评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.
【例2】已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=5
3，sin （A －B ）=5
1.
（1）求证：tan A =2tan B ； （2）设AB =3，求AB 边上的高.
剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.
（1）证明：∵sin （A +B ）=5
3，sin （A －B ）=5
1，
∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A
B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=
=⇒=2. ∴tan A =2tan B .
（2）解：2
π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=5
3.
∴tan （A +B ）=－4
3，
即
B A B
A tan tan 1tan tan -+=－4
3.将
tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =2
62±（负值舍去）.得tan B =
2
6
2+，∴
tan A =2tan B =2+
6.
设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD
tan +B CD tan =6
23+CD .由AB =3
得CD =2+
6，所以
AB 边上的高为2+6.
评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.
【例3】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及c
B b sin 的
值.
剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2
=ac 可变形为
c
b 2
=a ，再用正
弦定理可求c
B b sin 的值.
解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac . 又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .
在△ABC 中，由余弦定理得
cos A =
bc
a c
b 22
22-+=
bc bc
2=2
1，∴∠A =60°. 在△ABC
中，由正弦定理得sin B =a
A b sin ，
∵b 2=ac ，∠A =60°，
∴ac
b c B b ︒=
60sin sin 2=sin60°=23.
解法二：在△ABC 中， 由面积公式得2
1bc sin A =2
1ac sin B .
∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B . ∴c
B b sin =sin A =
2
3
.
评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.
●闯关训练 夯实基础
1.在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞2
1”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞2
1；sin A ＞
2
1
⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°. 答案：B
2.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为
A.75°
B.60°
C.50°
D.45°
解析：作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE =40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，
︒40sin CF =）（α-︒140sin DF
. ∴DF =︒
-︒⋅40sin 140sin ）
（αCF .
∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大. 答案：C
3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S =4
1（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.
解析：由S =4
1（a 2+b 2－c 2）得2
1ab sin C =4
1·2ab cos C .∴tan C =1.
∴C =4
π.
答案：45°
4.在△ABC 中，若∠C =60°，则
c
a b
c b a ++
+=_______. 解析：c a b c b a ++
+=）
）（（c a c b bc b ac a +++++22 =
2
22c bc ac ab bc
ac b a ++++++. （*）
∵∠C =60°，∴a 2+b 2－c 2=2ab cos C =ab . ∴a 2+b 2=ab +c 2. 代入（*）式得2
22c bc ac ab bc ac b a ++++++=1.
答案：1
5.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是 A.b =20，A =45°，C =80° B.a =30，c =28，B =60° C.a =14，b =16，A =45°
D.a =12，c =15，A =120°
解析：由a =14，b =16，A =45°及正弦定理，得16
sin B =14
sin A ，所以sin B =7
24
.因而B 有两值.
答案：C 培养能力
6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y =
B
B B
cos sin 2sin 1++的取值范围.
解：∵b 2
=ac ，∴cos B =
ac
b c a 22
22-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥2
1.
∴0＜B ≤3
π，
y =B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2
++）（=sin B +cos B =2sin （B +4
π
）.∵4
π＜B +4
π
≤12
π7，
∴
2
2
＜sin （B +4
π）≤1.故1＜y ≤
2.
7.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sin B ，外接圆
半径为
2.
（1）求∠C ；
（2）求△ABC 面积的最大值. 解：（1）由2
2（sin
2
A －sin 2
C ）=（a －b ）·sin B 得2
2（
2
24R
a －
2
24R c ）=（a －b ）R
b
2. 又∵R =
2，
∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab .
∴cos C =
ab
c b a 22
22-+=2
1.
又∵0°＜C ＜180°，∴C =60°. （2）S =2
1ab sin C =2
1×
2
3ab
=23sin A sin B =2
3
sin A sin （120°－A ）
=2
3
sin A （sin120°cos A －cos120°sin A ）
=3sin A cos A +3
sin 2A
=2
3sin2A －
2
3sin2A cos2A +
2
3
=
3
sin （2A －30°）+2
3.
∴当2A =120°，即A =60°时，S max =2
33
.
8.在△ABC 中，BC =a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求AC
AB 的取值范围.
解：令AB =kx ，AC =x （k ＞0，x ＞0），则总有sin B =
kx a
，sin C =x
a （图略），且由正弦定理得sin B =a
x sin A ，所以a 2=kx 2·sin B sin C =kx 2sin A ，由余弦定理，可得cos A =2
22222sin kx A
kx x x k -+=2
1（k +k
1－sin A ），所以
k +k 1=sin A +2cos A ≤
2
221+=5
.所以k 2－
5
k +1≤0，所以
2
1
5-≤k ≤2
1
5+. 所以AC AB 的取值范围为［
21
5-，2
15+］. 探究创新
9.某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB |最短?
并求其最短距离.（不要求作近似计算）
解：在△AOB 中，设OA =a ，OB =b .
因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB =135°. 则|AB |2=a 2+b 2－2ab cos135°=a 2+b 2+
2ab ≥2ab +2ab =（2+2）
ab ，当且仅当a =b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB =
α，则∠OBA =45°－α.所以a =
α
sin 10，b =
）
（α-︒45sin 10
，
ab =α
sin 10
·
）
（α-︒45sin 10
=）
（αα-︒⋅45sin sin 100
=）
（αααsin 22
cos 22sin 100
-
=）（αα2cos 14
22sin 42100
--
=
2
452sin 2400-︒+）（α≥
2
2400-，
当且仅当α=22°30′时，“=”成立.
所以|AB |2≥2
222400
-+
）
（=400（2+1）2，
当且仅当a =b ，α=22°30′时，“=”成立. 所以当a =b =0
322sin 10
'︒=10）（222+时，|AB |最短，其最短距离为20
（
2+1），即当
AB 分别在OA 、OB 上离O 点10
）（222+ km 处，能
使|AB |最短，最短距离为20（
2－1）.
●思悟小结
1.在△ABC 中，∵A +B +C =π，∴sin 2
B A +=cos 2
C ，cos 2
B A +=sin 2
C ，
tan 2
B A +=cot 2
C .
2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B =60°.
3.在非直角三角形中，tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .
4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.
5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.
6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.
●教师下载中心 教学点睛
1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.
2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练.
拓展题例
【例1】 已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y =cot A +
）
（C B A A
-+cos cos sin 2.
（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y 的最小值.
解：（1）∵y =cot A +
[][]）
（）（）
（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2
=cot A +
）
（）（）
（C B C B C B -++-+cos cos sin 2
=cot A +C
B C B C B sin sin sin cos cos sin + =cot A +cot B +cot C ，
∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1， ∴y ≥cot A +
A
A
cos 1sin 2+=
2
tan
22
tan 12A A -+2tan
2
A =
2
1（cot
2
A +3tan
2
A ）≥
2
cot 2tan
3A A ⋅=
3
.
故当A =B =C =3
π时，y min =
3
.
评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cot A +cot B +cot C ≥
3
.
【例2】 在△ABC 中，sin A =C
B C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.
分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.
解：应用正弦定理、余弦定理，可得 a =
ab
c
b a ca b a
c c
b 222
2
2
2
2
2
-++
-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.
所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.
评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cos A =0.。