湘教版八年级数学上册 专题五 二次根式

【变式跟进】
2．[2017·碧江区检测]计算 （－3）2的结果是( B ) A．－3 B．3 C．－9 D．9 题型三 二次根式的计算
计算：
(1)
31＋1－ 23＋
32×
1； 8
(2) 8－81 48－23 412－2 34.
解：(1)原式＝ 32－1－ 23＋ 32×18 ＝ 23－12－ 23＋2 ＝32.
解：原式＝5＋(1－3)－2 3 ＝5－2－2 3 ＝3－2 3.
17．[2017·襄阳]先化简，再求值：x＋1 y＋x－1 y÷xy＋1 y2，其中 x＝ 5＋2， y＝ 5－2.
解：原式＝（x＋y）2（x x－y）·y(x＋y) ＝x2－xyy.
当 x＝ 5＋2，y＝ 5－2 时，
原式＝2（
5＋2）（ 5－2） 5＋2－ 5＋2
【点悟】 本题的求值中，使用了和差代入法，即将待求式变成含a＋b与 ab的代数式，通过变换已知条件先求出a＋b与ab的值，再代入计算的方
法．另外，在二次根式的化简中，整体代入法也是一种常用的方法，我们 要会灵活运用．
【变式跟进】
5．已知 x＝2－1
，求代数式 3
x2－4x＋2
的值．
解：∵x＝2－1 3＝2＋ 3，∴x－2＝ 3， 两边平方得 x2－4x＋4＝3， ∴x2－4x＋1＝0， ∴x2－4x＋2＝(x2－4x＋1)＋1＝1.
2y 2x (3)x x ÷y y .
解：(1) 48÷ 6＝ 48÷6＝ 8＝2 2；
(2)－
3 27÷10
38＝－130
27×38＝－130 72＝－130×6 2＝－20 2；
(3)x 2xy÷y 2yx＝xy 2xy·2yx＝xy·yx＝1.
14．[2016·咸丰县校级月考]计算： (1)6 27×(－2 3)；
专题五 二次根式
题型归类
题型一 二次根式有意义的条件
(1)下列式子没有意义的是( A )
A. －3
B. 0
C. 2
D. （－1）2
(2)[2016·贺州]要使代数式 xx＋1有意义，则 x 的取值范围是 __x_≥__－__1__且__x_≠__0__．
【解析】 (1)A.负数不能作为被开方数，∴ －3没有意义； B．0 可以作为被开方数，0 的算术平方根是 0，∴ 0有意义； C．正数可以作为被开方数，∴ 2有意义； D．∵ －12＝ 1＝1，∴ －12有意义． (2)根据题意，得xx＋≠10≥ ，0，解得 x≥－1 且 x≠0.
【点悟】 确定形如 a的式子的被开方数中字母的取值范围，可根据二 次根式有意义的条件，解不等式 a≥0 即可．但当有几个二次根式时，每个 二次根式都要考虑；当分母中有字母时，还要考虑分母不等于零．
【变式跟进】
1．若 2x1－1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是( C )
A．x≥12
B．x≥－12
＝12.
18．[2017·贵港]先化简，再求值：a－1 1－a＋1 1＋4a＋2－21a ，其中 a＝－2 ＋ 2.
19．[2017·扬州]若关于 x 的方程－2x＋m 2 017－x＋4 020＝0 存在整数解， 则正整数 m 的所有取值的和为__1_5_．
【解析】 先将等式变形，得
m 2 017－x＝2(x－2 010)， 2 017－x≥0，
当 a＝1＋ 2，b＝1－ 2时，
原式＝（ （11＋ ＋
2）－（1－ 2）＋（1－
22） ）＝22 2＝
2.
过关训练
1．[2017·十堰]下列运算正确的是( C )
A. 2＋ 3＝ 5
B．2 2×3 2＝6 2
C. 8÷ 2＝2
D．3 2－ 2＝3
2．[2017·淮安]下列式子为最简二次根式的是 ( A )
解得x≥1且x≠0，∴x≥1.
11．[2016·聊城]计算： 27×
8 3÷
12＝___1_2__．
【解析】
27×
81 3÷ 2
＝3 3×
8 3÷
1 2
＝3
wk.baidu.com
3×83×2 ＝12.
12．计算： 2＋12－4 12－ 32＝___0_． 【解析】 原式＝3＋2 2－2 2－3 ＝0.
13．计算： (1) 48÷ 6； (2)－ 27÷130 38；
A. 5
B. 12
C. a2
1 D. a
3．[2017·连云港]关于 8 的叙述正确的是 ( D ) A．在数轴上不存在表示 8 的点 B. 8＝ 2＋ 6 C. 8＝±2 2 D．与 8 最接近的整数是 3
4．[2017·聊城]计算5 15－2 45÷(－ 5)的结果为( A ) A．5 B．－5 C．7 D．－7
再根据二次根式的非负性以及积的符号性质可以得到x－2 010≥0， 解得 2 010≤x≤2 017. 又∵x 为整数， ∴x 可取 2 010，2 011，2 012，2 013，2 014，2 015，2 016，2 017， 分别代入等式验证，正整数 m 只能取 3 和 12， ∴正整数 m 的所有取值的和为 15.
【点悟】 (1)在化简 a2时，要先判断 a 的符号，再去根号．特别地， 当 a<0 时，它等于－a，不是 a.
