高等几何仿射坐标与仿射变换

a 11
原象点： A,B,C,D…… 直线a上的点
映象点：A, B,C, D…… 直线上 a 的点 平行射影的方向：直线 l
记透视仿射对应T： T A A,T B B ………
透视仿射对应与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射
对应
D
a
C
l
A
B
O A B C D
a
点 O 为自对应点( 同一平面上两相交直线的公共点 ) 12
CB
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二.两直线间透视仿射对应、仿射对应与仿射变换
1..两直线间的透视仿射对应
≠ ≠
点若A直,B线,C,aD,…a… a，,l过点A,B,且C,Dl…作a直线, ll的平行a线交, a于
A, B,C, D……，则可得直线 a 到直线 a的一个映射。
称为透视仿射对应，记为 T D
a
l AB C
A B C D
1.透视仿射对应： 如图
点A,B,C共线a，则 A, B,C 共线 a
T A A T B B T C C g
C a l
B A
T a a
A B
两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴 C
a
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第一章、仿射坐标与仿射变换 如图
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2仿射对应：平面到平面的仿射对应是有限次透视仿射对应的 积组成的，是透视仿射对应链。
2.两直线间的仿射对应
T Tn T 1 n2
T2T1
仿射对应是透视仿射对应链或平行射影链
T1,T2, Tn2 ,Tn1 表示透视仿射链，T表示仿射对应 （如图）
A1
B1
C1
A2
B2
C2
l2
A3 B3
C3
D1
a1
l1
D2
a2
D3
a3
… …
… …
… …
An1
Bn1
Cn1
An
Bn
Cn
Dn
Dn1
an 1
架
极点，极线，配极原则，二次曲线的射影分类
第六章：二次曲线的仿射性质和度量性质
包括：二次曲线的中心，直径，共轭直径，渐近线，二次曲线
的仿射分类，主轴，焦点，准线，二次曲线的度量分类，
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第一章：仿射坐标与仿射变换
§1透视仿射对应
一.单比
定义：设A,B,C为共线三点，这三点的单比（ABC）
定义为以下有向线段的比：
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• 例1 下列图形在仿射变换下的对应图形是什么？ 平行四边形；梯形；等腰三角形；菱形；三角形的内心； 三角形的垂心；角平分线；（二全等的矩形）
3. 平面上的仿射变换
1与 n重合的仿射对应称为仿射变换。
三.透视仿射对应、仿射对应与仿射变换性质：
1. 保持同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）
即点对应点，直线对应为直线.
2.保持点与直线的结合性 Al Al
3.保持单比不变 （ABC)=(A’B’C’)
4.保持平行 a‖b 则a’‖b’
但不保距离，不保角度！
射影几何
研究图形在射影变换下不 变性质的科学
射影不变性
比如——几条直线共点、 几个点共线等等
射影变换将彻底改变我们原有的几何
空间观念！
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课程概论
一、高等几何的内容
二、高等几何的方法
综合法
给定公理系统(一套相互独立、 无矛盾、完备的命题系统)，演 绎出全部内容
解析法
数形结合，利用代数、分析的 方法研究问题
an
ln 1 13
第一章、仿射坐标与仿射变换
如图所示：
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注：（1）.仿射对应是有限次的透视仿射对应组成的 （2）.判断仿射对应是否是透视仿射对应的方法：对应点的 连线是否平行
（3）.书写的顺序与透视仿射对应的顺序是相反的
3.两直线间的仿射变换
a1 与 an重合的仿射对应称为仿射变换。
二 . 两平面的透视仿射对应、仿射对应与仿射变换：
本课程
兼用综合法与解析法
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课程概论
一、高等几何的内容 二、高等几何的与方法 三、开课目的
•学习射影几何，拓展几何空间概念，引入几何变换 知识，接受变换群思想。
•训练理性思维、抽象思维、逻辑推理能力，增强数 学审美意识，提高数学修养。
•新颖性，趣味性，技巧性，反馈于初等几何，提高 观点，加深理解，举一反三。
几何学。射影几何学范围大，可以包含许
多其他的几何学，例如欧氏几何学、非欧
氏几何学、仿射几何学等。
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课程概论
射影几何学的起源是由于绘图和建筑上的需要。 当一个画家要把一个实像描绘在一块布幕上时， 他用他的眼睛当做是投影中心，把实像投影到布 幕上去。他的眼睛好比灯光，把实像的影子映射 到布幕上去，然后再描绘出来。在建筑上我们需 要把设计的实物画在一个面上，平面上的图像就 是实物的平面投影。 （透视图）
ABC
AC
称A、B为基点，C为分点．
BC
当点 C 在线段 AB 上时，(ABC)<0
当点 C 在线段 AB或 BA的延长线上时， (ABC)0
当点 C 与点A重合时， (ABC)=0 当点 C 与点B重合时， (ABC)不存在
当点 C 为线段 AB的中点时，(ABC)= -1
注：与定比分点中定比（分割比）= AC 相差一个符号。
课程概论
高等几何是师范类数学专业重要的基础课 之一，它跟初等几何、解析几何、高等代 数等课程有紧密的联系；对未来中学数学 教师在几何方面基础的培养、观点的提高、 思维的灵活、方法的多样起着重要作用， 有助于中学数学教学质量的提高和科研能 力的培养。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
本书的主要内容是介绍射影几何学，但为
了比较起见，也引进了仿射几何学与欧氏
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主要内容
第一章：仿射坐标与仿射变换
包括：透视仿射对应，仿射对应，仿射变换和性质，仿射坐标
本
教
材 基
本
框
射
影
几
何
第二章：射影平面 包括：中心射影，齐次坐标，对偶原理，复元素 第三章：射影变换与射影坐标 包括：交比，调和共轭，透视对应，一维射影变换， 二维射影变换、射影坐标 第四章：变换群与几何学 克莱因（F.Klein)的变换群观点 第五章：二次曲线的射影理论 包括：二次曲线的射影定义，帕斯卡和布利安桑定理，
这种投影技术在纯理论方面的发展，就成为射影 几何学。
在实用方面的发展就成为工科院校的一门基础课--画法几何学。
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课程概论
一、高等几何的内容
欧氏几何
仿射几何
射影几何
十九世纪名言
一切几何学都是射影几何
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欧氏几何(初等几何)
研究图形在“搬动”之下保持不变的性质和数 量
(统称不变性，如距离、角度、面积、体积等)
搬动
正交变换
对图形作有限次的平移、 旋转、轴反射的结果
欧氏几何
研究图形在正交变换下不变性 质的科学
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仿射几何
平行射影
透视仿射对应
有限次平行射影的结果
仿射变换
仿射几何 仿射不变性
研究图形在仿射变换下不 变性质的科学
比如——平行性、两平行 线段的比等等
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射影几何
中心射影
透视对应
有限次中心射影的结果
射影变换