西工大研究生复试数值分析试题

；
* *
（2） 有效数 x1 0.5 ， x2 2.0 ，依据绝对误差限传播公式， 函数值 x1 x2 的近似值 x1 x2 的绝对误差限近似为____ __（小数点后保留三位） ；
x1 x2 1 （3） 线 性 方 程 组 x1 2 x2 1.5 的 最 小 二 乘 解 满 足 的 法 方 程 组 （ 正 规 方 程 组 ） 是 2 x 2 x 2.5 2 1 x1 x2 ；
b b

b
a
f ( x)dx Ai f ( xi ) 是 一 种 高 斯 型 求 积 公 式 ， 则 有 积 分
i 0
n
n

a
li ( x)dx li2 ( x)dx ， 其中 li ( x)
a
k 0 k i
( x xk ) . 该论断 ( xiБайду номын сангаас xk )
（正确或错误） ；
yk zk x k 1
用该方法求得方程根近似值的过程如下表（小数点后保留六位）
k
0 1 2 3 4
yk
----------------
zk
---------------
xk
1.2
xk 1 xk
--------------
(注：若行数不够请续行) 满足要求的根的近似值为：
因为矩阵 A(2) 已经是对角阵，所以矩阵 A 的三个特征值分别为：
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5． （10 分） （1）分别用两个等距节点和三个等距节点（均含两个区间端点）的梯形公式计算积分
I e x dx 的近似值。(2)将计算结果进行一次外推，以得到更高精度的近似值（小数点后保留
2
1
0
4 位） 。 解： 记函数 f ( x ) e ，选两个节点时，积分节点步长 h 求得函数值
知
（3）当正整数
k
时，利用公式
f [ x0 , x1 , , xk ]
以及 f
( k)
( )
知
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3． （10 分）取步长 h 0.1 ，求如下常微分方程初值问题
2x dy y , y dx y(0) 1
x 0
的解函数在 x 0.2 处的近似值。要求用 Euler 预测校正公式，即每步用 Euler 法进行预估，用 梯形法进行一次校正（结果保留四位小数） 。
是有限步收敛的。 （1）试推断参数 a 和 b 应满足的条件； 解 Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
迭代矩阵的特征多项式为
谱半径为
数 a 和 b 应满足的条件为 （2）取参数 a 0 ， b 1 ，以及初始向量 x 的精确解 x 。 解 迭代公式为
(0)
(0, 0, 0) T ，用 Jacobi 迭代法求解该方程组
始近似都收敛的充分必要条件为 0 2 。该叙述 （9） 连续的分段线性插值函数是一次样条插值函数。该论断
（正确或错误） ； （正确或错误） ；
（10） 在区间 [a , b] 上对被插函数 f ( x ) sin x 建立基于 n 1 个等距节点的多项式插值函 数 pn ( x) ，则有 lim max f ( x ) pn ( x ) 0 。该论断
n x[ a ,b ]


（正确或错误） ；
（11） 设被积函数 f ( x ) 在 [a , b] 连续， Tn 是该区间 n 等份后的复化梯形求积公式的精确计 算值，则必有 lim Tn
n

b a
f ( x )dx 。该论断
（正确或错误） 。
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（4） 已知求解线性方程组 Ax b 时，系数矩阵 A 的条件数为 cond ( A) = 100 ，则求解线性 方程组 Bx b 的系数矩阵 B 的条件数为 cond ( B ) （5） 以 f (0) 1, ，已知 B 0.1A ；
f (0) 1!,
f (0) 2!,
p
,q
，选取的旋转矩阵应当为
R ( p, q, )
求得矩阵

