第四节古典概型

C
0 26
从而:
P(B)
k n
C
1 4
C
2 26
C
2 4
C
1 26
C
3 30
C
3 4
C
0 26
1460 0.36 4060
概率统计
例2. 有 0,1,29 十个数字, 现从中任取 6 个不同
的数 求： 能排成一个六位数是偶数的概率
解: 设事件A： “排成的六位数是偶数”
由题意可知:它的样本空间元素是有限个,并且 每个基本事件发生的可能性也是相同的。
例5 设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号
1,2，3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这
五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且
恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有
多少投法？
解：从5个球中取出2个与盒子对号有__C_52__种
还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际
操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒
n个元素
因为：C
r1 n
C r2 n r1
C rrkk
n! r1!r2!rk !
概率统计
5. 排列组合应用题
（1） 正确判断是排列问题，还是组合 问题，还是排列与组合的综合问题。 （2） 解决比较复杂的排列组合问题时， 往往需要既分类又分步。正确分类，不 重不漏；正确分步，连续完整。 （3） 掌握基本方法，并能灵活选择使 用。
N
A99 A33
A96
60480
概率统计
引申：有三人从左到右顺序一定；
分析：N
C93
A99 A33
C93 A96
5080320
点评：定序问题除法处理
⑷前排三人，中间三人，后排三人；
N A93 A63 A33 A99
引申：前排一人，中间二人，后排六人；
点评：分排问题直排处理
概率统计
3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种
装法, 同理3号球装5号盒时,4,5号球有也
只有1种装法,由分步计数原理有2
C
2 5
种
概率统计
例6 30030能被多少个不同的偶数整除.
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式
30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题
意可知偶因数必先取2,再从其余5个
例8 25人排成5×5方队,现从中选3人,要求 3人不在同一行也不在同一列,不同的选法 有多少种？ 解：将这个问题退化成9人排成3×3方队,现
从中选3人,要求3人不在同一行也不在 同一列,有多少选法.这样每行必有1人 从其中的一行中选取1人后,把这人所在 的行列都划掉，
概率统计
如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法
种排法即（5-1)！
B
C
A
D
E
概率统计
A BC D E A
A 1 m
mn
例4 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中 取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不
同的取法有多少种？
解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很 困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5 个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶
(四)、高考中考查的思想方法：
分类、分步、对称、逆向思维、整体 等．
概率统计
二、例题选讲： 例1 学生要从六门课中选学两门：
（1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种
选法？
（2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，
有几种选法？
(1)
解法一：
C2 4
C1 2
C1 4
14
解法二：
C
2 6
1
14
(2)解法一：
必须通过每一步骤，才算完成这件事。
概率统计
加法原理和乘法原理是两个很重要计数 原理，它们不但可以直接解决不少具体问 题，同时也是推导下面常用排列组合公式 的基础 .同时它们也是计算古典概率的基础。
概率统计
二. 排列、组合的几个简单公式
1、排列: 从n个不同元素取 k个 (1 k n)
的不同排列总数为：
有___C__13_C_12_C__11 _种。再从5×5方队选出3×3
方队便可解决问题
从5×5方队中选取3行3列有_C__35C__35 选法
所以从5×5方队选不在同一行也不在同
一列的3人有__C_35_C__35C__13C__12_C__11 __60_0__选法。
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题 退化成一个简要的问题，通过解决这个简要 的问题的过程找到解题方法，从而进一步解 决原概来率的统计问题.
动态
85 1946 7 2 3 10
概率统计
二．古典概型中事件概率的计算公式
定义： 设E是古典随机试验，S是它的样本空间，
S e1 , e2 , , en ,若事件A包含 k 个基本事件
即A ei1 ei2 eik (1 i1 i2 ik n)
k
则称 P( A) P(
…；
第m种方式有nm种方法,
Hale Waihona Puke 则完成这件事总共有n1 + n2 + … + nm 种方法 .
