数值流形元法研究进展与展望
岩土工程中数值流形方法的应用及研究
岩土工程中数值流形方法的应用及研究【摘要】岩土工程中数值流形方法是一种新兴的计算方法，能够更准确地模拟岩土工程中的复杂问题。
本文首先概述了数值流形方法在岩土工程中的应用及研究意义，介绍了研究背景和目的。
然后详细解释了数值流形方法的基本原理，并给出了岩土工程中数值流形方法的具体应用实例。
探讨了数值流形方法在岩土工程中的优势和局限性，以及与传统方法的比较。
展望了岩土工程中数值流形方法的发展趋势，探讨了应用前景和未来研究方向。
数值流形方法有望在岩土工程领域取得更广泛的应用，为工程实践提供更准确、可靠的数值模拟结果，推动岩土工程技术的进步和发展。
【关键词】岩土工程、数值流形方法、应用、研究、基本原理、实例、优势、局限性、比较、发展趋势、应用前景、总结、展望、未来研究方向1. 引言1.1 岩土工程中数值流形方法的应用及研究概述数值流形方法是一种基于数学流形概念的数值计算技术，通过对数据集进行降维和重构，从高维数据中提取关键信息，实现对复杂系统进行建模和分析。
在岩土工程中，数值流形方法可以用于建立土体的模型，预测其稳定性和变形情况。
相比传统的数值模拟方法，数值流形方法具有更高的精度和效率。
本文将介绍数值流形方法在岩土工程中的具体应用实例，并分析其优势和局限性。
我们将比较数值流形方法与传统方法的差异，探讨岩土工程中数值流形方法的发展趋势。
通过对岩土工程中数值流形方法的应用及研究进行概述，我们可以更好地了解其在该领域的潜力和前景，为未来的研究提供指导和启示。
1.2 数值流形方法在岩土工程中的意义在岩土工程领域，数值流形方法的应用具有重要意义。
数值流形方法能够帮助工程师更准确地分析岩土体的结构和性质，从而预测土体的变形和破坏情况。
通过对土体的数值建模和仿真，可以更好地理解岩土工程中复杂的地质问题，为工程设计和施工提供更可靠的依据。
数值流形方法能够帮助工程师更快速地进行参数优化和工程优化，提高工程效率和质量。
通过数值流形方法的应用，可以有效地降低设计成本和风险，同时提高工程的安全性和可靠性。
《2024年流形学习算法数据适用性问题的研究》范文
《流形学习算法数据适用性问题的研究》篇一一、引言随着大数据时代的来临，数据分析和处理已成为各领域研究的重要一环。
流形学习作为一种新型的非线性降维方法，在处理复杂数据时展现出强大的能力。
然而，流形学习算法在数据适用性方面仍存在诸多问题。
本文旨在研究流形学习算法在数据适用性方面的问题，分析其存在的挑战和解决方法，以期为相关研究提供有益的参考。
二、流形学习算法概述流形学习是一种基于流形结构的降维方法，通过寻找高维数据在低维流形上的投影，实现数据的降维和可视化。
流形学习算法包括局部线性嵌入、拉普拉斯特征映射、等距映射等方法，具有优秀的非线性降维能力，能够有效地揭示数据的内在结构。
三、流形学习算法数据适用性问题尽管流形学习算法在非线性降维方面表现出色，但在实际应用中仍存在数据适用性问题。
这些问题主要表现在以下几个方面：1. 数据分布问题：流形学习算法假设数据分布在低维流形上，当数据分布不满足这一假设时，算法的性能会受到影响。
例如，当数据具有复杂的分布或噪声干扰时，算法的准确性会降低。
2. 参数设置问题：流形学习算法中涉及许多参数设置，如近邻数、核函数等。
这些参数的设置对算法的性能具有重要影响。
然而，目前尚无有效的参数设置方法，往往需要依靠经验或试错法，导致算法的稳定性和可解释性较差。
3. 数据量问题：流形学习算法在处理大规模数据时，计算复杂度较高，容易陷入过拟合。
此外，当数据量不足时，算法的降维效果可能不理想。
4. 实际应用问题：不同领域的数据具有不同的特性和需求，如何将流形学习算法应用于具体领域，解决实际问题，仍需进一步研究。
四、解决方法与策略针对流形学习算法在数据适用性方面的问题，本文提出以下解决方法与策略：1. 改进算法适应性：针对不同类型的数据分布，可以尝试改进流形学习算法的适应性。
例如，采用更灵活的核函数或引入其他降维技术来提高算法的鲁棒性。
2. 优化参数设置：针对参数设置问题，可以尝试采用自动调参技术或贝叶斯优化等方法来优化参数设置，提高算法的稳定性和可解释性。
数值流形方法
Ti x, y Di
i 1
n
定义在物理覆盖Ui上的覆盖位移函数ui(x,y),vi(x,y)可以是常量、线性的、 高阶多项式或局域级数，用权函数wi(x,y)连接在一起。
wi x, y 0
wi x, y 0
xU j
2012/9/27
( x, y ) U i ( x, y ) U i
0 di ,2 j 1 fij ( x, y ) d i.2 j
2012/9/27
数值流形方法
15
2012/9/27
数值流形方法
16
单元e的整体位移函数
ue ( r ) x, y ux, y q we ( r ) x, y v x, y r 1 ve ( r ) x, y
一般级数函数
设物理覆盖数为n，每个物理覆盖有2m个未知数。 Di为覆盖i待求位移变量{di1 di2 … dim }。 Fi为i覆盖分布到2m个位移变量上的荷载{Fi1 Fi2 … Fim } 。 Kij是刚度矩阵子矩阵，为2m× 2m阶矩阵。
19 2012/9/27 数值流形方法 20
ui ( x, y ) m f ij ( x, y ) vi ( x, y ) j 1 0
总体位移函数
ui x, y n m ux, y n wi x, y Tij x, y Dij v x, y i 1 vi x, y i 1 j 1
ui x, y vi x, y
( x, y ) U i ( x, y ) U i
18
Te ( r ) j x, y De ( r ) j
q m r 1 j 1
《2024年流形学习算法数据适用性问题的研究》范文
