量子力学初步作业(含答案解析)

量子力学初步

1. 设描述微观粒子运动的波函数为(),r t ψ，则ψψ*表示______________________________________；(),r t ψ须满足的条件是_______________________________

；其归一化条件是

_______________________________.

2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入：增大D 2倍、增大2D 倍、增大D 倍或不变)

3. 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a ），其波函数为

()()30x x x a a πψ=<<

粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________.

4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a =0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量y p ∆= _________N·s.

(普朗克常量h =6.63×10-34 J·s)

5. 波长λ= 5000 Å的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量λ∆= 10-3 Å，则利用不确定关系式x p x h ∆∆≥可得光子的x 坐标的不确定量至少为_________.

6. 粒子做一维运动，其波函数为

()000x

Axe x x x λψ-≥=≤

式中λ>0，粒子出现的概率最大的位置为x = _____________.

7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现.

8. 一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a ，应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为____________.

9. 按照普朗克能量子假说，频率为ν的谐振子的能量只能为_________；而

从量子力学得出，谐振子的能量只能为___________.

10. 频率为ν的一维线性谐振子的量子力学解，其能量由下式给出：______________________，其中最低的量子态能量为__________，称为“零点能”.

11. 根据量子力学，粒子能透入势能大于其总能量的势垒，当势垒加宽时，贯穿系数__________；当势垒变高时，贯穿系数________. (填入：变大、变小或不变)

12. 写出以下算符表达式：ˆx p

=__________；ˆH =__________；ˆy

L =__________. 13. ˆx

与ˆx p 的对易关系[]ˆˆ,x x p 等于__________. 14. 试求出一维无限深方势阱中粒子运动的波函数

()()sin 1,2,3,n n x

x A n a πψ==

的归一化形式. 式中a 为势阱宽度.

15. 利用不确定关系式x x p h ∆∆≥，估算在直径为d = 10-14 m 的核的质子最小动能的数量级.

（质子的质量m =1.67×10-27 kg ， 普朗克常量h =6.63×10-34 J·s ）

16. 已知粒子处于宽度为a 的一维无限深方势阱中运动的波函数为

(),1,2,3,n n x x n a πψ==

试计算n =1时，在x 1=a /4 → x 2=3a /4 区间找到粒子的概率.

17. 一维无限深方势阱中的粒子，其波函数在边界处为零，这种定态物质波相当于两段固定的弦中的驻波，因而势阱的宽度a 必须等于德布罗意波半波长的整数倍。试利用这一条件求出能量量子化公式

2

228n h E n ma

= 18. 一弹簧振子，振子质量m = 10-3 kg ，弹簧的劲度系数k m =10 N·m -1. 设它作简谐振动的能量等于kT （k 为玻尔兹曼常量），T =300 K. 试按量子力学结

果计算此振子的量子数n ，并说明在此情况下振子的能量实际上可以看作是连续变化的. （k =1.38×10-23 J·K -1，h =6.63×10-34 J·s ）

19. 一粒子被限制在相距为l 的两个不可穿透的壁之间，如图所示. 描写粒子

状态的波函数为()cx l x ψ=-，其中c 为待定常量. 求在0～

13

l 区间发现该粒子的概率.

20. 威尔逊云室是一个充满过饱和蒸汽的容器。射入的高速电子使气体分子或原子电离成离子。以离子为中心过饱和蒸汽凝结成小液滴，在强光照射下，可看到一条白亮的带状痕迹，即粒子的轨迹。径迹的线度是10-4 cm ，云室中的电子动能等于108 eV 。讨论威尔逊云室中的电子是否可以看成经典粒子?

21. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为 ()()()()

2,00,0,n n n x x x a a a x x x a πψψ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭

=<> 试计算动量和动能的平均值.

22. 谐振子的归一化的波函数为()02311()()()32

x u x u x cu x ψ=++。其中，()n u x 是归一化的谐振子的定态波函数。求：c 和能量的可能取值，以及平均能量E 。

23. 氢原子的直径约10-10 m ，求原子中电子速度的不确定量。按照经典力学，认为电子围绕原子核做圆周运动，它的速度是多少？结果说明什么问题？

答案

1. 粒子在t 时刻在(x , y , z )处出现的概率密度

单值、有限、连续

2d d d 1x y z ψ=⎰⎰⎰

2. 不变

3. a /6, a /2, 5a /6

4. 1.06×10-24 (或6.63×10-24或0.53×10-24或3.32×10-24)

参考解：

根据y y p ∆∆≥ （或y y p h ∆∆≥或12y y p ∆∆≥或12y y p h ∆∆≥），可得以上答案

5. 250 cm

6. 1λ

7. 微观粒子能量E 小于势垒U 0时，粒子有一定的几率贯穿势垒的现象

波动性

8. 222ma

9. nh ν （n =1, 2, ）

12n h ν⎛⎫+ ⎪⎝

⎭ （n =0, 1, 2, ） 10. 12n E n h ν⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （n =0, 1, 2, ）

12

h ν 11. 变小

变小

12. i x ∂-∂，222U m -∇+，i z x x

z ∂∂⎛⎫-- ⎪∂∂⎝⎭ 13. i

14. 解：所谓归一化就是让找到粒子的概率在可能找到的所有区域进行积分，并