无论通过哪种方法都可以完成这件事，
概率统计
2. 乘法原理
设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方法， 第二个步骤有n2种方法,
…；
第m个步骤有n.m种方法,
则完成这件事共有
n1 n2 nm
种不同的方法 .
解法一：(分类法) A88 A71 A71 A77 287280 解法二：(排除法) A99 2 A88 A77 287280
概率统计
⑵甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起；
A66 A22 A72 60480
点评：小团体排列问题中，先整体后局部， 再结合不相邻问题的插空处理.
⑶甲、乙、丙从左到右排列；
因数中任取若干个组成乘积，所有
C C C C C C 的偶因数为：
0
5
1
5
2
5
3
5
4
5
5 5
例7 正方体的8个顶点可连成多少对异面直线.
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四
体共有体共_C__84__1_2__5_8_ 每个四面体有_3__
对异面直线,正方体中的8个顶点可连成 概_率_3×_统_计5_8_=_1_7_4___对异面直线.
品应从26件正品中取到. 故有： C42C216
从而：P( A)
k n
C42 C216 C330
156 0.038 4060
概率统计
(2) 设 B: 任取3件至少有一件次品
n:
C
3 30
k : 次品至少有一件指的是1件，2件，3件,
三种情况，故有：
C41
C 226
C
2 4
C
1 26
C
3 4
n : 不论取出的 六个数是否能排成偶数,它总
是从十个数中取出六个数, 故样本空间的 总数应是:
P160 (排列数)
概率统计
k : 要排成偶数则第六位只能是 0, 2, 4, 6, 8；
要成为六位数, 则第一位不能是0, 第一位只能 取1, 3, 5, 7, 9或 2, 4, 6, 8；
要排成无重复数字的六位偶数, 则首位与末位
(a
b)n
n k
0
n k
a k bnk
利用该公式，可得到许多有用的组合公式：
令
a=b=1,得:
n0
n 1
n 2
n n
2n
令 a=-1, b=1:
n 0
n 1
n 2
(1)n
n n
0
概率统计
由 (1 x)mn (1 x)m (1 x)n
运用二项式展开有：
有
mn j0
m
j
n
x
j
m j1
有两种情况:
(1)．若首位取 1, 3, 5, 7 ,9 则有: P51 P51 P84
编号为1－10 。把球搅匀，蒙
上眼睛，从中任取一球. 因为抽取时这些球是完全
85 1946 7 2 3 10
平等的，故没有理由认为10
个球中的某一个会比另一个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
更容易取得 . 也就是说，10
个球中的任一个被取出的机 10个球中的任一个被取
会是相等的，均为1/10.
例 1．设有30件产品,其中有4件是次品,现从中任取3件
求：(1) 恰有 2 件次品的概率
(2) 至少有一件次品的概率
解： (1)．设A：任取3件恰有两件是次品
n : 无论取出的是否是次品,它总是从30件产品
中取3件,故它的样本空间总数是: C330
k : 恰有2件次品应从次品中取, 剩下的另一件正
C C 1 1 24
C2 2
9
解法二：
概率统计
C2 6
C2 4
9
思考题：2个相同的黑球与2个 相同的白球排成一列，使两个白球 不相邻，有多少种排法？
解答: 你的结论是什么？
思考：
P2 3
P2 2
对吗？为什么？
提示： 空 空 空
引申： 你有什么联想？
概率统计
例2 9人排成一行，下列情形分别有多少种排法？ ⑴甲不站排头，乙不站排尾；
C
……
P4 4 3 2 1 24
D 概率统计
从n个不同元素取 k个（允许重复）
的不同排列总数为：
可重复
n nn nk
排列
示例 2： 从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张
1 2 34
第1张 第2张
1
1
2
2
3
3
4
4
概率统计
第3张 1 2 3 4
n=4,k =3 共有4.4.4=43种可能取法
0
m j1
x
j1
n j2
0
n j2
x
j2
比较两边 xk 的系数，可得：
m
k
n
k i0
m i
k
n
i
概率统计
4、n个不同元素分为k 组，各组元素数目
分别为 r1,r2,…,rk 的分法总数为：
r1
!
n! r2 !
rk
!
