高一数学 正弦定理学案

2012高一数学 正弦定理学案

一、学习目标：

1. 掌握正弦定理及其证明，能够运用正弦定理解决一些简单的三角形度量问题；

2. 提供适当的问题情境，激发学生的学习热情，培养学生学习数学的兴趣．

二、教学过程：

1、复习旧知：三角形函数定义

2、问题情境

从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建，从天文观测到

精密仪器的制造，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算．测量河流两岸两码头之间

的距离，确定待建隧道的长度，确定卫星的角度与高度等等，所有这些问题，都可以转化为

求三角形的边或角的问题，这就需要我们进一步探索三角形中的边角关系．

探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =，那么边

角之间有哪些关系？

探索2 在Rt ABC ∆中，我们得到

sin sin sin a b c A B C

==，对于任意三角形，这个结论还成立吗？

3、学生活动

把学生分成两组，一组验证结论对于锐角三角形是否成立，另一组验证结论对于钝角三

角形是否成立．

学生通过画三角形、测量长度及角度，再进行计算，得出结论成立．

教师再通过几何画板软件进行验证（如图1）．对于验证的结果不成立的情况，指出这是由于

测量的误差或者计算的错误造成的．引出课题——正弦定理．

四、问题解决：

探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，若C 为直角，

我们已经证明结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论成立？

师生共同活动，注意启发、引导学生作辅助线，将锐角、钝角三角形转化为直角三角形，

进而探索证明过程．

探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法，我们知道向量也是

解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？

这里运用向量的数量积将向量等式转化为数量等式，我们运用不同的方法证明了三角形

中的一个重要定理．

探索 5 这个式子中包含哪几个式子？每个式子中有几个量？它可以解决斜三角型中的哪些

类型的问题？

正弦定理可以解决两类三角形问题：

（1）

（2）

五、数学运用

例题 在ABC ∆中：

（1）已知16a =，26b =，30A =，求B ，C ，c ；

（2）已知30a =，26b =，30A =，求B ，C ，c ；

（3）已知25a =，11b =，30B =，解这个三角形．

学生思考：已知三角形的两边和其中一边的对角，为什么分别会出现两解、一解和无解

的情况呢？

六、.课堂练习:

1.（口答）一个三角形的两角和边分别是30和45，若45角所对边的长为8，那么30角所

对边的长是 .

2. 在ABC ∆中：

（1）已知75,45,32A B c ===C ，b ；

（2）已知30,120,12A B b ===，求a ，c ．

3.根据下列条件解三角形：

（1）40b =，20c =，25C =

（2）15a =，20b =，108A =

七、课堂小结

八、课后作业

1、在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ．

2、在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．

3、在ABC ∆中，30bc =，ABC S ∆=A ∠= ．

4、在△ABC 中，已知∠B=045，3

34b 22==，c ,则∠A 的值是 5、△ABC 中6=a ，36=b ，A=030，则边c =

6、在△ABC 中，已知2=a ，22=b ，∠A=030，则∠B=

7、在△ABC 中，B a b 222sin 4=，则∠A= ____

8、在三角形ABC 中，a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，且

A c C b

B a sin sin sin ==，则△AB

C 是 三角形。

9、在△ABC 中，A=450，B=600，则=+-b

a b a 10、在△ABC 中，c a b +=2，则1cos cos cos cos sin sin 3

A C A C A C +-+＝ 拓展延伸

11、已知在△ABC 中，c =10，∠A=045，∠C=030，求a ，b 和∠B

12、在△ABC 中，3

b ，∠B=060，

c =1，求a 和∠A 、∠C

13、在△ABC 中，a =15，b =10，A=060，CE 、CF 三等分∠C ，求CE 、CF 的长。

14、已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a=4，b=5，S=35，求c 的长度。