《流形学习算法数据适用性问题的研究》篇一一、引言流形学习（Manifold Learning）算法是近年来机器学习和数据挖掘领域的一个研究热点。
该算法能够从复杂的数据中提取有用的信息，并且在处理高维数据时具有显著的优越性。
然而，随着数据量的不断增长和复杂性的增加，流形学习算法在数据适用性方面遇到了一些问题。
本文旨在研究流形学习算法在数据适用性方面的问题，并探讨其解决方案。
二、流形学习算法概述流形学习算法是一种无监督学习方法，其基本思想是假设高维数据在低维流形上分布。
通过寻找这个低维流形的结构，可以有效地降低数据的维度，同时保留数据的内在性质。
常见的流形学习算法包括局部线性嵌入（LLE）、拉普拉斯特征映射（LE）、Hessian局部线性嵌入（HLLE）等。
三、数据适用性问题尽管流形学习算法在许多领域取得了成功的应用，但在实际应用中仍存在一些数据适用性问题。
首先，流形学习算法对数据的分布和结构有一定的假设，当这些假设与实际数据的特性不符时，算法的效果可能会受到很大影响。
其次，不同的流形学习算法具有不同的特点和应用范围，如何选择合适的算法需要根据具体的应用场景进行判断。
最后，高维数据的处理是流形学习面临的一大挑战，需要更有效的降维方法和更鲁棒的算法设计来提高数据处理效果。
四、相关研究现状目前针对流形学习算法数据适用性问题已有许多相关研究。
其中，一部分研究致力于设计新的降维方法和特征提取方法以提高算法的适应性。
如基于稀疏表示的流形学习算法、基于深度学习的流形学习算法等。
另一部分研究则关注于对数据的预处理和后处理技术，如基于聚类的数据预处理、基于异常值检测的数据清洗等。
这些方法都可以在一定程度上提高流形学习算法的数据适用性。
五、解决方案与建议针对流形学习算法数据适用性问题，本文提出以下解决方案与建议：1. 深入了解数据特性：在应用流形学习算法之前，需要对数据进行充分的了解和分析，包括数据的分布、结构、噪声等因素。
流形学习研究现状分析
流形学习研究现状分析作者：张韬来源：《中国科技纵横》2019年第14期摘要：流形学习的目的就是对高维样本点集进行非线性降维，从中挖掘出样本点集的有效特征。
本文主要对流形学习算法的研究现状进行分析，从中指出其存在的潜在问题，以及对未来的研究方向进行分析探讨。
关键词：流形学习;样本点集;降维;算法中图分类号：TP181 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2019）14-0203-030 引言随着社会的发展，目前已经进入到数据时代，大数据这个概念被很多的人所认识。
数据时代我们面临的数据量越来越大，且数据的复杂度越来越高。
这样存在一个很突出的问题，当我们对大数据进行处理时，会造成处理的时间及成本代价很高。
另外，通常在对数据进行学习之前，需要对数据进行预处理，即对数据进行清洗。
所谓清洗，就是将无用的信息剔除掉，将有用的信息保留。
常用的方法就是对数据集进行特征提取，根据学习的需求，从中提取有用信息。
通常情况下，数据点集的维度很高，每个维度都表示数据的一个特征，从多个特征中提取少量特征，其实质就是对样本点集进行降维。
常见的降维方法有线性降维算法，其主要目的是通过学习一个线性降维映射，将高维样本点集投影到低维空间。
常见的线性降维算法有P C A [ 9 ] 、MDS[8]、LDA[10]。
主成分分析法（PCA）是最著名的线性降维算法，其采用统计学的思想，通过构造样本点集之间的协方差矩阵来分析样本点的分布特点。
通过对协方差矩阵进行特征值分解，按照特征值的大小对特征向量进行排列。
最大的特征值所对应的特征向量表示第一主成分，它表明，样本点集沿着此方向分布最多。
依次可以构造第二主成分，第三主成分等。
通过这样的方式，可以达到对样本点集进行降维的目的。
多维尺度分析（ M D S ）是另一类比较经典的线性降维算法，其采用几何学的知识，希望在降维过程中保持高维样本点之间的欧氏距离，也就是说降维后，低维样本点之间的欧氏距离与对应的高维样本点之间的距离保持一致。
流形概念的演变与理论发展
流形概念的演变与理论发展一、引言流形是20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。
在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。
〔1〕53 物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。
从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是&dquo;软”的，因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形（该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入）的原因。
流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？是如何解决的？谁解决的？形成了什么理论？这是几何史的根本问题。
目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、细致的分析，并对上述问题给予解答。
二、流形概念的演变流形概念的起源可追溯到高斯( C.F.Gauss,177-71855 ) 的内蕴几何思想, 黎曼(C.F.B.Riemann,18261866)继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。
随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼对流形的定义，最终外尔(H.Weyl,18851955)给出了流形的严格数学定义。