,
r1 r2 rk n
分组分 配
r1个 元素
r2个
…
元素
rk个 元素
pnk
n(n 1)(n
2)(n
k
1)
n! (n k)!
k = n 时称 全排列：
Pnn pn n(n 1)(n 2)2 1 n!
概率统计
示例 1
第1次选取 第2次选取 第3次选取
C
B
D
A
C
B
D 例如：n=4, k =3
D
B 则选排列、全排列为：
C
B
P43 4 3 2 24
第四节 古典概型（等可能概型）
一．古典型随机试验（等可能概型) 一般, 如果随机试验 E 具有：
(1) 有限性： 它的样本空间的元素只有有限个 (2) 等可能性：在每次试验中,每个基本事件发生的
可能性相同 则称随机试验E为古典型随机试验,也称等可能概型
概率统计
示例： 一个袋子中装有10个大
小、形状完全相同的球. 将球
⑸分成甲、乙、丙三组，甲组4人，乙组3人，丙组2人；
N C94C53C22 1260
引申：①分成甲、乙、丙三组，一组4人，一组3 人， 一组2人；
N C94 C53 C22 A33 7560
②分成甲、乙、丙三组，每组3人.
N C93 C63 C33 1680
概率统计
⑹分成三组，每组3人；
概率统计
(三)、常用解题方法及适用题目类型
⑴直接法：特殊元素法、特殊位置法（两者适用 某一个或几个元素在指定的位置或不在指定的 位置）、捆绑法（两个或两个以上的元素必须 相邻）、插空法 （两个或两个以上的元素必须 不相邻）、隔板法（相同的元素分成若干部分， 每部分至少一个）及分组问题.
⑵间接法（排除法）．
N
C93 C63 C33 A33
280
引申：分成三组，一组5人，另两组各两人；
N
C95
C42 C22 A22
378
点评：局部均分无序问题易出错.
概率统计
例3 5人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人A并从 此位置把圆形展成直线其余4人共有_A_4_4 _
数 有_的_C取_51_C法_52,有和_为_C_偶5_3 ,数只的含取有法1个共偶有数_C_51C的__52+取__C法_53__
再淘汰和小于10的偶数共___9________ 符合条件的取法共有_C_51C_5_2+_C__53_-_9_=_51
013 概率01统5 计 017 024 026 035 213 215 413
出的机会都是1/10
所以，称这类概率模型为古典概型.
概率统计
在此示例中,若记 A={摸到2号球}
2
则 P(A)=?
显然： P(A)=1/10
若记 B={摸到红球} 1 2 3 4 5 6
则 P(B)=?
显然： P(B)=6/10
静态
这里实际上是从“比例” 转化 为“概率”
当要求“摸到红球”的概率时， 实际上只要找出它在静态时相 应的比例.
2、组合: 从n个不同元素取 k个
（1 k n)的不同组合总数为：
C
k n
Pnk k!
n! (n k)!k !
你能证明吗？
Ck
n
kn
，称为组合系数。
常
Pnk Cnk记 作 k !
排列与组合 之间的关系
概率统计
3、组合系数与二项式展开的关系
组合系数
n k
又常称为二项式系数，因为它出
现在下面的二项式展开的公式中：
j1
ei j
) k A包含的基本事件 n S 中基本事件
为事件 A 的概率。
概率的古典定义
注：▲ 教材 P10 给出了它的推导过程。
▲ 排列组合是必备的基础知识。
概率统计
★ 关于排列组合知识复习
一. 基本计数原理
1. 加法原理
设完成一件事有m种方式，
第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法,