+第九章 光的电磁理论基础

ρ——表示封闭曲面内的电荷密度； j——表示积分闭合回路上的传导电流密度； D t ——为位移电流密度；
梯度，gradient
divergnce 散度
rot 旋度
▲ 物质方程 电磁场是在介质中传播，介质性质对电磁场传播会带来影响. 描述物质在场作用下特性的关系式称为物质方程。静止的、 各向同性(每一点的物理性质不随方向改变)介质中的物质方程为
（9-30）
▲复振幅——表示某一时刻光波在空间的分布。当只关心光 波场振动的空间分布时（例如光的干涉和衍射等问题中），常 用复振幅表示一个简谐光波。 2、平面电磁波的性质 （1）平面电磁波是横波 ' 平面电磁波 B A exp[i (k r t )] 波动公式 E A exp[i (k r t )]
n c v r r
（9-17）
除了磁性物质，大多数物质的μr≈1，因而有n=(εr)0.5 的关 系，这一关系对于化学结构简单的气体，符合的很好，但对于 许多液体和固体，两者相差很大。这是由于(μr)0.5的值（因而折 射率）实际上与入射电磁波的频率有关，存在色散现象（参见 本章第三节）。
平 面 波 的 波 面 是 k· 常 r= 数 的 平 面
（9-27）
设k的方向余弦cosα、cosβ、cosγ， 任一点P的坐标为x、y、z， 图9-1 任一方向传播的平面波
E A cos[k ( x cos y cos z cos ) t ] E A exp[i (k r t )]
2、电磁场的波动性 ▲任何随时间变化的磁场在周围空间产生电场，这种电场具 有涡旋性。 ▲任何随时间变化的电场（位移电流）在周围空间产生磁场， 磁场是涡旋的。 ▲电场和磁场紧密相联，其中一个起变化时，随即出现另一 个，它们相互激发形成统一的场——电磁场。 ▲交变电磁场在空间以一定的速度由近及远的传播，就形成 了电磁波。 从麦克斯韦方程组出发，可证明电磁场传播具有波动性。为 简单，讨论在无限大各向同性均匀介质的情况，此时，ε、μ是 常数，电导率ζ=0。若电磁场远离辐射源，则封闭曲面内的电 荷密度=0，积分闭合回路上的传导电流密度j=0，麦克斯韦 方程简化为：
v沿z轴正方 向传播的平 面波
求解波动方程，考虑由源向外辐射电磁波的情况，得
E f ( z v t ) B f ( z v t )
（9-20）
（9-21）
▲传播的波动取决于源的振动形式。 取最简单的简谐振动作为波动方程的特解，这不仅是因为这 种振动形式简单，更重要的是从傅里叶分析方法可知，任何形 式的波动都可分解为许多不同频率的简谐振动之和。故有 z 平面简谐电磁波波 E A cos[ ( t )] （9-22） v 动公式，对于光波 ' 来说，就是平面单 z B A cos[ ( t )] （9-23） 色光波的波动公式 v A 和 A’——分别为电场和磁场的振幅矢量，表示平面波的偏 振方向；v——平面波在介质中的传播速度；ω——角频率； [ω(z/v-t)]——为位相，它是时间和空间坐标的函数，表示平面 波在不同时刻空间各点的振动状态。物理量间的关系：
（9-28）
单色平面波波动公式（9-27）也可写成复数形式： （9-29） 式（9-27）实际上是式(9-29)的实数部分。这种代替完全是形式 上的，其目的是使计算简化。
E A exp[i (k r t )]
振幅和空间相位因子的乘积记为
~ 复振幅： E A exp(ik r )
表明，电矢量 与磁矢量的方 向均垂直于波 传播方向
（9-31）
式（9-9） B 0
式（9-8） E 0
k E 0 k B 0
（9-32） （9-33）
（2）E、B、k0互成右手螺旋系 由式（9-10） E B t 、（9-11） B E t 得 1 （9-34） B (k0 E ) (k0 E ) （3）E和B同相位
第九章
光的电磁理论基础
19世纪60年代，麦克斯韦(Maxwell)在电磁学理论 的研究基础上，从理论上推得电磁波的传播速度等于 光速，这使得麦克斯韦推测：光的传播是一种电磁现 象，是电磁振动在空间的传播。20年后赫兹(Hertz) 第一次在实验上证实了光波就是电磁波，从而肯定了 麦克斯韦的预言，产生了光的电磁理论。光的电磁理 论的确立，推动了光学及整个物理学的发展。现代光 学尽管产生了许多新的领域，并且许多光学现象需要 用量子理论来解释，但是光的电磁理论仍然是阐明大 多数光学现象以及掌握现代光学的一个重要基础。
二、平面电磁波及其性质
利用波动方程式(9-12)和式(9-13)可分别求出E和B的多种形 式的解，例如平面波、球面波和柱面波解。方程的解还可以写 成各种频率的简谐波及其叠加。在此，以平面波为例求解波的 方程，并讨论在光学中有重要意义的平面简谐波解。 1、平面简谐电磁波的波动公式 平面电磁波是电场或磁场在与传播方向正交的平面上各点 具有相同值的波。假设平面波沿直角坐标系Oxyz的z方向传播， 则平面波的E和B仅是z和t的函数。式(9-12)、(9-13)化为 2 2 E 1 E （9-18） 2 2 0 z 2 v t 2 2 B 1 B 2 2 0 （9-19） 表示以速度 2 z v t