1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。
1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长，并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。
流形学习算法及其应用研究共3篇
流形学习算法及其应用研究共3篇流形学习算法及其应用研究1流形学习算法是一种机器学习算法，其目的是从高维数据中抽取出低维度的特征表示，以便进行分类、聚类等任务。
流形学习算法的基本思想是通过将高维数据变换为低维流形空间，从而保留数据的本质结构和信息。
近年来，流形学习算法得到了越来越多的关注和应用。
以下我们将介绍一些常用的流形学习算法及其应用。
一、常用的流形学习算法（一）局部线性嵌入（Locally Linear Embedding，简称LLE）LLE算法是一种无监督的流形学习算法，它把高维数据集映射到低维空间，保留了数据间的局部线性关系，即原始数据点集中的线性组合权重。
LLE算法的核心思想是假设所有数据样本都是从某个流形空间中采样得到的，并通过寻找最小化误差的方式来还原流形结构。
LLE算法有着较好的可解释性和良好的鲁棒性，同时可以有效地应用于图像处理、模式识别等领域。
（二）等距映射（Isomap）Isomap算法是一种经典的流形学习算法，它可以从高维数据中提取出低维流形空间，并且保留了数据间的地位关系。
它的基本思想是将高维数据转化为流形空间，从而保留了数据的全局性质。
等距映射算法可以应用于数据降维、探索数据关系等领域，并已经在生物学、计算机视觉等领域得到广泛应用。
（三）核主成分分析（Kernel Principal Component Analysis，简称KPCA）KPCA算法是一种非线性的流形学习算法，可以有效地处理非线性问题。
KPCA通过使用核函数来将数据映射到高维空间，然后应用PCA算法进行降维。
KPCA算法在图像识别、人脸识别、语音识别等领域应用广泛。
（四）流形正则化（Manifold Regularization）流形正则化算法是一种半监督学习算法，它可以有效地利用已经标记的数据和未标记的数据来进行分类或回归。
其基本思想是通过在标记数据和未标记数据之间构建连接关系，利用非线性流形学习算法对数据进行处理。
岩土工程中数值流形方法的应用及研究
岩土工程中数值流形方法的应用及研究数值流形方法是一种通过构建流形来描述复杂系统动力学行为的数值模拟方法。
在岩土工程中，由于岩土材料的非线性、非均质性和随机性，传统的有限元方法在求解复杂问题时存在一些局限性，例如需要大量的计算资源和时间。
而数值流形方法通过对系统的几何结构和动力学特性进行建模和分析，能够更加准确地刻画岩土系统的复杂行为，极大地提高了数值模拟的效率和精度。
数值流形方法在岩土工程中的应用主要包括岩土材料的力学行为分析和岩土体的动力响应预测。
在岩土材料的力学行为分析方面，数值流形方法能够更加准确地模拟岩土的变形、破坏和强度特性，为岩土工程设计和施工提供更为可靠的理论依据。
而在岩土体的动力响应预测方面，数值流形方法能够模拟地震、波浪等外界荷载下岩土体的动力响应，为岩土工程中的地震设计、海岸防护等提供重要的参考依据。
数值流形方法在岩土工程中的研究进展主要集中在两个方面。
一是数值流形方法的理论基础研究，包括流形构建算法、流形表征理论、流形降维方法等方面的深入研究；二是数值流形方法在岩土工程中的应用案例研究，包括针对不同岩土体的数值模拟分析、数值流形方法与其他数值模拟方法的比较研究等方面的实践案例。
数值流形方法在岩土工程中的应用和研究面临一些挑战和问题，需要进一步深入探讨。
一是数值流形方法的建模精度和计算效率问题，尽管数值流形方法在理论上具有很高的建模精度，但是在实际应用中常常需要消耗大量的计算资源和时间，需要进一步改进和优化算法；二是数值流形方法与传统数值模拟方法的融合问题，尽管数值流形方法在岩土工程中的应用已经取得了一定的成果，但是与传统数值模拟方法相比还存在一定的局限性，需要进一步研究如何将两者结合起来，充分发挥各自的优势。
岩体工程数值模拟新方法——数值流形法(NMM)
２ 数值流形法 的基本原理
数值 流 形法 是一种 基 于有 限覆盖技 术 的数值 方法 。有 限 覆 盖 包括 数学 覆盖 和物 理覆 盖两 层含义 ，数 学覆 盖是 数值 流 裘
收稿 日期 ：２ ０ － ６ ０ ０７０—５ 作者简介 ：李学辉 （ ９ ９ ） １６ 一 ，男，汉 ，内蒙古卓资人 ，学士 ，丁 程师 ，研究方 向地质矿产 勘察 。 ＝
简 要评价 关键 词 ： 岩体 工程
中 图分 类号 ： ４ ６ １ Ｕ １．
数值 模 拟 数 值分 析 法 数值流形 法
文献 标识 码 ： Ａ 文章编 号 ： ６ ３ １ １ （０ ７ ０ － ０ ２ ０ １７—８ ６２ ０） ３ ０２ －５
１ 引 言
传统的岩体工程稳定性分析方法可以分为两大类：一类把岩体视为连续体 ，片弹性力学及塑性 Ｊ
Ｖ （， ） ３ＸＹ
对流 形 单元 法 ，覆盖 函数 为常 量 即为常 规有 限元 ，覆 盖 函数 一般 可选 为完 备 坐标 一 次式 、二 阶
式或 一般 级数 形 式 。完 备 一 次式形 式 为 ：
ｄ， ｄ，
ｆ ，） 『 ０ ０ ０ ］ － Ｘ Ｙ ］ｄ， １
维普资讯
第６ 第３ 卷 期 ２０ 年 ９ ０７ 月
石家庄铁路职 业技 术学院学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ Ｊ ＡＺＨＵＡＮＧ Ｓ Ｉ ＨＩＩ Ｉ Ｔ ＴＵＴＥ ＯＦ ＲＡＩ Ｗ ＡＹ ＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｎ Ｌ Ｔ