T R ( p, q, )
A(2)
(1) T R ( p, q, ) A R ( p, q, )
求解过程列表为 k 0 1 2 3 x1 0 x2 0 x3 0
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试卷密号:
2. （10 分）已知函数 f ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) ， 节点 {xi }i 0 是互异节点. 试求 k 阶差商 f [ x0 , x1 , , xk ] 的值 解： （1）当正整数
4． （12 分）已知矩阵 A ( aij )33 过程精确进行，不要用计算器）
1 1 1 （计算 1 1 1 ，使用 Jacobi 方法求矩阵 A 的所有特征值。 1 1 2
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解：将第二行第一列的元素化为零，因
a11 a22
且
a12 0 ，所以选择的旋转矩阵为
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（8） 求 解 系 数 矩 阵 对 称 正 定 的 线 性 方 程 组 Ax b 的 逐 次 超 松 弛 迭 代 法 公 式 为
xi( k 1) xi( k )
bi aij x j aii j 1

i 1
( k 1)
n aij x (jk ) (i 1, 2,..., n) ，并且该方法对任意初 j i
4
所以条件 a)____
___（满足，不满足）
b) 迭代函数的导函数 ( x) 在区间 [a, b] 上满足： 具体验证如下
所以条件 b)_____
__（满足，不满足） ；
综合如上两条知，对任意初始近似近似值 x0 [ a, b] ，简单迭代法 xk 1 ( xk ) (2) 与简单迭代法 xk 1 ( xk ) 对应的 Steffensen 迭代公式为
R(1, 2, )
求得矩阵

(1) T A R(1, 2, ) AR (1, 2, )
选则将元素 a pq 变换为零，其中
(1)
T R (1, 2, )

(2)
外推公式为
S1
求得积分近似值
I S1
6 （12 分）求方程 f ( x) x 4 x 10 0 在区间 [a, b] [1.3, 1.4] 内根的近似值有如下变形
3 2
x ( x)
1 10 x 3 2
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（1）试判定对任意初始近似值 x0 [ a, b] 简单迭代法 xk 1 ( xk ) 的收敛性； （2）写出该简单迭代法 xk 1 ( xk ) 对应的 Steffensen 迭代格式，并选 x0 1.2 进行迭代计算， 当 xk 1 xk 10 停止迭代（小数点后保留六位） 。 解： （1）收敛性判定，需验证如下两条： a)迭代函数 ( x) 在区间 [a, b] 上满足： 具体验证如下
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7．填空（共 34 分，其中第（1）小题 4 分，其余小题每题 3 分）
2 1 （1） 矩阵 A 的 Doolittle 分解为 A LU ，其中单位下三角阵 L 1 2 三角阵 U
* *
，上
x2
， x0
, x1
f ( x0 )
，
f ( x1 )
用梯形公式 求得近似值
T1 I T1
选三个节点时，积分节点步长 h
， x0
, x1
，
, x2
f ( x2 )
求得函数值
f ( x0 )
， f ( x1 )
用梯形公式 求得近似值
T2 I T2
f (0) 3! 为插值数据的不超过 3 次的插值
；
多项式 p3 ( x)
（6） 用 Euler 显式公式求解常微分方程初值问题 件 时，Euler 显式公式绝对稳定；
y 20 y, 0 x 1 ，当步长 h 满足条 y (0) 1
（ 7） 已 知 求 积 公 式
解：Euler 预测校正公式为
(0) yn 1 yn 1
由 x0 0,
y1(0) y 1
y0 y ( x0 ) 1 ， h 0.1 求得 y ( x1 ) 近似值计算如下
求得 y ( x2 ) 近似值计算如下
y1(0) y 1
n
k
时，利用公式
试卷密号:
f [ x0 , x1 , , xk ]
知
考试科目: 数值分析 学 号: 名:
（2）当正整数
k
时，利用公式
姓
考试日期: 10 年 12 月 27 日
f [ x0 , x1 , , xk ]
以及 f
( k)
( )
注意： 此部分正反 面不要答题， 此部 分将会被剪裁掉。
西北工业大学研究生课程考试试题（卷）
考试科目: 数值分析
题号 分数 （总共 7 道大题，请注意检查） 1 2 3 4
(2010 年 12 月 27 日)
5 6 7 总分
10 a 0 x 1 10 1． （12 分）已知求解线性方程组 b 10 b x 2 2 的 Jacobi 迭代法对任意初始近似都 0 a 5 x 5 3