NURBS 曲线插补技术

NURBS 曲线插补技术

1. 前言

数控系统的NURBS曲线插补技术是基于PC开放式数控系统的发展关键技术之一。数控加工时

经常遇到诸如飞机的机翼、汽车流线型覆盖件、成型模具型腔、汽轮机叶片等许多具有复杂外形型

面的零件，CAD/CAM 通常用列表曲线来描述它们。列表曲线的拟合方法很多，如三次样条、B样条、圆弧样条及牛顿插值方法等。由于NURBS曲线具有良好的直观性，且在“局部性”及收敛、逼近

性方面占有优势，已经成为当前最为通用的列表曲线拟合方法，利用NURBS在CAD/CAM系统中可以

使所有的曲线具有统一的数学表达式，国际标准化组织(ISO)在其正式颁布的工业产品几何定义STEP标准中，亦将NURBS作为产品交换的国际标准。于是，对CNC添加NURBS曲线曲面插补功能，成为现代开放式数控系统的关键技术之一。基于PC开放式数控系统可以充分利用PC的强大计算能力，实现NURBS曲线曲面高速度高精度的实时插补。

2．数控插补原理

在CNC系统中，插补器的硬件功能全部或部分地由计算机的系统程序来实现。CNC根据来自数

据处理结果缓冲区中存储的零件程序数据段的信息，以数字方式进行计算，不断向系统提供坐标

轴的位置命令，这种计算叫做插补计算，简称插补。插补软件的任务是完成在轮廓起点到终点的中

间点的坐标计算。尤其对于轮廓控制系统而言，插补是最重要的计算任务。插补必须是实时的，

即必须在有限的时间内完成计算任务，对各坐标轴分配速度或位置信息。插补程序的运行时间和计

算精度影响着整个CNC系统的性能指标。总结目前普遍应用的插补算法可分为两类：

(1)脉冲增量插补。脉冲增量插补也称为行程标量插补，就是用软件模拟NC系统常用的逐点比

较法、DDA积分法以及这两种算法的改型算法。插补的结果是产生单个的行程增量，以一个个脉冲

的方式输出给步进电机。脉冲增量插补输出的频率主要受插补程序所用的时间限制，适用于中等精

度和中等速度，以步进电机为驱动元件。

(2)数据采样插补。数据采样插补也称为时间分割插补，适用于闭环和半闭环以直流或交流电

机为执行机构的位置采样控制系统。插补程序的调用周期可以和系统的位置采样周期相同，也可

以是采样周期的整数倍。在这种系统中，插补程序的运行时间不多于计算机时间负荷的30%-40%，

在其余时间内，计算机可以实现显示、译码、刀补等数控功能。本文所研究的NURBS曲线插补算

法就属于这一类插补算法。

3. 参数曲线直接插补算法基础

曲线表示主要有两种方法:隐式方程法和参数方程法。参数方程法因其易于编程和计算成为

CAD系统首选的曲线表示方法。一个三维曲线就可以用如下的参数方程表示:

x = x(u), y = y(u), z = z(u)

其中抽象参数u满足0 < u <1。曲线的参数方程可以非常方便的控制多轴机床的运动，而且

对各轴的控制可以是分别、独立的进行，故数控系统的各种曲线直接插补算法都基于曲线的参数

方程。通常把这三个方程合写成p(u) = [x(u), y(u), z(u)]，或者笛卡儿分量表示形式P(u) =

x(u)i + y(u) j + z(u)k ，其中i, j, k 分别为沿x, y, z轴正向的三个单位矢量。常简记Pi = p(ui)。

插补计算就是在CNC系统的第i-1工作周期中，实时计算出满足指定加工要求的下一个工作周

期的各轴运动分量ΔPi 。例如满足加工步长要求ΔLi的插补点Pi + 1为:

若插补周期为T，指令进给速度为f (ti)，则ΔLi = f (ti)×T

3.1 B样条曲线的定义

非均匀有理B样条曲线NURBS方法提出的首要理由是，为了找到与描述自由型曲线的B样条方法相统一的、且又能精确表示二次曲线弧与二次的数学方法。因此在了解NURBS曲线之前，有必要首先了解B样条曲线，B样条曲线是采用控制顶点来定义曲线的，其曲线方程可写为:

其中di,i = 0,1K n为控制顶点，又称德布尔点。顺序连成的折线多边形称为B样条控制多边形。

Ni, k(u),i = 0,1,K , n称为k次规范B样条基函数，其中的每一个k次规范B样条基函数简称为B样条。它是由一个称为节点矢量的非递减的参数u的序列U: u0 ≤ u1 ≤K ≤ ui + k + 1 所决定的k次分段多项式.