ｖ（Ｌ． ． ） ６ＮＯ ３
料 区域 的交 接面 等 ）两 者组 成 ，它 是不连 续缝 对数 学覆 盖 的再 剖分 ，Ｊ 数学 语言 米 讲就 是数 学 ｝ ＿ ｆ ｊ
与物 理 材料 场 的交 集 。流形 单元 是指 物理 覆 盖 的公共 区域 ，材 料边 界 内的每 一 点都 在某 …流形 。 ． 内。以下 为一 个数 学覆 盖 、物 理覆 盖 、流形 单元 的划 分实 例 ，可 以看 出 ，模 型 中含 ６个数 学 覆 羔
基于数值流形元法的混凝土力学特性数值试验
于庆 磊等 等应 用数 字 图像处 理技 术 ，在细 观 上表征 混凝 土材 料 中 由骨料 的形状 、大 小 和分布 对 混凝 土 材 料造 成 的非 均 匀性 ；采 用统 计 力 学方 法描 述 材 料 的非 均匀 性 ，模 拟 了混 凝 土单 轴 荷载 作 用
和 奇异 边 界元 法结 合 可 以 精确 求 解 缝 端 的应 力 强 度 因子 。 因此 用扩 展 的 数值 流 形 法来 算 破 坏模 拟 ，
缝 等 ，这 类 破 坏 的模 拟 要求 数 值 方 法不 仅 能 正 确计 算 沿 界 面 的接 触 应 力 ，还 得 能模 拟 界 面 的 张开 ， 滑 移等 ，并 且 当带 有 抗拉 、抗 剪强 度 时 ，要 能模 拟 沿界 面 的破 坏 过程 。二是 在连 续 介质 中的破 坏 形
态 ，模 拟 这类 介质 的破坏 以裂 纹 的产生 和 扩展 为 主 ，同时 可 以模 拟连 续 介质 的剪 切 破坏 。本 文作 者 开发 的 流形元程 序 可 以模 拟 以上两 种情 况 。 流形 元模 拟沿 已有 结 构面破 坏 时 ，采用 带抗 拉强 度 的摩 尔一 库仑 准则 。当沿 构造 面 的法 向应力 和 切 向应力 ｏ 满 足 ｒ 下式 时 ，构造 面破 坏 。 ｒ 。 张拉 破坏 ： ＝ ｒ ｏ （） １
中图分类号 ：Ｔ ５ ８ Ｕ ２
文献标识码 ：Ａ
１ 研 究 背 景
混 凝 土是 工 程 中广 泛应 用 的一种 材 料 ，在 细 观层 面表 现为 多 相非 均 质性 。 目前 进 行混 凝 土 力学 试 验是 研 究 其力 学 特性 最 基本 的方 法 ，但 是力 学 试验 需 要 花 费大 量 的人 力 、物 力 ，所 得 到 的试 验结
基于数值流形方法的特殊孔缘单元构造及开孔板求解
第38卷第5期2021年10月Vol.38,No.5October2021计算力学学报Chinese Journal of Computational MechanicsDOI：10.7511/1x20200803001基于数值流形方法的特殊孔缘单元构造及开孔板求解武卓威12,刘俊灣12(1.上海交通大学海洋工程国家重点实验室，上海20024)；2.上海交通大学高新船舶与深海开发装备协同中心，上海200240)摘要：采用有限元法对具有典型的开孔结构进行分析时，常常难以保证良好的单元形态，同时也难以兼顾计算效率和精度暎本文采用具有两套覆盖系统的数值流形方法对此类结构开展分析，参考无限大板圆孔应力问题的理论解答，通过扩展局部逼近的基，构造了一种适用于平面圆孔问题的特殊流形单元，基于数值流形理论采用程序实现，并对不同载荷条件和儿何尺寸下的平面圆孔问题进行了计算。
结果表明，相较于有限元法，本文方法在计算精度和收敛速度上均具有显著优势暎上述结果也充分体现了数值流形方法在处理具有复杂儿何构型的结构时的优越性，在工程结构领域具有的广阔应用前景暎关键词：数值流形方法；开孔板；平面圆孔问题；特殊流形单元；局部逼近中图分类号：O342文献标志码：A文章编号：1007⑷708(2021显5(681(71引言开孔在各类工程结构物中较为常见，如船体结构内部通常设有人孔、流水孔、透气孔和减轻孔等。
这些开孔的存在会破坏板壳结构的完整性，降低临近区域结构的强度，同时可能在孔缘产生局部应力集中。
目前，在结构领域应用最广泛的数值模拟方法为有限元法。
在处理开孔问题时，由于有限元单元必须与开孔区域较为复杂的几何构型相适应，在网格尺寸较大时，可能存在形态较差的单元，使计算精度受到影响。
同时，由于有限元网格收敛速度较慢，为了提高求解精度，将显著增大前处理的工作量和总计算量。
这一矛盾体现了有限元方法在分析此类结构时的固有缺陷。
数值流形方法NMM(Numerical Manifold Me-thod)是一种较为新颖的数值模拟方法，由石根华［］首次提出，也称为有限覆盖法FCM(Finite Cover Method)⑵，该方法通过两套独立的覆盖系统构造原问题的近似解，能够统一求解连续和非连续问题［］,且具有良好的计算效率和精度⑷。
流形学习算法及其应用研究
在语音识别领域，流形学习也被用于语音信号的特征提取和分类。通过保持 语音信号的局部结构和全局拓扑关系，流形学习能够有效地提取语音信号的特征， 提高语音识别的准确率。
自然语言处理中，流形学习被用于文本分类、情感分析和主题建模等任务。 例如，利用流形学习的方法将文本从高维空间映射到低维空间，以实现文本的降 维和特征提取。然后，根据提取的特征进行文本分类、情感分析和主题建模等任 务。
3、图学习与流形学习相结合：图学习是一种基于图结构的机器学习方法， 可以有效地处理具有图结构的数据。将图学习与流形学习相结合，可以拓展流形 学习算法的应用范围，并进一步提高算法的性能。
4、增量学习与流形学习相结合：增量学习是指在训练过程中，只使用部分 数据进行训练，而保留其他数据用于验证。将增量学习与流形学习相结合，可以 提高算法的效率和准确性。
深度学习是一种基于神经网络的特征提取方法，通过构建多层神经网络，从 原始数据中自动学习数据的特征表示。
应用研究