(2) a具有双重非负性，一方面是被开方数 a≥0，另一方面是 a的值本 身也是非负数，即 a≥0.第(2)题就是利用了 a的非负性及非负数的性质(几 个非负数之和等于 0，每一个非负数都等于 0)．
(2)原式＝2 2－48 3－23×32 2－2× 23 ＝2 2－ 23－ 2＋ 3
＝
2＋
3 2.
【点悟】 在二次根式的运算或化简的过程中，乘法公式、
因式分解等相关法则、方法均可使用．
【变式跟进】 3．[2017·铜仁十中检测]计算：(3－ 7)(3＋ 7)＋ 2(2－ 2)．
解：原式＝9－7＋2 2－2＝2 2.
5．实数 a，b 满足 a＋1＋4a2＋4ab＋b2＝0，则 ba 的值为( B )
A．2
1 B.2
C．－2
D．－21
【解析】 ∵ a＋1＋4a2＋4ab＋b2＝0，
∴ a＋1＋(2a＋b)2＝0.
a＋1＝0， a＝－1， 由非负数的性质可得2a＋b＝0，∴b＝2，
∴ba＝2－1＝12.
6．若一个长方体的长为 2 6 cm，宽为 3 cm，高为 2 cm，则它的体 积为( B )
[2016·宁夏]先化简，再求值：a＋a 2＋a2－1 4÷aa－ ＋12＋a－1 2， 其中 a＝2＋ 2. 解：原式＝（a＋a（2）a－（2a）－2）＋（a＋2）1（a－2）·aa＋ －21 ＋a－1 2＝（a＋（2a）－（1）a－2 2）·aa＋ －21＋a－1 2＝a－a－1＋2 1＝a－a 2， 当 a＝2＋ 2时，原式＝ 2＋1.
(2)
2 13÷
213×
2 15.
解：(1)原式＝－12 27×3＝－12×9＝－108；
(2)原式＝
5 3÷
37×
7 5
＝ 53×37×75 ＝1.
15．[2017·呼和浩特]计算： |2－ 5|－ 2×
18－ 210＋23.
解：原式＝ 5－2－21＋ 5＋23＝2 5－1.
16．计算：15－1＋1＋ 31－ 3－ 12.
20．[2017·铜仁十中检测]已知实数 a，b，定义“★”运算规则如下： a★b＝b（a2a－≤bb2（）a，>b）， 求 7★( 2★ 3)的值．
解：由题意，得 2★ 3＝ 3. ∴ 7★( 2★ 3)＝ 7★ 3＝ 7－3＝2.
【点悟】 正确化简分式是解题的关键，代入二次根式进行求值时，能 用乘法公式进行运算的，要用乘法公式简化运算．
【变式跟进】
6．先化简，再求值：a－2aba－b2÷a2－a b2，其中 a＝1＋ 2，b＝1－ 2. 解：原式＝a2－2aab＋b2·（a＋b）a（a－b）
＝（a－ab）2·（a＋b）a（a－b） ＝aa＋－bb.
4．计算： ab3＋ 9a3b－ 4ab－ab a1b(a>0，b>0)． 解：原式＝b ab＋3a ab－2 ab－ ab ＝(3a＋b－3) ab.
题型四 与二次根式有关的化简求值 已知 a＝ 3＋ 2，b＝ 3－ 2，求 a2b＋ab2 的值．
解：∵a＋b＝ 3＋ 2＋ 3－ 2＝2 3， ab＝( 3＋ 2)( 3－ 2)＝3－2＝1， ∴a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝1×2 3＝2 3.
C．x>12
D．x＝12
【解析】 由题意得，2x－1＞0，解得 x＞21.
题型二 二次根式的性质
(1)有下列四个等式：① －42＝4；②－ 42＝16；③ 42＝4；
④ －42＝－4.其中正确的是( D ) A．①② B．③④ C．②④
D．①③
(2)若 x－2y＋9与|x－y－3|互为相反数，则 x＋y 的值为( D )
A．3
B．9
C．12
D．27
【解析】 (1)① －42＝－4＝4，正确； ②－ 42＝ 42＝4≠16，错误； ③ 42＝4，正确； ④ －42＝－4＝4≠－4，错误． ∴正确的是①③. (2)∵ x－2y＋9与|x－y－3|互为相反数， ∴ x－2y＋9＋|x－y－3|＝0，
x－2y＋9＝0， x＝15， ∴x－y－3＝0， 解得y＝12， ∴x＋y＝15＋12＝27.
A．10 cm3 B．12 cm3 C．14 cm3 D．16 cm3
7．[2016 秋·灌阳县期中]计算 2 12× 43÷3 2的结果是( A )
2 A. 2
3 B. 3
2
3
C.3
D. 2
【解析】 2
12×
3 4 ÷3
2
＝2×14÷3 12×3÷2 ＝16×3 2
＝61 18
＝
2 2.
8．下列各式计算正确的是( D )
A．a12÷a6＝a2
B．(x＋y)2＝x2＋y2
C.4x－－x22＝2＋1 x
D.
3 5÷
5＝
3 5
9．[2016·哈尔滨]计算 2 12－ 18的结果是_－__2___2__．
【解析】 原式＝2× 22－3 2＝ 2－3 2＝－2 2.
10．[2016·自贡]若代数式 xx－1有意义，则 x 的取值范围是_x_≥_1___． 【解析】 由题意得，x－1≥0且x≠0，