随机变量和期望
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1.解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.
P(A)＝A12A13
A25＝
3
10.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝A22
A25＝
1
10，
P(X＝300)＝A33＋C12C13A22
A35＝
3
10，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－1
10－
3
10＝
6
10.
故X的分布列为
E(X)＝200×1
10＋300×
3
10＋400×
6
10＝350.
2.解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则P(A)＝5
6×
4
5×
3
4＝
1
2.
(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.
又P(X＝1)＝1
6，P(X＝2)＝
5
6×
1
5＝
1
6，
P(X＝3)＝5
6×
4
5×1＝
2
3.
所以X的分布列为
所以E(X)＝1×1
6＋2×
1
6＋3×
2
3＝
5
2.
3.解(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公
式有P(A)＝C12C13C15
C310＝
1
4.
(2)X的所有可能值为0，1，2，且
P(X＝0)＝C38
C310＝
7
15，P(X＝1)＝
C12C28
C310＝
7
15，P(X＝2)＝
C22C18
C310＝
1
15.
综上知，X的分布列为
故E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝3
5(个)．
4.解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝
C 13·C 27＋C 03·C 3
7C 310
＝49
60.
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为49
60. (2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3.
P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k
6
C 310
(k ＝0，1，2，3)．
所以，随机变量X 的分布列是
随机变量X 的数学期望E (X )＝0×16＋1×12＋2×310＋3×130＝6
5.
6.解 (1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)，
则P (A 3)＝12，P (A 1)＝13，P (A 0)＝1－12－13＝16；
记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i ＝0，1，3)， 则P (B 3)＝15，P (B 1)＝35，P (B 0)＝1－15－35＝1
5.
记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”． 由题意，D ＝A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3， 由事件的独立性和互斥性， P (D )＝P (A 3B 0＋A 1B 0＋A 0B 1＋A 0B 3) ＝P (A 3B 0)＋P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＋P (A 0B 3)
＝P (A 3)P (B 0)＋P (A 1)P (B 0)＋P (A 0)P (B 1)＋P (A 0)P (B 3) ＝12×15＋13×15＋16×35＋16×15＝310，
所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为3
10. (2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得
P (ξ＝0)＝P (A 0B 0)＝16×15＝1
30，
P (ξ＝1)＝P (A 1B 0＋A 0B 1)＝P (A 1B 0)＋P (A 0B 1)＝13×15＋16×35＝1
6， P (ξ＝2)＝P (A 1B 1)＝13×35＝1
5，
P (ξ＝3)＝P (A 3B 0＋A 0B 3)＝P (A 3B 0)＋P (A 0B 3)＝12×15＋16×15＝2
15， P (ξ＝4)＝P (A 3B 1＋A 1B 3)＝P (A 3B 1)＋P (A 1B 3)＝12×35＋13×15＝11
30， P (ξ＝6)＝P (A 3B 3)＝12×15＝1
10. 可得随机变量ξ的分布列为：
所以数学期望E (ξ)＝0×130＋1×16＋2×15＋3×215＋4×1130＋6×110＝91
30. 8.解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )
＝C 12C 35＋C 22C 25C 47
＝67.
所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为6
7.
(2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4.
P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝4
35，
P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47
＝4
7.
所以随机变量X 的分布列是
随机变量X 的数学期望E (X )＝1×135＋2×435＋3×27＋4×47＝17
5. 9.解 设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1，2，…，13)． 根据题意，P (A i )＝1
13，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．
(1)设B 为事件“此人到达当日空气质量重度污染”，则B ＝A 5∪A 8. 所以P (B )＝P (A 5∪A 8)＝P (A 5)＋P (A 8)＝2
13.