基于流形学习的特征提取方法在图像处理、语音识别和自然语言处理等领域 具有广泛的应用。
在图像处理中，流形学习被用于图像分类、目标检测和图像分割等任务。例 如，利用流形学习的方法将图像从高维空间映射到低维空间，以实现图像的降维 和特征提取。然后，根据提取的特征进行图像分类、目标检测和分割等任务。
5、多任务学习与流形学习相结合：多任务学习是指同时处理多个任务，并 利用不同任务之间的相似性来提高算法的性能。将多任务学习与流形学习相结合， 可以进一步提高算法的效率和泛化能力。
四、案例分析
这里以一个图像分类的案例来展示流形学习算法的实际应用效果。假设我们 有一组高维图像数据，每个数据包含数千个像素点，现在需要将这些数据分类为 若干个类别。首先，我们利用流形学习算法对数据进行降维，将数千个像素点降 维为几百个特征向量；然后，利用常见的分类器（如SVM、决策树等）对特征向 量进行分类。实验结果表明，经过流形学习算法降维后的数据，分类器的分类效 果明显提高，同时计算效率也得到了很大提升。
数值流形法在基于物理的计算机动画中的应用研究的开题报告
数值流形法在基于物理的计算机动画中的应用研究的开题报告一、研究背景和意义随着计算机技术的不断发展，计算机动画得到了广泛应用，并且在游戏、电影、教育等领域中有着广泛的应用。
对于基于物理的计算机动画，数值流形法的应用已成为重要研究方向。
数值流形法是一种以流形为中心的数值计算方法，它通过近似求解微分方程来提高计算效率。
在基于物理的计算机动画中，数值流形法可以用来模拟物理现象，如流体动力学、弹性形变、布料仿真、动力学等等。
数值流形法的应用可以提供更加准确和快速地模拟物理现象的手段，对于制作逼真的计算机动画有着重要的意义。
此外，数值流形法的研究也有助于发展数值计算方法，并为其他数学和工程领域的研究提供借鉴和参考，具有广泛的研究价值与推广价值。
二、研究目标和内容本文旨在深入理解数值流形法在基于物理的计算机动画中的应用，并在此基础上探究其相关问题。
具体的研究目标与内容如下：1、综述数值流形法在计算机动画中的应用；2、深入研究数值流形法在物理仿真中的原理、方法和技术；3、评估数值流形法在基于物理的计算机动画中的优势和不足；4、尝试解决数值流形法在实际应用中所遇到的问题，并提出改进和优化方案；5、通过实验与应用，验证所提出的方案在提升数值流形法在基于物理的计算机动画中的应用性能方面的有效性。
三、研究方法和思路本文将采用文献查阅、理论分析、实验仿真等多种研究方法，创新性地结合数值计算方法和计算机图形学领域知识，提出新型数值流形法的应用模型。
研究思路如下：1、进行数值流形法的原理解析、仿真算法的研究与分析；2、结合基于物理的计算机动画的实际应用场景，分析数值流形法现有算法在动画制作中存在的问题；3、提出改进数值流形法的方法和方案，并进行实验验证；4、对改进后的数值流形法模型进行对比分析，在性能、稳定性等方面进行综合评价。
四、研究预期结果本文预期可以深入了解数值流形法在基于物理的计算机动画中的应用，并提供改进数值流形法的方法和方案。
流体流动的数值计算方法及其发展
流体流动的数值计算方法及其发展流体流动的数值计算方法及其发展流体流动的数值计算方法是一种通过数学模型和计算机仿真来预测流体运动行为的方法。
它在工程学、地球科学、物理学和生物学等领域中具有广泛的应用。
以下是关于流体流动数值计算方法及其发展的一步一步的思路：第一步：数学模型的建立流体流动的数值计算首先需要建立数学模型。
根据流体的性质和流动场景的特点，可以选择不同的数学方程来描述流体运动。
例如，流体力学中常用的Navier-Stokes方程可以用来描述不可压缩流体的运动。
第二步：离散化为了进行计算机仿真，数学模型需要进行离散化处理。
这意味着将连续的流体域划分为离散的网格单元，然后通过在网格节点上求解数学方程，获得流体在每个网格单元上的性质。
常用的离散化方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法。
第三步：数值求解通过在网格节点上进行数值计算，可以得出流体在整个流动域中的运动情况。
数值求解的核心是对离散化方程进行迭代计算，以逐步逼近真实的流体行为。
常用的数值求解方法包括迭代法、松弛法和多重网格方法。
第四步：边界条件和初始条件的设定为了获得准确的数值结果，需要设定适当的边界条件和初始条件。
边界条件描述了流体与流动域边界的相互作用，而初始条件则定义了流体在初始时刻的状态。
这些条件的设定需要根据具体问题和实际情况进行。
第五步：数值稳定性和精度分析在进行数值计算之前，需要进行数值稳定性和精度分析。
数值稳定性分析用于判断计算方法是否能够产生稳定的数值解，而精度分析则用于评估数值解与真实解之间的差距。
这些分析可以帮助选择合适的数值计算方法和参数。
第六步：计算结果的后处理和验证在完成数值计算之后，需要对计算结果进行后处理和验证。
后处理包括对流体速度、压力和温度等物理量进行可视化和分析，以获得对流体流动行为的深入理解。
验证用于比较数值结果与实验数据或解析解的一致性，以评估数值模拟的准确性和可靠性。
流体流动的数值计算方法自20世纪50年代以来得到了快速发展。
数值流形方法的几个基本探讨
数值流形方法的几个基本探讨随着计算机技术的不断发展和普及，人们对于数据处理的需求也不断增加，而数据处理的一个重要方向就是对于数据的降维和特征提取。
在这个背景下，数值流形方法作为一种新兴的数据处理技术，受到了越来越多的关注和研究。
本文就数值流形方法的几个基本问题进行探讨，希望能够对于读者有所帮助。
一、数值流形方法的基本概念数值流形方法是一种基于流形理论的数据处理方法，其基本思想是将高维数据映射到低维流形上，从而实现数据的降维和特征提取。
在数值流形方法中，流形是指一个局部具有欧几里得空间结构的对象，它可以被嵌入到高维空间中。