光波波长 振动频率，书中用 2f 的符号与速度符号 vT （介质中） 难以分辨，故用f 0 cT （真空中） 0 n v传播速度
（9-24）
振动周期
（9-24a） （9-24b） （9-24c）
引入波传播方向上的波矢量k (称为空间角频率或波数）：
k 2 v z t E A cos[2 ( )] T E A cos[(kz t )]
（9-10）
（9-11）
由麦克斯韦方程组可以导得【7】E、B 满足的波动微分方程为
1 E 2 E 2 2 0 v t 1 2B 2B 2 2 0 v t
2
（Hale Waihona Puke -12）（9-13）（9-14） 可见，E、B随时间和空间的变化是遵循波动规律，电磁场以 波动形式在空间传播，电磁波的传播速度与介质的电学和磁学 性质有关。
j E D E B H
ς电导率 ε介电常数(或电容率)
（9-5） （9-6） （9-7）
μ磁导率
在各向同性均匀介质中，ε、μ是常数，ζ=0。 在真空中， 0 8.8542 10 12 F / m（法/米） 0 4 10 7 H / m （法/米）对于非磁性物质 0 物质方程给出了介质的电学和磁学性质，用介电常数和磁导 率表示光与物质相互作用时介质中大量分子平均作用。 麦克斯韦方程组与物质方程一起构成一组完整的方程组，用 于描述时变场情况下电磁场的普遍规律。在电磁场的边值条件 下，用于处理具体的光学问题。
B——磁感强度；
H——磁场强度；
ρ——表示封闭曲面内的电荷密度； j——表示积分闭合回路上的传导电流密度； D t ——为位移电流密度；
此式为电场的高斯定理，表示电场可以是有源场， 此时电力线发自正电荷，终止于负电荷 D 此式为磁通连续定律，即穿过一个闭合面的磁通量等 于零，表示穿入和穿出任一闭合面的磁力线的数目相 B 0 等，磁场是个无源场，磁力线永远是闭合的 B 此式为为法拉第电磁感应定律，表示变化的磁场会 E 产生感应的电场，这是一个涡旋场，其电力线是闭 t 合的，不同于闭合面内有电荷时的情况。麦克斯韦 D 指出，只要所限定面积中磁通量发生变化，不管有 否导体存在，必定伴随变化的电场 H j t 此式为安培全电流定律，表示在交变 D——电感强度(电位移矢量)； 电磁场的情况下，磁场既包括传导电 流产生的磁场，也包括位移电流产生 E——电场强度； 的磁场。传导电流意味电荷的流动， 位移电流意味电场的变化，两者在产 B——磁感强度； 生磁效应方面是等效的。位移电流的 引入，进一步揭示了电场和磁场之间 H——磁场强度； 的紧密联系。
D B 0 B E t D H j t
ε、μ为常数 ς=0 j =0 ρ=0
E 0 B 0 B E t E B t
（9-8） （9-9）
▲利用波矢量k可写出沿空间任一方向传播的平面波波动公式.
如图9-1，沿空间任一方向k(k为矢量)传播的平面波在垂直于 传播方向的任一平面∑上场强相同，且由该平面与坐标原点的 垂直距离s决定，则平面∑上任一点P的矢径r在k方向上的投影 都等于s，因此 k r ks ，于是有
E A cos(k r t )
其中
v 1
▲真空中电磁波速——电磁波在真空中的传播速度为
c 1
0 0 2.99794 10 8 m s
（9-15）
v 1
引入相对介电常数 r 0 相对磁导率 r 0
v c
r r
（9-16）
▲介质对电磁波的折射率n——电磁波在真空中的速度c与介 质中速度v的比值，即
麦克斯韦通过理论计算后预言：交变的电场和磁场产生电磁 波，光波就是电磁波。赫兹在麦克斯韦预言后20年从实验上确 证了电磁波的存在，并证明电磁波具有与光波相同的反射、折 射、相干、衍射和偏振特性，它的传播速度等于光速。这以后， 光的电磁理论真正为人们所接受。 整个的电磁波谱如表9-1所示。通常所称的光学波谱包括紫外 光波、可见光波和红外光波。人眼可以感觉到各种颜色的可见 光波，它们在真空中的波长范围约390～780nm。光学是以光学 波谱为对象，研究辐射光的性质、光所引起的现象及其应用。
（9-24d） （9-25） （9-26）
▲波动公式（9-25）、（9-26）、（9-22）所描述的波是一 个具有单一频率、在时间和空间上无限延续的波。 某一时刻波在空间是一个以波长λ为周期的周期分布。 ●在空间域中，可用空间周期λ、空间频率1/λ及空间角频率k 这样一组物理量来表示它的空间周期性； ●而对于空间固定的点，波在该点是以时间周期T为周期的 一个周期振动，在时间域中，可用时间周期T、时间频率f=1/T 及角频率ω这样一组物理量表示它的时间周期性。 空间周期性与时间周期性之间通过传播速度v=λ/T相联系。任 何时间周期性和空间周期性的破坏都意味着光波单色性的破坏.