《化工传递过程导论》热量传递作业参考答案

《化工传递过程导论》课程第九次作业解题参考
第5章 热量传递及其微分方程
1. 某不可压缩的黏性流体层流流过与其温度不同的无限宽度的平板壁面。

设流动为定态，壁温及流
体的密度、黏度等物理性质恒定。

试由方程(5-13a)出发，简化上述情况的能量方程，并说明简化过程的依据。

解：课本(5-13a)式如下：
222222()x y z T T T T T T T u u u t x y z x y z
α∂∂∂∂∂∂∂+++=++∂∂∂∂∂∂∂ 由题意可知，定态流动0T
t
∂⇒
=∂。

在直角坐标系中，三维方向对应长、宽、高，题中“无限宽度的平板壁面”则可认为是在宽这个维度上无限，姑且设定此方向垂直于纸面且为z 方向，故可认为题意所指流动过程为二维流动，且
0z u = 且2200T T
z z
∂∂=⇒=∂∂
则(5-13a)式可简化为
2222()x y T T T T
u u x y x y
α∂∂∂∂+=+∂∂∂∂ 如果引入热边界层概念，则基于尺度和量级的考虑，可进一步简化上式为
22x y T T T u u x y y
α∂∂∂+=∂∂∂ 其中，y 方向为垂直主流方向（x ）的距壁面的距离。

2. 假定人对冷热的感觉是以皮肤表面的热损失（刘辉注：换言之，是传热或散热速率）作为衡量依
据。

设人体脂肪层的厚度为3mm ，其内表面温度为36℃且保持不变。

在冬天的某一天气温为-15℃。

无风条件下裸露皮肤表面与空气的对流传热系数为25W/(m 2·K)；有风时，表面对流传热系数为65W/(m 2·K)。

人体脂肪层的导热系数k ＝0.2W/(m ·K)。

试确定：
(a) 要使无风天的感觉与有风天气温-15℃时的感觉一样（刘辉注：换言之，是传热或散热速率一样），则无风天气温是多少？
(b) 在同样是-15℃的气温下，无风和刮风天，人皮肤单位面积上的热损失（刘辉注：单位面积上的热损失就是传热通量）之比是多少？
解：（a ）此处，基本为对象是：人体皮下为脂肪层，层内传热为导热；体外或体表之外暴露在流
动的空气中，紧邻表面之上为对流传热。

上述导热和对流传热为串联过程，在定态下（如空气流动相对平稳且气温也相对稳定），两种过程速率相等。

作为近似，取各层为平板，传热均为一维。

对脂肪层内的导热，已知传热速率为
()1S kA
q T T L
=
- (6-5) 其中， L 为脂肪层的厚度，T 1为脂肪层的内表面温度，T S 为脂肪层的外表面或人体的体表温度（未知）。

为计算体表温度，可利用题给条件，即有风天、气温为-15℃（此处称情形或Case 1）下的对流传热速率与脂肪层内导热速率相等,也即
()111101()S S kA T T h T T L -=-
其中，T 01为对应的气温。

所以
1
13
360.265[(15)]310S S T T --⨯
=⨯--⨯
故体表温度o 110.82C S T =。

由上述计算也可见，热损失相等，也即热通量相等，因之只需保证体表温度一致即可（式6-5）。

所以，无风条件下（此处称情形或Case 2）的气温满足如下关系
11012202()()S S h T T h T T -=-
1
0221012
()S S h T T T T h ⇒=+
- 利用o 2110.82C S S T T ==条件可以求得0256.315o T C =-（刘辉注：这似乎是北极的温度，看来穿衣服少了不行。

）
（b ）由题意可知，外界温度同为-15℃，但有风和无风两种情形下对流传热系数不同，所以
相应的传热速率不同，继而体表温度也不同；基本的关系是导热和对流传热速率相等。

所以两种情形下分别有，
()111101()S S kA T T h T T L -=-
()121202()S S kA T T h T T L
-=-
但此时o 010215C T T ==-，因此在情形1（有风）下，
1
13360.265[(15)]310S S T T --⨯=⨯--⨯
解得o 110.82C S T =。

同理可得情形2（无风）下o 222.09C S T =。

故，无风和有风两种条件下的热损失之比为：
2202211101()()
S S h T T q q h T T -=-
2125[22.091(15)]65[18.023(15)]q q ⨯--⇒
=⨯-- 2
1
0.552q q ⇒
=
第6章 热传导
1. 用平底锅烧开水，与水相接触的锅底温度为111℃，热流通量为42400W/m 2。

使用一段时间后，锅底结了一层平均厚度为3mm 的水垢，假设此时与水相接触的水垢的表面温度及热流通量分别等于原来的值，试计算水垢与金属锅底接触面的温度。

水垢的导热系数取为1 W/(m ·K)。

解：由题意可以想见，原来无水垢时是对流传热；结垢后垢层中为导热，此时定态、一维平板的传热通量为
()1S q k
T T A L
⎛⎫=- ⎪⎝⎭ (6-5)
其中， L 为垢层的厚度，T 1为水垢与金属锅底接触面的温度（未知），T S 为与水相接触的垢层表面温度。