数值流形方法的目标就是寻找这个流形的嵌入方式，从而实现数据的降维和特征提取。
二、数值流形方法的基本步骤数值流形方法的基本步骤包括数据采样、距离计算、流形构建、流形嵌入和流形可视化。
1.数据采样数据采样是指从原始数据中选取一部分数据作为样本，用于后续的数据处理。
数据采样的目的是减少计算量，提高处理效率。
2.距离计算距离计算是指计算样本之间的距离，用于后续的流形构建和嵌入。
常用的距离计算方法包括欧几里得距离、余弦距离、曼哈顿距离等。
3.流形构建流形构建是指根据样本之间的距离，构建出一个具有流形结构的对象。
常用的流形构建方法包括局部线性嵌入(LLE)、等距映射(Isomap)、拉普拉斯特征映射(LE)等。
4.流形嵌入流形嵌入是指将流形嵌入到一个低维空间中，从而实现数据的降维和特征提取。
常用的流形嵌入方法包括多维缩放(MDS)、主成分分析(PCA)、局部线性嵌入(LLE)等。
5.流形可视化流形可视化是指将嵌入后的流形以图形的形式呈现出来，从而便于人们对数据进行直观的理解和分析。
常用的流形可视化方法包括散点图、等高线图、三维曲面等。
三、数值流形方法的应用数值流形方法在数据处理中有着广泛的应用，包括图像处理、文本分析、信号处理、机器学习等领域。
以下分别介绍几个典型的应用案例。
1.图像处理在图像处理中，数值流形方法可以用于图像的降噪、图像的分割、图像的匹配等方面。
数值流形元法研究进展与展望
Local incompatible mesh refinement with structurized meshes – multilayer refinement
• 石根华于1991年提出了数值流形方法。 • 并不需要太多的数学。
NMM的目标
NMM的目标是以统一的方式求解连续和非连续问题。物体 （求解对象）可以在布满整个空间的格子中飞行，可以发生 大变形甚至破裂
有限元覆盖
什么是数值流形元法
NMM 由三部分组成:
• 覆盖系统：数学覆盖和物理覆盖
• 单位分解 • NMM 空间
所决定的点集（属于RnRm）；其中, f : RnRm Rn 为向量值函数（秩n）
在这个局部区域有参数表示
非流形的例子
non-manifold
manifold
丘成桐、石根华的工作极其意义
• 丘成桐与70年代在流形上面引入了微分方 程 – 意义巨大！因为事件大都发生在流形 上。但是丘并没有给出如何求解流形上的 微分方程。
u = Nd Denote by {E} the collection of elements to be refined; by {dE} the collection of the finer elements, and by d1 the set of inner nodes of {dE}. We can enrich the displacement mode of the coarse element by
s
实现更简单，精度更高；还可推广至3D边界元法
裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法 —扭结型裂纹问题
+
kink
tip
– +
岩土工程中数值流形方法的应用及研究
岩土工程中数值流形方法的应用及研究数值流形方法是近年来发展起来的一种新型计算方法，它是一种依靠数学模型和计算方法来解决实际问题的方法。
在岩土工程领域，数值流形方法已经得到了广泛应用，并在实际工程中发挥了重要的作用。
岩土工程中的数值流形方法是指采用数值计算的方法来模拟和预测岩土体在应力作用下的变形与破坏过程。
数值流形方法是通过将岩土体分割成许多小单元，将物理模型转化为离散的数学模型，然后通过数学计算来模拟和预测岩土体的运动规律和变形过程。
数值流形方法的应用可以大大提高岩土工程的准确性和可靠性。
它可以模拟更加复杂的地质结构和地震活动下的土体破坏过程，能够定量描述土体的变形和破坏机制，对于地下工程设计、地震灾害研究等方面具有重要的作用。
在岩土工程中，数值流形方法主要包括三种方法：有限元法（finite element method）、有限体积法（finite volume method）和边界元法（boundary element method）。
这些方法在模拟和预测岩土体变形和破坏过程方面各有优缺点，可以因地制宜地选择。
有限元法是将岩土体分割为许多小单元，将物理模型转化为数学模型，然后通过数学计算来模拟和预测岩土体的运动规律和变形过程。
它具有精度高、计算速度快、容易实现并行计算等优点。
但同时也存在网格生成困难、不适合处理复杂的几何形状等缺点。
有限体积法是一个基于控制体积的方法，它利用几何体积平均值的概念，通过计算质量守恒、动量守恒和能量守恒的方程组来解决岩土体变形和破坏的问题。
有限体积法可以处理高度压缩、高速冲击过程以及复杂的几何形状，但是涉及到离散网格和边界条件的选取等问题。
边界元法是一种基于位势理论和边界条件的方法，它将二维或三维边界的运动方程转化为边界上位势函数的积分方程，通过求解这些积分方程来解决岩土体变形和破坏的问题。
边界元法具有计算速度快、对网格依赖性小等优点，但同时也存在边界处理困难、对复杂的几何形状求解困难等缺点。
基于MLS的数值流形无网格化方法研究的开题报告
基于MLS的数值流形无网格化方法研究的开题报告一、研究背景及意义无网格化方法（Meshless Method）是指通过集点法（Point Set Method）或菲涅尔曲面法（Radial Basis Function Method）等，不依赖于有限元网格的几何方法。
相较于传统有限元方法，无网格化方法具有更好的自由度、更高的精度和更好的自适应性能，因此在流体动力学、热传导、结构力学等领域中得到了广泛的应用。