B样条基Ni, k(u)通常采用截尾幕函数的差商定义，德布尔一考克斯的递推定义为:

Ni, k(u)的双下标中第二下标k表示次数，第一下标i表示序号。该递归公式表明，欲确定第i个k次B样条Ni, k(u)，需要用到ui,ui + 1,K ui + k + 1共k+2个节点，包含的区间[ui,ui + k + 1]被称为Ni, k(u)的支承区间。Ni, k(u)的第一下标等于其支承区间左端节点的下标，即表示该B样条在参数u轴上的位置。曲线方程(23)中相应的n +1个控制顶点di,i = 0,1K n，要用到n +1个k次B样条基函数Ni, k(u),i = 0,1,K , n。它们的支承区间的并集，被定义为这一组B样条基的节点矢量U = [u0,u1,K un + k + 1]。

3.2 NURBS曲线的定义

在B样条曲线定义的基础上，若节点序列为非均匀分布，且在每个控制点处加一个表示对曲线形状影响大小的加权因子Wi，则k阶B样条曲线相应的变为k阶NURBS曲线，其公式相应为:

对于非周期NURBS曲线，往往取u0 = u1 =K = uk = 0,un + 1 = un + 2 =K = un + k + 1 =1,即将两端节点的重复度取为k+1，从而使曲线两端能相切通过控制多边形的首、末端节点。于是，曲线定义域u∈[uk,un + 1] = [0,1]，节点矢量U = [0,0,K 0,uk + 1,K ,un,1,1,K 1]。而且由于NURBS曲线方程的有理性，使得寻求NURBS曲线的迭代公式变得相当困难。

4．NURBS曲线插补技术

4.1 传统的CNC机床的加工方法

图1描述了CNC机床传统的曲线加工方法。首先，用CAD系统软件设计加工零件的几何模型，然后由CAM系统将刀具接触轨迹转化为刀具位置轨迹。以为目前的CNC系统一般只具有直线和圆弧插补功能，为了确保CNC系统能控制机床沿着刀具位置轨迹来执行加工任务，刀具位置轨迹通常被分解为一系列直线段或圆弧段（也称为NC代码）。应用足够数量的直线段或圆弧段，就可以在指定的精度内逼近给定的曲线。但这种方法存在以下缺点：

1）由于用直线逼近曲线本身是用直线代替曲线，逼近后的线是一阶的，导矢不连续的，所以加工表面不光滑。

2）在曲线的加工过程中，如果在直线部分不进行加减速，那么就要求在较低的速度下进行加工，这样一来不能满足高速加工的要求。并且由于直线段的一阶不连续，在加工过程中会造成机床的过冲，不能保证加工的质量和精度要求。如果在曲线的加工过程中，对直线段部分的每一段直线进行加减速，会造成加工速度的不平衡，加工的质量差，时间长。

3）大量的直线段或圆弧段将会增加加工速度的变化和曲线的加工时间，这样将会降低曲线的平均加工速率，降低加工效率。

4）具有复杂曲面形状的零件的加工，需要存储的程序段数非常庞大，而CNC系统的内存容量相对较小，因此需要分段存储和调用，这不仅会降低系统的可靠性，也会降低加工效率。

通过设定曲线加工时的允许误差和曲线曲率或者待加工曲线的长度，就可以确定加工任务中的最小直线段数。如果刀具实际走过的直线或圆弧段数太少，将会引起实际加工的曲线的一阶和二阶导矢的不连续。进而导致加工后的工件表面的光滑性和曲面的光洁度的畸变。基于以上分析，如果采用传统的直线和圆弧的插补器，很难获得高速，高精度的曲线加工。所以，开发一种新型的CNC插补器是十分必要的。