因此可得
1S q L
T T A k
⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
3
1310111424001T -⨯⇒=+⨯
1238.2o T C ⇒=
故得出水垢与金属锅底接触面的温度为238.2o C
2. 有一管道外径为150mm ，外表面温度为180℃，包覆矿渣棉保温层后外径为250mm.。

已知矿渣棉的导热系数0.0640.000144k T =+W/(m ·K)，T 单位为℃。

保温层外表面温度为30℃，试求包有保温层后管道的热损失。

解： 本题考虑对象为保温层，其中为定态、一维筒壁、无内热源导热问题，可以有多种解法。

与书中讨论不同的是，导热系数并非常数，而是随温度变化。

首先，形式上，将题给导热系数写作
()0(1)0.06410.00225k k t t β=+=+
以下分别给出几种解法。

第一解法：精确解
定态下，传热速率为常数，也即
0112(1)2(1)()
2dt
k rL
Const dr
dt
k t rL dr dr t dt C C r k L παβπαα
βπ-==-+⋅⋅=⇒+==-⋅
不定积分一次得：
2
121122ln 20.15,1800.25,30O
O t t C r C r m t C r m t C β⎧+=+⎪⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩
利用边界条件确定积分常数：
)
6(ln ln )
(2
)(2
)5(ln )
(2
)()
4(ln 2
)3(ln 2
1
2
1
2
2212121122
1
2
2212112
212222
11211r r r t t t t t t C r r t t t t C C r C t t C r C t t ⋅-+
--
-
=-+
-=
∴+=+
+=+β
β
β
β
β
所以单位管长的传热速率或热损失为
022
121201
2
2212213543[J/s/m]13543[W/m]
q dt
rk L dr dt
k (t )r
dr
(t t )(t t )
k r ln r ..ππββ
π=-⋅=-⋅+⋅-+
-=-⋅⋅
==
22000225
1803018030220064015025
14598[J/s/m]14598[W/m]
.()()q
..L
ln ...π-+
-⇒
=-⋅⋅== 第二解法：精确解
Const dr
dt
rL k q =-=π2 (1a) 0)(=∴
dr
dt
kr dr d (1b) 0
1122[(1)]00.15,1800.25,30O
O d
dt k t r dr dr
r m t C r m t C β⎧+⋅=⎪⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩
(1c) 积分两次：
1)1(C dr
dt
r t =+β (2a) r d C t t d ln ]2
[12=+β
(2b)
212ln 2
C r C t t +=+
β
(2c)
可得与第一解法同样的结果。

第三解法：近似解
取导热系数近似为常数，对应保温层的平均温度o 18030
105C 2
T +==，故导热系数为 0.064
0.0001
4k T =+ 0.0640.000144
k ⇒=+⨯
()
W 0.07912
m K k ⇒=⋅ 故而，计算每米管长的热损失，可得
03
3
0220.07912W ()(18030)
145.98
m
25010ln ln
15010i i
Q k T T r L r ππ--⨯=-=-=⨯⨯
3. 有一具有均匀内热源的平板，其发热速率q
=1.2⨯106J/(m 3·s)，平板厚度（x 方向）为0.4m 。

已知平板内只进行x 方向上的一维定态导热，两端面温度维持70℃，平均温度下的导热系数
377=k W/(m ·K)。

求距离平板中心面0.1m 处的温度值。

解：由题意，有均匀内热源的平板一维、定态热传导。

控制方程为
220T q x k
∂+=∂
设定平板中心为坐标原点，可得到边界层条件
0.2x m =，70o T C = 0.2x m =-，70o T C =
且6321.210 3.18310377q k m k ⨯==⨯
对原式积分，并代入边界条件，可得
32(1.59210)133.68T x =-⨯+
距平板中心0.1m 处的温度为
32(1.59210)0.1133.68117.76o T C =-⨯⨯+=
刘辉注：在积分控制方程时，也可采用如下边界条件，结果与前相同。

00,0()0.2,70343s t x x
x L m t t C K ∂⎧
==⎪∂⎨⎪=====⎩
对称，极值条件
积分控制方程：
]
)/(1[2`]
)/(1[2`)()2/`()(2
)/`(2)/`(0)/`(22222
2
2
2
2
12
11L x k
L
q t t L x k
L
q L x k q t t C L k q t C x C x k q t C C x k q dx
dt
s s s -+=-=-⋅-=-∴+⋅-=++⋅-==⇒+⋅-=
622
01210020.1343[1-()]391K 11776C 23770.2
..t .⨯⨯=+
==⨯ 本题的温度分布如下所示：
《化工传递过程导论》课程第十次作业解题参考
1. 流体在垂直壁面附近呈自然对流，已知局部传热系数h x ＝c ⋅x -1/4，式中x 为离平壁前缘的距离，c
为取决于流体物性的常量，试求局部传热系数与平均传热系数之比。