然而，无网格化方法也存在一些问题，比如需要处理无法适应于结构的形态（例如尖锐角）、数值精度不够高、计算效率较低等。
对于目前常用的无网格化方法，都需要进行基于网格的离散化，从而使得网格质量对计算结果产生一定影响，且无法自由控制网格分辨率以适应不同情况下的流动条件变化。
因此，为了解决现有无网格化方法存在的问题，数值流形无网格化方法逐渐被提出并发展。
数值流形无网格化方法是一种基于流形理论和局部线性嵌套技术（MLS）的无网格化方法，其通过构造流形来描述物理空间中的网格，具有更好的自适应性和更高的数值精度。
二、研究内容和目标本次研究的内容为基于MLS的数值流形无网格化方法的研究。
主要研究内容包括：1.建立数值流形：将物理空间中的网格转化为流形结构，并通过局部线性嵌套技术构造具有自适应性的流形。
2.流形插值：利用局部线性嵌套技术，将流形上的点与物理空间点之间建立映射关系，从而实现物理空间的无网格化。
3.应用研究：利用所建立的数值流形无网格化方法，在流体动力学和热传导等领域中进行实际应用和验证。
本次研究的目标是开发出一种具有更高数值精度和更好自适应性能的无网格化方法，以解决传统无网格化方法存在的问题，并在实际应用中得到验证。
三、研究方法及预期结果本次研究将采用数值流形无网格化方法，即构建数值流形并利用局部线性嵌套技术实现物理空间的无网格化。
预期结果包括：1.建立数值流形：采用局部线性嵌套技术构造数值流形结构，并通过比较不同流形参数的影响，选择合适的流形参数。
势问题的数值流形方法
势问题的数值流形方法
李树忱;李术才;张京伟
【期刊名称】《岩土工程学报》
【年(卷),期】2006(28)12
【摘要】以往的数值流形方法都是以最小势能原理或变分原理为基础来建立求解方程的。
但在实际工程中有些实际问题,无法应用变分方法来建立数值流形方法的求解方程,必须寻找较一般的方法来推导数值流形方法的求解方程。
本文研究了如何从加权残数法出发建立拉普拉斯方程数值流形方法的求解方程。
通过建立拉普拉斯方程的数值流形方法,充实了数值流形方法的数学基础,并拓宽了其应用领域。
最后以热传导和渗流为例,验证了本文方法的正确性。
【总页数】6页(P2092-2097)
【关键词】数值流形方法;加权残数法;Galerkin方法;有限覆盖技术;势问题;渗流【作者】李树忱;李术才;张京伟
【作者单位】山东大学土建与水利学院城市地下空间系;山东省建筑设计研究院【正文语种】中文
【中图分类】O34
【相关文献】
1.瞬态热传导问题的精细积分数值流形方法研究 [J], 张慧华;韩尚宇;胡国栋;谭育新
2.数值流形方法中线性相关性问题的研究 [J], 林毅峰;朱合华;蔡永昌
3.数值流形方法的粘性边界问题初探 [J], 钱莹;杨军
4.数值流形方法对岩土工程开挖卸荷问题的模拟 [J], 朱爱军;邓安福;曾祥勇
5.连续及不连续各向异性热传导问题的数值流形方法求解 [J], 刘思敏;张慧华;韩尚宇;刘强
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在这个局部区域有参数表示
非流形的例子
non-manifold
manifold
丘成桐、石根华的工作极其意义
• 丘成桐与70年代在流形上面引入了微分方 程 – 意义巨大！因为事件大都发生在流形 上。但是丘并没有给出如何求解流形上的 微分方程。
NMM正是主张用规则格子进行分析，因此采用NMM时无需对非协调元的插 值方式做任何修改，即可获取很高的精度。
收敛
不收敛
椭圆形板
Zienkiewicz薄板单元—第一个板单元
Deflection (0.001)
0
-0.5
Analytical
NMM (0.1)
Shell63 (0.1)
-1
NMM (0.069)
多裂纹扩展问题的模拟，三维破裂分析
什么是流形
流形（manifold）是Rn中的一个子集，是 R3中曲线和曲面在高维空间中的 推广。这个子集通常难以用单一参数方程组来表达，而必须借助于对子集 进行分段采用分段参数方程组来表示。
t
s
流形例子
• 欧式空间或其子集（满足一定条件） • 地球
• 非线性方程组 f x; y 0
节点影响域
含多个自由面的无压渗流问题
节点
NMM在渗流力学中应用一个简单例子
分界线
分界线
k=1 10
k=10
2 2.5 2.5
节点
节点太少引起差 值精度损失设置 失败
d
这个区域采用域内 和域外的节点进行 插值，保证了插值 精度，简化了程序
d
FS
w
(a) Node configuration in EFG
wkVkp
v v
np
vk wk
,
vk
Vkp
k 1
正是由于数学网格和物理网格的分离，才实现了从
连续到非连续、从小变形到大变形的统一求解。任
何时候都可以生成物理网格
什么是数值流形元法
有限元覆盖：数学网格和物理网格
原则上，可以采用任何方式来生成数学覆盖，但迄今为止，几乎所有的关 于NMM的研究和应用都是基于有限元网格来生成数学覆盖的。在布置数 学网格无需使其与区域相匹配。物理网格是数学网格与区域求交和得到的
u = Nd Denote by {E} the collection of elements to be refined; by {dE} the collection of the finer elements, and by d1 the set of inner nodes of {dE}. We can enrich the displacement mode of the coarse element by
u = Nd + N1d1 Then, N1d1 is a piecewise polynomial having homogeneous boundary condition, with no variational crime.
