正弦定理PPT教学课件

C
ac b
b
sin A sin C sin B
D
a
A c
探究1: 上述关系式B对钝角三角形、直角三 角形是否适用？
探索研究
验证
直角三角形:已知一锐角和一边，求其余元素。
a
b
sinA= c sinB= c sinC= 1 。 A
所以
c=
a sin
A
c=
b sin B
c=
c sin C
b
c
结论： a b c
变式2：在△ABC中，已知a＝ 1 ，b＝2 2 ，A＝45°，
求B和c。
2
正弦定理应用二：
已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进
而可求其它的边和角。（要注意可能有两解或无 解）
例3、在△ABC中，已知 a=28，b=20， A=120º，求B（精确到1º）和（保留两 个有效数字）。
C a
b 120º
∵
bc sin B sinC
b csin B 10sin105 5 6 5 2
sin C
sin 30
正弦定理应用一： 已知两角和任意一边，求其余两边和一角
例⒉在△ABC中，已知a＝2，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。
变式1：在△ABC中，已知a＝4，b＝ 2 2，A＝45°， 求B和c。
二种 思想 —— 转化思想 方程思想
三种 方法 ——等积法 分割法 向量法
作业：同步作业本67页
欧阳修
• 中国北宋政治家，文学家。 唐宋古文八大家之一。字 永叔，号醉翁，晚号六一 居士。吉州永丰（今属江 西）人。欧阳修自称庐陵 人，因为吉州原属庐陵郡。
一代宗师－－欧阳修
北宋诗文革新，是中国文学史上 继唐代古文运动以后的又一次文 风改革，欧阳修就是这场革新运
小结：已知两边和其中一边
A 的对角解三角形，有两解或一解。
B
案例小结！
C
（1）A为锐角 C
b
a
ba a
A
B
a = bsinA (一解）
C
b
A B2
B1
bsinA<a<b
a (两解）
A
B
a≥b (一解）
（2）A为直角或钝角
C
C
b
a
A
B
a>b(一解）
b
a
A
B
a>b(一解）
小结提高
一个 定理 ——正弦定理 a b c sinA sinB sinC
c αb
其中，当∠C为锐角或直角时， 90 C B
aD C
当∠C为钝角时， C 90 A
A
故可得csinB-bsinC=0,
即
bc
sin B sin C 同理可得 a c
B
sin A sin C
所以 a b c sin A sin B sin C
c b
a （D）C B
c b
aC D
在ABC中， a b c
柚（ yòu ） 茶舛（ chuân) 老婢（ 鼎镬（ huÒ ） 烹（ pëng）斩
bÌ）
愚懦（ nuÒ ） 枕藉（ jië ）
尹师鲁，欧阳修的挚友，一生怀才不遇， 郁郁而终.
他们是好友，两人同是被贬，尹洙在欧 阳修被贬后，对欧阳修的情况有所不解，就 写信询问。于是欧阳修便写下这封信回复他 的询问。
sin A sin B sin C
当 C 90时 sin A a ,sinB b
c
c
正弦定理是直角三角形边角关系的一个推广。
请大家用文字表述正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。
说明（1）正弦定理对任意三角形都成立；它揭示了三 角形中边与角的一种关系。
（2）正弦定理的几种变式：（类同比例的性质）
sin A sin B sin C
C
B
a
猜想：对其它三角形此结论是否成立？
定理证明：
在△ABC中，有 BC BA AC
不妨设∠C为最大角，过点A作AD⊥BC于D，于是 A
BC AD (BA AC) AD BA AD AC AD
即 0 BA AD cos(900 B) AC AD cos
欧阳修与尹洙
尹诛，字师鲁，洛阳人，是欧 阳修在政治上、文学上的挚友， 范仲淹被贬时，尹洙官馆闻校 勘，他见朝廷敕榜朝堂，戒百 官为朋党，即上疏说：“…… 今仲淹以朋党被罪，臣不可苟 免。”因此被贬为监郢州酒税， 先于欧阳修离开开封。他一生 怀才不遇，郁郁而终。
预习：
• 注音：
见绐（ dài ） 君贶（ kuàn）g 惶（ huán）g 迫 沿汴（biàn ）绝淮（ huái ） 郢（ yîng）
探究2：该比值是什么？
探究2：正弦定理与外接圆的关系 B BAB' 90, C C'
sin C sin C' c
c
2R
c 2R
A
sin C
Hale Waihona Puke Baidu
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a
O
C
b
C/
a b c 2R sin A sin B sin C
正弦定理的应用 a b c 2R
动的领袖．他主张文章要切合实 用，反对空谈猎奇；文章应当反
映现实生活，为政治服务．如 《醉翁亭记》。他的诗也开创了 北宋的诗风，特点是“以文为 诗”，诗中抒发议论，很多诗反 映人民的痛苦，有现实意义，词 风也清新．
题解：
这是一封朋友之间的书信。 写于宋仁宗景禧三年 (1036)秋。这一年因上书 论救革新派人士范仲淹， 先被贬至郢州。其后欧阳 修因《与高司谏书》获罪， 被贬夷陵县。这封信是到 夷陵县后写的。
5.9正弦定理（一）
创设情景
问题1：如图，江阴长江大桥全长2200m，
在北桥墩处A测得火车北渡口C与南桥墩B的 张角为75o，在火车北渡口C处测得大桥南 北桥墩的张角为45o，试求BC的距离。
C
C火车北渡口
450
450
北桥墩A 750
750 A
B南桥墩
B
问题2： △ABC中，根据刚才的求法写出 A、C、a、c的关系式。并由此猜想与B、 b的关系式再给予证明。
译文：
第一段：
欧阳修叩首，师鲁书记十二兄，以前在京城 分别的时候，约定派人到河边送行，已经答应 了你，就派老仆人出城，但他返回却说没看到 你的船。那天晚上，等到收到你的信，才知道 你停船等待我，责怪我没有如约前来，我才知 道老仆人偷懒前去而我被他骗了。
第二段：
我离开京城的时候，吏役百般严厉催促， 比不上都促你离京的人有德行有礼节，让我 惶恐不知该做什么。因此,又没有在京城给 你回信,只能嘱托王拱辰给你写信时附上我 欧阳修的意思，当初我打算从陆路前往夷陵， 因为天气太热，加上无马可骑，才改为水路 舟行。顺着流汴河渡过淮河，经过大江，共 走过五千里，经过一百一十天才到达江陵府。 在路上没有寄信的地方，不知道王拱辰是否 给你写信说明我的心意？
sin A sin B sin C
（1）已知两角和任一边，求其他 两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对 角，求另一边的对角（从而进一 步求出其他 的边和角）
知 “三” 求 “三”
案例探究
例1: 在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和边b.
解： B 180 ( A C ) 105