解：局部传热系数为当地的点值，平均传热系数为一段区间上的均值。

对于长为L 的平板壁面，平均传热系数为面积加权平均或线平均值，也即
1
m x A
h h dA A =
⎰⎰
1
40
1
(1)(1)L
m h Cx dx L -⇒=⨯⎰
1443
m h CL -⇒=
故局部传热系数与平均传热系数之比
114
4
1433()44
43
x m h Cx x h L CL ---===
2. 20℃的空气以均匀流速u=15m/s 平行流过温度为100℃的壁面。

已知临界雷诺数Re xc =5×105，
求平板上层流段的长度、临界长度处速度边界层和温度边界层的厚度、局部对流传热系数和层流段的平均对流传热系数。

解：特征温度01
()602
o w t t t t C =+⇒=
60o C 下，空气的物性常数为： -31.060kg m ρ=⋅，-11.017kg/(kg K)p c =⋅
2-12.89610W/(m K)k -=⨯⋅，52.0110Pa s μ-=⨯⋅
普朗特数：
352
(1.01710)(2.0110)Pr 0.7062.89610
p c k
μ--⋅⨯⨯⨯=
==⨯
该取值满足课本中波尔豪森解的条件。

因此，平板上层流段长度：
550
Re (510)(2.0110)0.632m 1.0615
c x c x u μ
ρ-⨯⨯⨯=
==⨯
临界长度处速度边界层厚度：
35.0 4.46910m δ-===⨯
临界长度处温度边界层厚度：
3
31
13
3
4.46910
5.01910m Pr
0.706
t δ
δ--⨯=
=
=⨯
临界长度处局部对流传热系数：
11112
2332
25
2.896100.63215 1.0600.332Re Pr 0.332()0.7069.58W/(m K)0.632 2.0110
x x k h x --⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=⋅⨯ 临界段区间上的平均对流传热系数：
111
1
223322
5
2.896100.63215 1.0600.664Re Pr 0.664()0.70619.16W/(m K)0.632 2.0110
m L k h L --⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=⋅⨯ 3. 空气以1.0m/s 的流速在宽1m ，长1.5m 的薄平板上流动，主体温度是4℃，试计算为了使平板
保持在50℃的恒温必须供给平板的热量。

解：特征温度01
()272
o w t t t t C =+⇒=
27o C 下，空气的物性常数为：
-31.177kg m ρ=⋅，-11.005kg/(kg K)p c =⋅
2-12.64810W/(m K)k -=⨯⋅，51.84510Pa s μ-=⨯⋅
普朗特数：
352
(1.00510)(1.84510)Pr 0.72.64810p c k
μ--⋅⨯⨯⨯=
==⨯
平板边缘处雷诺数：
4
02
1.5 1.0 1.177Re 9.5710
2.64810
L Lu ρ
μ
-⨯⨯=
=
=⨯⨯ 上述取值满足课本中波尔豪森解的条件。

因此，平板平均对流传热系数：
11112
42332
22.648100.664Re Pr 0.664(9.5710)0.7 3.22W/(m K)1.5
m L k h L -⨯==⨯⨯⨯⨯=⋅ 保持平板恒
温，传热量计算如下：
0() 3.22(1.51)(504)222.18W m m Q h A t t =-=⨯⨯⨯-=
4. 常压和394K 的空气由光滑平板壁面流过。

平面壁温T W =373K ，空气流速u 0=15m/s ，临界雷诺
数Re xc =5×105。

试求临界长度x c 、该处的速度边界层厚度δ和温度边界层厚度δt 、局部对流传热系数h x 、层流段的平均对流传热系数h m 及该段的对流传热速率。

解：特征温度01
()383.5K 2
w T T T T =+⇒=
383.5K
下，空气的物性常数为： -30.922kg m ρ=⋅，-11.009kg/(kg K)p c =⋅
2-13.27110W/(m K)k -=⨯⋅，52.2410Pa s μ-=⨯⋅
普朗特数：
352
(1.00910)(2.2410)
Pr 0.6913.27110p c k
μ--⋅⨯⨯⨯=
==⨯
临界长度：
550
Re (510)(2.2410)0.810.92215
c x c x m u μ
ρ-⨯⨯⨯=
==⨯
临界长度处速度边界层厚度：
34.64 5.31510m δ-===⨯
临界长度处温度边界层厚度：
331
13
3
5.31510 5.86101.026Pr
1.0260.691
t m δ
δ--⨯=
=
=⨯⨯
局部对流传热系数：
11
11
223322
5
3.271100.81150.9220.332Re 0.332()0.6918.382W/(m K)0.81 2.2410
x x r k h p x --⨯⨯⨯==⨯⨯⨯=⋅⨯ 层流段。