Coarse elements: {E} Fine elements: {dE}
Shell63 (0.069)
-1.5
-2
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Horizontal ordinate
挠度对比
NMM在渗流力学中应用
由MLS节点影响域所构成的数学覆盖
移动最小二乘法（MLS）是用来处理空间散乱数据点的一种插值技术，具有 再现基函数的良好特性，近年来被用于无网格伽辽金法（EFG）。在NMM中 采用MLS的节点影响域来构成数学覆盖，可以克服有限元覆盖所导致的线性 相关，且精度更高，更适用于求解自由边值问题。KecK
ee
Kcc 正比于 A ；Kce 和Kee 中的部分元素正比于 A1 ；另一部分正比于 A2。
A1 >> A2 导致单刚病态和网格依赖性
被裂纹所切割的单元
NMM的单刚
K1 = 大单元
K2 = 小单元
两个单元自由度不耦合无网格依赖性
NMM在结构力学中的应用
NMM空间的Hermit形式
在有限元发展史上，为了克服协调元精度低、收敛慢，曾有众多学者开展过 非协调元的研究。这些非协调元的共同特点是当采用规则网格时能通过分片 检验，具有良好的数值特性，但对于任意形状的网格则精度很差。为了通过 分片检验，曾采用过各种技术，较典型的有缩减积分等等。
1. 覆盖系统之物理覆盖
物理覆盖是由一系列物理片组成的，而物理片是通过将各数学片与区域的 组件进行求交运算后得到的。区域组件包括：边界、材料分界线、不连续面， 等等。 表 p示ji 从数学片 生im产的第j个物理片。
奇异片
什么是数值流形元法
流形单元
几个物理片的公共部分被称为一个流 形单元，它是能量积分的基本单元
p，用能反映解的奇异特性的函数来构造近似解
k
uk Pm a c1kcos / 2 ck2sin / 2
vk
Pm b dk1cos
/
2 dk2sin
/
2
什么是数值流形元法
NMM 空间
一旦得到了各个物理片上解的表现形式，我们就利用权函数
将这些局部形式连接起来构成整个区域上的解的表现形式
V
Local incompatible mesh refinement with structurized meshes -- generality
As a matter of fact, we will not commit any variational crime if we superpose over any subdomain a piecewise polynomial with homogeneous boundary. But this is not necessary in NMM.
vT pdS
S
基于上述变分提法的所导致的K的亏秩数将大幅降低，然后 基于秩-1修正算法，即可高效稳定求解线性相关方程组， 从而将“钉子”拔出了一半：迭代法求解器商有待开发。
裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法
—1/r奇异积分问题
在计算应力强度因子时，会遇到带有1/r的奇异性的 数值积分，需要通过适当的变换消除奇异性之后， 在应用Gauss积分
结后面的裂纹变换成与前沿 裂纹同在一条线上—没有必 要，而且实际上错了
将整个片视为上下两岸，位于下 岸的点的幅角取负值(2, 0)位于 上岸的点的幅角取正值(0, 2)
经过上述处理，计算精度高多了
扭结裂纹四个基函数的图像
rsin
2
rsin 3
2
rcos 2
rcos 3
2
NMM在模拟强奇异性问题时的网格无关性
—线性相关问题
• 对于任何基于单位分解的数值方法，当采用高阶多项式作 为局部逼近时，所得到的总纲方程组是线性相关的—一个 “钉子”问题
Kd = p
• 通过压制与梯度有关的自由度，可以得到一个变分提法
2 v
1 2
εTσd 1
2
Sun
kuvn2dS
1 2
Sut
kuvt2dS
1 2
St k n2tdS
数学片
1. 覆盖系统之数学覆盖
为了统一求解连续喝非连续问题，NMM引入了两套覆盖 ：数学覆盖和物理 覆盖。
数学覆盖由若干个简单形状的区域（片）组成的,
m i
,
i
=
1,
…,
nm
。所有这些
片 im 合在一起覆盖整个区域 。数学覆盖定义了插值精度，在布置数学覆
盖时，无需关系区域 的具体细节。
什么是数值流形元法
Duffy Transformation
y
v
t
Iso-parametric Transformation
r x
雅克比u带因子r
s
实现更简单，精度更高；还可推广至3D边界元法
裂纹扩展模拟中所遇到的一些问题的处理办法 —扭结型裂纹问题
+
kink
tip
– +
(r, )
–
幅角取值约定
现有方法是通过变换，将扭
的存在。
w22
w13
w23
什么是数值流形元法
3. NMM 空间
与有限元相比，NMM更加关注解在片上的行为
在一个不含奇异性的普通片上
p k
，可将解指定为多项式
uk vk
Pm a ak0 akx x aky y Pm b bk0 bkx x bky y
Vkp V kp
而在奇异片上
数学网格
物理片
单元 星
物理网格
展望
什么是数值流形元法
有限元覆盖：权函数的生成
通过组集连接于同一节 点的各相关单元的形函 数，就得到了有限元覆 盖的权函数
1
权函数
NMM与其他现代数值方法之间的关系
单位分解法 (PUM)，广义有限元（GFEM），扩展有限元(XFEM)，无网 格伽辽金法，等等，都是NMM的特例，而且
• 石根华于1991年提出了数值流形方法。 • 并不需要太多的数学。
NMM的目标
NMM的目标是以统一的方式求解连续和非连续问题。物体 （求解对象）可以在布满整个空间的格子中飞行，可以发生 大变形甚至破裂
有限元覆盖
什么是数值流形元法
NMM 由三部分组成:
• 覆盖系统：数学覆盖和物理覆盖
• 单位分解 • NMM 空间
NMM > PUM + XFEM + …
• NMM无网格依赖性，但是XFEM有； • NMM能够以统一且更加优雅的方式来求解连续和非连续，小变形和大